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Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes( Télécharger le fichier original )par Jean MEILHOC Institut des hautes études économiques et commerciales - Master II - Capital Markets 2012 |
II.II.1.1.2 Comportement limite de la loi de ParetoLa fonction de répartition de Pareto s'écrit
La loi de Pareto appartient au MDA de la loi de Fréchet. Communément, la loi de Fréchet est appelée loi de type Pareto. Concernant la méthode POT, nous posons
La limite est alors la loi GPD de paramètre II.II.1.1.3 Comportement limite de la loi normaleLa fonction de répartition de la loi normale quand
si on suppose que
En ce qui concerne la méthode d'excès de seuil,
celle-ci convergera vers une loi de type exponentielle. D'autre part, si
qui converge vers la loi de Gumbel. Smith nous enseigne en 2003 qu'il est préférable d'utiliser les lois GEV et GPD pour chaque théorème les concernant, plutôt que la loi de Gumbel et la loi exponentielle, bien qu'elles soient toutes deux de formes exactes. L'aspect propre des lois généralisées semble être plus en accord avec les méthodes vues précédemment. GUMBEL La convergence avec la distribution réelle est concordante graphiquement pour x [-4.2 ; 4.2]. Cependant, nous pouvons constater, de part et d'autre de la courbe, qu'il existe des extrêmes non pris en compte par la densité de probabilité normale. Cette loi est alors également rejetée empiriquement par cette méthode. GUMBEL Si l'on suppose une distribution gaussienne pour les rendements journaliers, la probabilité qu'un rendement observé dévie de sa moyenne de 4 écarts-types est inférieure à 0,01%, soit un évènement observé en moyenne tous les 62 ans. Le tableau ci-dessous nous montre la probabilité de
s'écarter de la moyenne de
La probabilité de s'éloigner de plus de 5 écarts-types de la moyenne convient à un évènement extrêmement rare, lequel n'a peut-être jamais été observé. Or les variations réelles retenues sur notre fenêtre de test prouvent que la théorie gaussienne néglige les variations extrêmes. Une autre approche est donc nécessaire pour assurer une rentabilité ajustée du risque. Il existe des modalités essentielles pour l'existence de constantes de normalisation. Remarquons que les extrêmes sont tirés asymptotiquement d'une loi non-conditionnelle, alors que la variable sortie des lois de valeurs extrêmes est tirée d'une loi conditionnelle. Il est donc important d'estimer la convergence la plus proche. Dès lors, l'indice de queue représentera le poids des extrêmes dans la distribution.
* 43 W. Feller
démontre en 1968 que 1 - F(x) équivaut à
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| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,
où U > 0 et 
. Pour le
théorème des BM, nous posons 
et 
. Pour
x > 0=
pour 
. On
obtient :
pour 
et 
.
Remarquons les extrêmes qui sont d'avantages compris sous la courbe,
particulièrement du côté des valeurs négatives.
est 
. Nous
avons donc 
quand 
, alors43
, nous
avons pour 
:
donne 
et 
, on
aura :
écarts-types, tel que 
La
dernière colonne représente le nombre d'années (sur 254
séances) assimilée à l'apparition d'un
événement :
quand 
