Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à l'aide de marqueurs moléculaires

3.2 Algorithmes d'estimation des paramètres

3.2.1 Version bayésienne du modèle de Milligan

La version bayésienne du modèle de Milligan a été présentée dans la définition 4 et la figure 3.1 présente le graphe orienté acyclique du modèle. Dans la version bayésienne du modèle, les paramètres d'intérêt sont, les probabilités d'IBD, Ä et le vecteur latent des modes d'IBD, IBD. D'un point de vue bayésien, l'objectif est de pouvoir simuler selon la loi a posteriori

ðÄ,IBD|IBS(Ä, IBD|IBS)

Cela est possible en utilisant un algorithme de Gibbs. En effet, la loi a posteriori du vecteur des probabilités d'identité par états est

ðÄ|IBD,IBS(Ä|IBD, IBS) ? ðIBS|IBD(IBS|IBD)ðIBD|Ä(IBD|Ä)ðÄ(Ä)

Comme, la loi du mode d'IBS conditionnellement au mode d'IBD est indépendante de Ä,

ðÄ|IBD,IBS(Ä|IBD, IBS) ? ðIBD|Ä(IBD|Ä)ðÄ(Ä)

La loi du mode d'identité par états, IBD est

ðIBD|Ä(IBD|Ä) = ₁₁^L ðIBD^l|Ä(IBD^l|Ä)

l=1

oil _{ðIBDl|Ä(IBDl|Ä)} est une loi multinomiale de paramètres Ä1, . . . , Ä9. De plus, nous avons supposé que la loi a priori de Ä était une loi de Dirichlet. Comme la loi de Dirichlet est la conjuguée naturelle de la loi multinomiale (Robert, 1992), la loi a posteriori _{ðÄ|IBD(Ä|IBD)} est donc une loi de Dirichlet

D(#IBD1 + á, #IBD2 + á, . . . , #IBD9 + á).

oil #IBDi = E^Ll=1 1lIBDl=IBDl _idésigne le nombre total de locus sur l'ensemble des différents loci de type IBDi,i = 1, . . . , 9.

La loi a posteriori de IBD sachant IBS et Ä est une loi discrète qui est entièrement définie par les probabilités a posteriori. Pour un locus l,

p^l_i = P(IBDli|Ä,IBS) j

P(IBS^l_j|IBD^l_i)Äi

= Ei9 1 P(IBSlj|IBDli)Äi ? {1,

pour i = 1, . . . , 9 et donc

ðIBD^l|Ä,IBS^l(IBD^l|Ä, IBS^l) = M(1, p^l ₁,p^l ₂,. . . ,p^l₉).

Ainsi, la loi a posteriori _{ðÄ,IBD|IBS(Ä,IBD|IBS)} peut être simulée avec l'algorithme d'échantillonnage de Gibbs (Algorithme 3)

Algorithme 3 Algorithme de Gibbs pour l'apparentement

générer Ä⁰ ~ D(1,1,1) à l'étape t, générer

IBD^l,t+1 ~ M(1, Äl,t 1 ,Äl2 ^,t , . . . , Äl,t

9 ), l = 1, . . . , L

Ät+1 ~ D(#IBDt1 +1 + á, #IBD^t+1

2 + á, . . . , #IBD^t+1

9 + á)