Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

I.3. Argument, Exponentielle complexe

I.3.1. Notation eiè

Définition :

Une des fonctions principales pour l'analyse des équations différentielles et pour d'autres idées mathématiques non citées est l'exponentielle : le familier e^x.

Que vaut cette fonction pour des valeurs complexes en exposant ?

Pour

Ceci signifie que tout ce que nous avons à faire est de rechercher la valeur de l'exponentielle purement imaginaire et le cas général n'est alors juste qu'un produit.

Il y a plusieurs manières de le calculer telles que celle que nous proposons ci-dessous :(^7(*))

Quelle que soit la valeur de e^iy, elle a une partie réelle et une partie imaginaire.

Maintenant en vue de trouver les fonctions et, trouvons une équation différentielle qui les satisfait. Dérivons cette équation par rapport à y.

Or (1)

D'où

Identifions les parties réelles et imaginaires,

et (2)

Nous pouvons résoudre les équations différentielles simultanées de plusieurs manières, et ici la manière la plus simple est d'éliminer une des fonctions inconnues entre elles. Dérivons la première équation et éliminons.

Alors (3)

L'équation (3) est l'équation standard d'oscillateur harmonique. Ainsi, la solution est la combinaison de sinus et cosinus.

(4)

Trouvons les constantes inconnues A et B en utilisant les conditions initiales sur et ces valeurs proviennent de la valeur de e^iy à zéro.

Ainsi,

Ceci détermine queet alors l'équation (2) détermine que . Mettons-les ensembles et obtenons la formule d'Euler.

Quelques cas spéciaux donnent :

et

En effet,. Ainsi la fonction exponentielle est une fonction périodique dans la direction imaginaire.

Calculons. Exprimons dans la forme polaire, ou mieux . Ce qui vaut :

Théorème :

L'application est un morphisme surjectif du groupe (IR, +) dans le groupe (U, .) des nombres complexes de module 1, de noyau  :

· · · U (c'est-à-dire ),

· Propriétés

· L'application est 2ð-périodique :

· · Valeurs particulières :

I.3.2. Formules de Moivre et d'Euler

Proposition (Formule de Moivre)

Pour tout réel è, et pour tout entier n .

Autrement dit :

Proposition (Formule d'Euler)

Pour tout réel è :

(1)

(2)

(1) + (2) : et

(1) - (2) : et

Utilisation

· « Moivre » permet, en développant et en identifiant les parties réelles et imaginaires, d'exprimer et/ou

· Les formules d'Euler permettent, par utilisation de la formule du binôme et regroupement des termes équidistants des extrémités, de linéariser et, pour c'est-à-dire de les exprimer en fonction de quantités du type et/ou.

* ⁷ On peut faire le développement en série de Mac-Laurin de la fonction e^iy