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Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts


par Mohamed Adel BOUATTA
Université des sciences et de la technologie Houari Boumédiene - Master en mathématique financière 2012
Dans la categorie: Economie et Finance
   
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Simulation de Modèles de Diffusion

Appliqués aux Taux d'Intérêts

BOUATTA Mohamed Adel

Département de Probabilités & Statistiques
Faculté de Mathématiques,
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene,
U. S. T. H. B.
Mémoire présenté dans le cadre de l'obtention du diplôme de
MASTER en MATHEMATIQUES FINANCIERES.

Promotion: 2011/2012

Table des matières

Introduction générale

1 Introduction

1
1

 

1.1

Problématique

1

 

1.2

Les marchés financiers

1

 

1.3

Le marché obligataire

2

 

1.4

Définition d'un bon du trésor

3

2

Rappels de probabilité

4

 

2.1

a--Algèbre

4

 

2.2

Espérance conditionnelle par rapport a une a--algèbre

5

 

2.3

Théorème central limite

5

 

2.4

Filtration

6

 

2.5

Processus stochastique

6

 

2.6

Martingale

8

 

2.7

Temps d'arrêt

9

3

Les processus de diffusion

10

 

3.1

Le mouvement brownien

10

 
 

3.1.1 Définition du mouvement brownien

11

 
 

3.1.2 Propriétés du mouvement brownien

12

TABLE DES MATIERES

3.1.3 Simulation du mouvement brownien

3.2 Mouvement brownien multidimensionnel

3.3 Mouvement brownien avec dérive

3.4 Mouvement brownien géométrique

3.5 Calcul stochastique

ii

13

14

15

16

17

 
 

3.5.1 Intégrale stochastique d'Itô

17

 
 

3.5.2 Processus d'Itô

19

 
 

3.5.3 Lemme d'Itô

20

 
 

3.5.4 Equations différentielles stochastiques

20

 

3.6

Les processus de diffusion

22

 
 

3.6.1 Méthodes de simulation des processus de diffusion

24

4

Simulation des processus de diffusion

26

 

4.1

Présentation des données

26

 

4.2

Modèle de Vasicek (processus d'Ornstein-Uhlenbeck)

26

 
 

4.2.1 Mesure objective (Monde réel)

27

 
 

4.2.2 Estimation des paramètres du modèle de Vasicek

27

 
 

4.2.3 Simulation du modèle de Vasicek

28

 
 

4.2.4 Simulation de la solution exacte du modèle de Vasicek

29

 
 

4.2.5 Calcul du prix du bon dans le modèle de Vasicek

29

 

4.3

Modèle de Cox, Ingersoll & Ross (CIR)

30

 
 

4.3.1 Estimation des paramètres du modèle de Cox, Ingersoll & Ross . . .

30

 
 

4.3.2 Simulation du modèle de Cox, Ingersoll et Ross

31

 
 

4.3.3 Simulation de la solution exacte du modèle CIR

32

 
 

4.3.4 calcul du prix du bon dans le modèle CIR

33

 

4.4

Modèle de Vasicek a 2 facteurs

33

4.4.1 Estimation des paramètres du modèle de Vasicek a 2 facteurs 34

4.4.2 Simulation du modèle de Vasicek a deux facteurs 35

4.4.3 Simulation de la solution exacte du modèle de Vasicek a 2 facteurs . 36

4.4.4 calcul du prix du bon pour le modèle de Vasicek 2f 36

4.5 Simulation du processus d'Ornstein-Uhlenbeck exponentiel 37

4.6 Simulation du modèle d'Eraker de volatilité stochastique 38

4.7 Simulation du modèle de Heston de volatilité stochastique 40

5 Conclusion générale 43

6 Annexes 44

6.1 Annexe I : Programmes en R 44

6.1.1 Code R pour simulation d'un mouvement brownien standard 44

6.1.2 Code R pour simulation de 30 trajectoires d'un mouvement brownien 44

6.1.3 Code R pour covariance empirique du mouvement brownien 45

6.1.4 Code R pour simulation d'une marche aléatoire 45

6.1.5 Code R pour simulation d'un mouvement brownien de dimension 2 45

6.1.6 Code R pour simulation d'un mouvement brownien de dimension 3 46

6.1.7 Code R pour simulation d'un mouvement brownien avec dérive. . . 47

6.1.8 Code R pour simulation de 30 trajectoires d'un brownien avec dérive 47
6.1.9 Code R pour simulation d'un mouvement brownien géométrique . . . 48

6.1.10 Code R pour estimation des paramètres du modèle Vasicek 49

6.1.11 Code R pour simulation du modèle de Vasicek 49

6.1.12 Code R pour simulation de la solution du modèle de Vasicek 50

6.1.13 Code R pour le calcul du prix du bon dans le modèle de Vasicek . . 51

6.1.14 Code R pour estimation des paramètres du modèle CIR 51

6.1.15 Code R pour simulation du modèle de Cox, Ingersoll & Ross 52

6.1.16 Code R pour simulation de la solution exacte du modèle CIR 53

6.1.17 Code R pour le calcul du prix du bon dans le modèle CIR 53

6.1.18 Code R pour estimation des paramètres du modèle de Vasicek 2f . . 54

6.1.19 Code R pour simulation du modèle de Vasicek a 2 facteurs 55

6.1.20 Code R pour simulation de la solution exacte du Vasicek 2f 56

6.1.21 Code R pour le calcul du prix du bon dans Vasicek 2f 58

6.1.22 Code R pour simulation d'un processus d'O-U exponentiel 59

6.1.23 Code R pour simulation du modèle d'Eraker de volatilité stochastique 59
6.1.24 Code R pour simulation du modèle de Heston de volatilité stochastique 60

6.2 Annexe II : Les données 62

6.2.1 Daily Treasury Bill Rates Data 62

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