CHAPITRE 0. INTRODUCTION
bruits blancs. En revanche, les séries de carrés
ou des valeurs absolues sont souvent fortement autocorrélées. Ces
deux propriétés ne sont pas incompatibles mais montre que le
bruit blanc n'est pas indépendant. De plus les grandes valeurs (en
valeur absolue) des données d'observation tendent a être suivies
des grandes valeurs, et les petites valeurs, de petites. On dit que le
marché est fortement volatil ou faiblement volatil.
Malgré ce phénomène, le processus
peut-être stationnaire et donc, en particulier, homoscedastique (de
variance marginale constante). Seulement, puisqu'une forte valeur de la
donnée d'observation, au temps (t - 1) tend a augmenter la
probabilité d'observer une forte valeur (en valeur absolue) au temps t,
la variance de la variable au temps t conditionnellement a ses valeurs
passées (appelée volatilité) ne semble pas constante.
L'hétéroscédasticité conditionnelle
n'est incompatible ni avec l'homoscédasticité marginale, ni avec
la stationnarité.
Il est important de noter que lorsqu'on considère les
distributions de fréquence de séries de rendements, de variations
de prix ou du logarithme de ces variations de prix, on remarque qu'elles ne
correspondent pas a une distribution gaussienne. Elles sont a queues
épaisses, a décroissance plus
{~x2 }
lente que exp et présentent un pic en zéro : elle
sont dites leptokur-
2
tiques, leur cceffi cient de kurtosis est nettement
supérieur a 3. Les modèles hétéroscedastiques se
sont révélés particulièrement adaptés a la
prise en compte de ces caractéristiques.
Le document est organisé de la façon suivante :
Le premier chapitre est consacré a une
représentation générale de quelques notions de bases et un
bref historique sur les modèles ARCH , constituant comme un chapitre de
base.
Le second chapitre est distiné a décrire les
diverses modélisations que l'on peut classer sous la rubrique des
modèles hétéroscédastiques univariés et
certaines de leurs propriétés. Le chapitre suivant constitue a
des problèmes d'estimation, de prévision et de tests.
Dans le quatrième chapitre, on va donner quelques
extensions non linéaires des modèles (G) ARCH et ainsi
présenter l'importance de ces modèles sur la finance ou le
marché financier
Enfin le dernier chapitre porte une application sur un indice
boursier pour bien voir l'effet ARCH.
Chapitre 1
Historique et Notions de base
1.1 Historique
La théorie financière recourt de façon
significative aux outils statistiques depuis plus de trente ans. On peut ainsi
mentionner le travail tout a fait remarquable réalisé par Louis
Bachelier (1870-1949), qui, dans sa thèse de doctorat es sciences
mathématiques, défendue en mars 1900 et intitulée <<
Théorie de la spéculation>>, introduisit le concept de
marché efficient bien longtemps avant que cette notion soit
développée avec l'intérêt que l'on connalt. Il
utilisa a cet effet des modèles de marche aléatoire, des
mouvements browniens et de martingales. Il se posa même la question de
tester sa théorie empiriquement. Mais son uvre resta discrète
jusqu'en 1960, date de la traduction anglaise de son travail.
Jusque dans les années 1950, les ouvrages
consacrés a la finance furent très souvent descriptifs. Le but
essentiel consistait a décrire et informer sur les instruments
financiers, les institutions financières et, de façon
générale, les pratiques financières des entreprises. Parmi
les travaux qui bouleversèrent cette situation, il faut notamment
mentionner ceux de Markowitz [1952, 1959] et Tobin [1958] sur les
sélections des portefeuilles d'une part, ceux de Modigliani et Miller
[1958] sur la structure du capital et l'évolution des firmes, d'autre
part.
En ce qui concerne l'usage des méthodes statistiques en
finance, plusieurs voies ont été suivies.
1. L'utilisation des modêles de régression et des
modêles économétriques se trouve dans pratiquement tous les
secteurs de l'analyse financière. La référence la plus
marquant en la matière faisant l'état de la question pour les
années 1960 a 1975 est certainement l'ouvrage écrit par
Fama en 1976 et intitulé Foundations of finance. Cette
publication ne doit cependant pas nous faire oublier, comme indiqué
ci-dessus, les travaux basés sur les publications de Markowitz [1959]
dans la sélection des portefeuilles, qui ont débouché sur
des modèles de marché relativement complexes et qui ont
constitué un domaine de réfiexion théorique
intéressant pour la recherche statistique.
