ÄV/V0 = Äl/l0 + 2·Är/r0
(Développement limité au premier ordre), soit :
ÄV/V0 = (1 - 2í) · å
De même pour une pièce
parallélépipédique, on a :
V = l × a × b
ÄV/V0 = Äl/l0 +
Äa/a0 + Äb/b0
donc de même :
ÄV/V0 = (1 - 2í) · å
On voit donc que :
si í > 0,5 le volume diminue en traction et
augmente en compression (cas exceptionnel) ; si í < 0,5 le volume
augmente en traction et diminue en compression (comportement le plus
général).
Pour un acier, í vaut environ 0,3, on est donc dans le
second cas.
Si maintenant on maintient la largeur constante -- par
exemple on effectue une compression mais la pièce est dans une gaine
ultra-rigide et ne peut pas s'étendre --, alors, la déformation
n'est plus uniaxiale, la gaine exerce une pression (une contrainte) sur les
côtés de la pièce. Il faut alors utiliser un autre
coefficient élastique, noté C11,
différent de E :
ó = C11 · å
b) Cisaillement
Si l'on considère un parallélépipède
rectangle, le cisaillement est une variation de l'angle, qui n'est plus droit.
Cela correspond à des forces s'exerçant parallèlement
à la face.
On définit de même la contrainte comme étant
la force divisée par la surface sur laquelle elle s'exerce ; cette
contrainte est appelée cission (toujours
exprimée en MPa) et est notée ô.
La déformation est l'écart à l'angle droit
ã, appelé cisaillement, exprimé en
radian.
On a toujours une loi linéaire : ô = G
· ã
où G est le module de
cisaillement ou module de Coulomb,
généralement exprimé en GPa. Dans le cas d'un milieu
isotrope, le module de cisaillement est lié au module d'Young et au
coefficient de Poisson par la relation suivante :
c) Compression isostatique
Une compression isostatique est l'exercice d'une pression
isotrope, c'est-à-dire qui a la même valeur dans toutes les
directions. Si l'on désigne par V le volume de l'objet, la
variation de volume relative est proportionnelle à la variation de la
pression P :
où K est le module
d'élasticité à la compression
isostatique1 (bulk modulus en anglais). On
remarque que K est l'inverse du coefficient de compressibilité
isotherme ÷T défini en thermodynamique par :
K est aussi homogène à une pression et
est généralement exprimé en gigapascal (GPa). On a :
matériau
|
K
|
acier
|
160 GPa
|
eau
|
2,2 GPa
|
air
|
0,000 1 GPa2
|
|
Dans le cas d'un milieu isotrope, le module
d'élasticité isostatique K, le module de Young
E et le module de cisaillement G sont liés par la
relation suivante :
d) Cas des grandes
déformations
La définition que l'on a prise de å dépend
du trajet suivi. Considérons une déformation finale de å1 +
å2. Si l'on fait la déformation en une étape, la longueur
finale est
l = l0(1 + å1 + å2)
Si par contre on déforme d'abord de å1, on a une
première longueur
l = l0(1 + å1)
qui devient la longueur initiale pour l'étape suivante,
donc lorsque l'on rajoute une déformation å2, on obtient
l = l0(1 + å1)(1 + å2)
En développant cette dernière formule, on voit que
les deux sont équivalentes si
å1 · å2 << å1 et å1 ·
å2 << å2
soit, de manière synthétique, si
å2 << å, soit å << 1
;
C'est l'hypothèse des petites
déformations.
Pour les grandes déformations, on peut utiliser une autre
définition de å :
On voit que si l et l0 sont proches, le
développement limité de cette formule redonne la
définition de å des petites déformations
Ainsi sous l'effet du poids propre des terres qui surmontent
un souterrain peut être stable ou au contraire s'effondrer et
s'ébouler. Comme le poids des terres est donné par la profondeur,
la mise en charge est immédiate au moment de la perforation.
La notion de relation linéaire entre les contraintes
et les déformations pour définir l'élasticité
devient ainsi difficile à saisir puisque les contraintes sont
immédiatement constantes.
La notion de domaine élastique n'en demeure pas moins
essentielle et on peut la rétablir aisément en imaginant une
situation initiale où la densité des terres est nulle et la
perforation faite, puis en faisant croître la densité de
zéros à sa valeur réelle et en suivant la progression des
désordres au sein du massif.
Remarquons d'ailleurs que la force verticale du poids des
terres n'est pas la seule sollicitation; il existe le plus souvent une
réaction horizontale, poussée de repos pour les sols, contrainte
orogénique dans le massif rocheux.
Un autre aspect paradoxal de l'équilibre des
souterrains réside dans le fait que, sauf mode d'exécution tout
à fait spécial, on peut dire qu'une galerie a toujours tenu sans
aucun soutènement pendant un certain intervalle de temps; c'est par
exemple les quelques mois qui séparent la perforation du
bétonnage; c'est peut être les quelques minutes qui
séparent la mise en place des premiers cintres, des derniers
terrassements.
Les pressions qu'on voit apparaître ensuite
derrières les revêtements sont donc dues à des
déformations différées, c'est-à-dire au
comportement rhéologique de la matière.
Dans les sols ces accommodations peuvent prendre plusieurs
mois et dans les roches plusieurs années.
L'ampleur que les contraintes peuvent atteindre dans ce
derniers cas montre l'importance de la viscoplasticité des roches, ce
qui ne paraît pas évident à priori.
Les contraintes normales exercées par le massif
rocheux sur le revêtement de maçonnerie sont de l'ordre des
quelques dixième de MPa (mégapascal), ce qui d'une part est loin
d'être négligeable pour une voûte mince d'une dizaine de
mètres de portée, mais qui d`autre part est sans relation aucune
avec l'épaisseur du recouvrement.
Il est évident que des telles contraintes n'existaient
pas lors de la mise en place de ces revêtements, et qu'il a fallu un
fluage du rocher pendant de nombreuses années avant d'arriver à
l'équilibre actuel.
Cela conduit à dire que les contraintes qui s'exercent
sur un revêtement sont beaucoup plus fonction de la forme de la galerie,
du procédé d'exécution et du comportement
rhéologique du sol que de l'épaisseur du recouvrement.
Différents modes de rupture pour un talus rocheux
| 
