Dynamique non lineaire du pulse dans une fibre optique

DYNAMIQUE NON LINEARE DU

PULSE DANS UNE FIBRE OPTIQUE

DJINGUE JEAN PIERRE

yaoundé le 25 avril 2007

Table des matières

Dédicaces ii

Remerciements iii

Abstract - Résumé 1

0.1 Abstract 1

0.2 Résumé 1

Introduction Générale 1

1 Généralités sur la fibre optique et la méthode de Lax			3
1.1	La fibre optique		3
	1.1.1	Description de la fibre optique	3
	1.1.2	Mode de fabrication et différents types de fibres	4
1.2	Propagation d'une impulsion lumineuse dans la fibre optique		5
	1.2.1	Réponse d'un milieu à une excitation électrique extérieure	5
	1.2.2	Polarisation induite	6
	1.2.3	Équation d'onde	7
	1.2.4	Équation de propagation	7
	1.2.5	L'équation de Schrödinger non linéaire	9

1.3 La méthode de Lax 10

1.4 Conclusion 12

2 Solution soliton de l'équation de Schrödinger non linéaire d'ordre supérieur 13

		2
2.1	Le soliton	13
2.2	Conditions d'Hirota	15
2.3	Construction de la paire de Lax associée à l'équation de Schrödinger non linéaire
	d'ordre supérieur	17
2.4	Solution Soliton	20
2.5	Solution soliton en absence du mode linéaire	26
2.6	Conclusion	29

3 Construction de la paire de Lax pour les modèles couplés 30

3.1 Équations couplées de Schrödinger non linéaires 30
3.2 Phénomènes décrits par un système couplé d'équations de Schrödinger non li-

néaires 31

3.2.1 Propagation de deux ondes de couleurs différentes 31

3.2.2 Autres phénomènes 32

3.3 Construction de la paire de Lax 32

3.4 Conclusion 36

Conclusion générale et perspectives 38

Bibliographie 40

Table des figures

1.1	Structure d'une fibre optique	3
1.2	Quelques types de fibre optique	5
2.1	Interaction de deux solitons [6].	14
2.2	volution de l'amplitude (2.63) en fonction de la distance Z, pour les cas g1 =
	0.05, g2 = 0.01; g1 = 0.01, g2 = 0.05 et g1 = g2 = 0.01 ( avec Ac = 1,ã1 = ã2 =
	1,o1 = 0.05,o2 = -0.04 et ó = 5)	25
2.3	volution de l'amplitude Ac en fonction de l'amplitude As pour L = 8, 9, 10, 11
	et 12	26
2.4	volution de la largeur à mi-hauteur en fonction de la distance z	28
2.5	volution de l'énergie en fonction de la distance z	28

Dédicaces

Je dédie ce mémoire à :

? Ma mère TEUPE Alice pour les encouragements, les efforts incessants et l'attention portée envers moi. Ce travail est le fruit de l'éducation que vous avez toujours su m'apporter

? Mon oncle NGAYAP Eloi qui par ses conseils sans relâche a fait de moi ce que je suis.

? Ma tante LEUNA Catherine pour ses conseils sans relâche.

? Mes frères et soeurs Mme NGOUAMBE, Mme YOUBI, Mme WETCHEBEWE, Mme FOTSO, M^lle KOUEYAP et M. NGANDEU pour leur patience et leur soutien durant de longues années.

Remerciements

Aujourd'hui l'opportunité m'est offerte de témoigner ma profonde gratitude à l'endroit de ceux qui de près ou de loin ont contribué à l'élaboration de ce mémoire. Je tiens tout d'abord à remercier :

* Le Professeur Claude Marie NGABIRENG, pour la confiance qu'elle a placé en moi en acceptant de diriger ces travaux. Je ne peux que louer affectueusement son entière disponibilité, ses remarques et le sentiment de bienveillance exprimé à mon égard.

* Le Professeur Timoléon Crépin KOFANE, responsable du Laboratoire de Mécanique, pour les enseignements édifiants.

* Le Professeur Paul WOAFO, pour son sérieux dans l'exécution de sa tâche d'éducateur.

* À M. FEWO Serge pour tous les conseils, la disponibilité et les interventions énergiques tout au long de ce travail. Qu'il trouve ici ma sincère reconnaissance.

* Au Professeur. LU Li, du Département de Physique de l'Université de Shanxi (Taiyuan). Je dis merci pour la collaboration que nous avons eue.

* À tous les membres du jury pour l'honneur qu'ils me font en acceptant de participer au jury.

* À tous mes enseignants du Département de Physique , en particulier Dr C. TCHAWOUA, Dr S. ZEKENG, Pr E. MANGUELLE, Pr F. KAMGA qui sont les principaux acteurs de ma formation académique.

Mes remerciements vont également :

* À M. WETCHEBEWE André pour la peine qu'il a pu se donner pour ma réussite.

* À M.YOUMBI Jean Paul pour ses conseils sans relâche. * À madame NGAYAP Christine.

* À ma cousine FADJIE NGAYAP Chimène pour son soutien financier et moral.

* Aux familles NGOUAMBE, FOTSO et NGADEU

* À DJUIDJE Prudence et WOUKOUWE Grâce , jamais vous ne m'avez abandonné pendant les moments difficiles.

* À mes frères et scours MONGOUE, NOUBEU, SIWE, TANKEBOU, LIATOU, NGAYAP et NKOULIHEU

* À mes camarades et amis KASSE, TANGA, TCHEUMAGOU, HAPPI, TACHIM, SAH, TANSEM, PEDIER, YAKADA, FEZEU, NANA, LIMI, DAMO, ONGUENE, BEDGA, GATCHOUSSI, AHOUDOU, GAMBO et TOGUEU pour les échanges bénéfiques depuis plusieurs années et tout au long de ce travail.

* À tous mes camarades de promotion de classe de D.E.A ; Année Académique 2006 -2007, pour les débats édifiants de tous les jours.

* À tous ceux qui de près ou de loin ont contribué à l'élaboration de ce travail.

Abstract - Résumé

0.1 Abstract

The aim of This report is look for solution of some systems in nonlinear optics using the reduction of a nonlinear problem to a linear one, using the Lax pair construction. We determine initially, when the conditions of Hirota are verified, the pulses 's soliton solution of the nonlinear Schrödinger equation with higher order terms which models propagation of signals in optical fibers. Finally, we are interested on a coupled nonlinear Schödinger equation in order to construct the associated Lax pair.

0.2 Résumé

Ce mémoire traite de la recherche des solutions de quelques systèmes Physiques grâce à la reduction d'un problème non linéaire en un problème linéaire à travers la construction de Lax. Nous déterminons dans un premier temps, lorsque les conditions d'Hirota sont vérifiées, la solution soliton du type pulse de l'équation de Schrödinger non linéaire d'ordre supérieur qui modélise la propagation des impulsions dans une fibre optique. Enfin, nous nous interessons à l'équation de Schödinger non linéaire couplée par sa construction de Lax associée en vue de rechercher ses solutions éventuelles.