2. L'analyse multivariée (analyse en composantes
principales, analyse discriminante,...) a aussi constitué un outil de
plus en plus utilisé dans de nombreuses études exploratoires.
Citons en particulier les articles de Pinches et Mingo [1973] et ceux de Herbst
[1974] qui recourent a la fois a une analyse factorielle et une
modélisation par régression, sans oublier les travaux de bloyd et
Lee [1976] sur des modèles d'équilibre des actifs financiers.
L'analyse discriminante a aussi trouvé dans l'usage des modèles
logis une alternative utilisée par les praticiens.
3. L'usage des modêles de séries chronologiques,
et tout particulièrement ceux associés a la classe des processus
ARMA, constitue un aspect important de l'application de la statistique en
finance. Dés le milieu des années 1970, plusieurs auteurs ont
recouru a la méthodologie de Box et Jenkins pour estimer ou
prévoir gains et taux. Nous évoquerons l'usage de cette
démarche ci-dessous. Il est cependant utile de mentionner aussi dans
cette catégorie, les tentatives liées a l'usage de l'analyse
spectrale, notamment appliquée a l'étude des taux
d'intérêt ou pour tester l'effi cacité d'un marché
(par exemple, Granger et Morgenstern [1970] et Percival [1975]).
4. La théorie de la décision constitue un
quatrième outil, permettant a divers auteurs de recourir a une approche
bayésienne dans leur démarche : citons en particulier les travaux
de Winkler et Barry [1975] dans le choix d'un portefeuille et ceux de Vasicek
dans l'estimateur des betas des actions [1973].
Le développement des modèles ARCH se place dans
le contexte et la lignée des modèles des séries
chronologiques évoqués ci-dessus. Ces modèles ont
été essentiellement développés avec des objectifs
des descriptions, de dessaisonalisation, de prévision ou de
contrôle de systèmes. L'age d'or de cette modélisation se
situe dans les années 1970 avec le développement des
modèles autorégressifs-moyennes mobiles (ARMA) et de leurs
généralisations, qui présentaient l'avantage de se
prêter facilement a l'emploi. Comme nous l'avant déjà
souligné plus haut, leur usage s'est trouvé facilité par
recours a une méthodologie, due a G.E.P. Box et G.M. Jenkins,
destinée a
1.1. HISTOPIQUE
aider l'utilisateur dans le choix d'un modèle,
l'estimation de ses paramètres et sa validation, méthodologie qui
depuis une vingtaine d'années a engendré des travaux aussi
multiple qu'intéressants.
Parmi les domaines d'application on la modélisation
ARMA se révèle insuffi sante, figurent certains problèmes
financiers et monétaires. Les séries disponibles dans ce secteur
présentent en effet souvent des caractéristiques de dynamique non
linéaire, dont la plus significative est le fait que la
variabilité instantanée de la série (appelé
volatilité) dépend de façon importante du passé. Il
existe d'autre part des théories financières basées sur
des principes d'équilibre et de comportements rationnels des agents
intervenant sur le marché qui conduisent naturellement a introduire et a
tester des contraintes structurelles sur les paramètres.
Historiquement, les modèles ARCH (Autorégressifs
Conditionnellement Hétéroscédastiques) ont
été introduits par R.F. Engle en 1982. Dans son article, l'auteur
ne suppose plus que (€t; t Z) est un bruit blanc mais envisage
plutôt que ce processus est de la forme :
"t = ~ ht
on
71t c" i.i.d.Af (0, 1)
h = c + X p çbi "2 ti
i=1
Dans cette expression, on suppose que c > 0 et que
çbi ~ 0 (i = 1, ..., p). Cette façon de
procéder permettait a Engle de tenir compte du fait que les variations
de prix --fortes ou faibles--étaient suivies d'autres variations fortes
ou faibles des signes imprévisibles. Certaines conditions étaient
en outre imposées afin de réduire le nombre de paramètres
du modèles.
En ce qui concerne les domaines d'application, on peut en
distinguer deux grandes catégories. Les premiers consistent a tester des
théories économiques relatives aux divers marchés
(devises, obligations,...). Les seconds traitent des comportements
d'interventions sur le marché des établissements financiers
(détermination des portefeuilles optimaux, de portefeuilles de
couverture,...). Ce dernier type d'application est plus
<<sensible>> et, par la-même, généralement
couvert par le <<secret bancaire>> .
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