Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l'Enseignement upérieur etet de l ReScerSce Sienti~fiue

UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU
FACULTÉ DE GENIE ELECTRIQUE ET DE L' INFORMATIQUE
DÉPARTEMENT D'ÉLECTROTECHNIQUE

Présentée pour obtenir le diplôme de

DOCTORAT

Spécialité : ELECTROTECHNIQUE
Par :

Rachid MANSOURI

THEME

CONTRIBUTION A L'ANALYSE ET LA SYNTHESE
DES SYSTEMES D'ORDRE FRACTIONNAIRE
PAR LA REPRESENTATION D'ETAT

DEVANT LE JURY :

Président Nacerddine BENAMROUCHE Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Rapporteur Saïd DJENNOUNE Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Examinateurs Ali BELMEHDI Professeur, Université de Bejaïa

Abdelfatah CHAREF Professeur, Université de Constantine

Salah HADDAD Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Mohamed TADJINE Professeur, Ecole Nationale Polytechnique d'Allger

Invité Maâmar BETTAYEB Professeur, Université de Sharjah (EAU)

Résumé Cette thèse traite de l'utilisation du concept dedérivation et d'intégration d'ordre non entier en automatique. On sintéresse particulièrement à 'approximation des systèmes non entiers à l'aide de modèles entiers en représentation d'état.Deuxmodèles d'approximation ont ainsi été développés. Le premier utilise 'approximation de l'opérateur de dérivation et le second utilise lapproximationde l'opérateur d'intégration non entière. Pour développer cette deuxième approximation, une nouvelle modélisation des systèmes dynamiques à l'aide d'un modèle d'état utilisant lopérateur d'intégration a été proposée. L'analyse du comportement de ces deux modèles en basses et enhautes fréquences a égaa lement été étudiée. Les systèmes non entiers étant caractérisés parune dimensionnnnie, leur approximation par un modèle entierdans unebande de fréquences imitée, nécessite néanmoins l'utilisation d'un modèle entier de très grande dimension.Cela pouvant être un l'inconvénient principale des deux modèles dapproximation proposés, surtout orsque le modèle non entier à approximer est un contrôeur On a montrédans cette thèse, que l'utilisation des techniques de réduction de modèle peut êtreune solution àa réduction de la dimension des modèles entiers qui approximent les systèmes non entiers.

Abstract This thesis deal with the use of the concept of the non integer di~erentiaa tion and integrationin control theoryWe arenterestedparticularlyo the approximation of the multivariable non integer systems with integer modelsn state space representation. Two approximation models were then developed. The first uses the approximation of the non integer differentiation operator and the seconduses the approximation ofhe non integer integration operatorTo develop this second approximation, a new tatepace model, using integral functionin place ofderivative function sproposed.The analysis of the behavior of these two integer models in low and high frequencieswas also studied. Nevertheless, the non integer systems being characteriied byan nfinite dimension, their approximation by an integer model, requires the use of a arge scalentegermodel.That is a disadvantage of the suggestedtwo integer approximation, especiallywhen the non integer system is a controllerOne showed in this thesis, that the use of themodel reducc tion techniques can be a solution to reduce the dimension of the ntegermodelswhich approximate the non integer systems.

A ma très chère maman

Ce travail a été effectué au Laboratoire de Conception etConduite des ystèmes de Production (L2CSP), de l'université Mouloud Mammeri deTizi-Ouzou.

Je tiens à remercier, en premierlieuMonsieur Saïd Djennoune, directeurde ma thèse, pour m'avoir fait profiter de son enthousiasme, de sa rigueur scientifique, de son expérience et pour m'avoir fait confiance tout au longde ma thèsee

Je témoigne toute ma gratitude à Salah Haddad, co-encadrant de ma thèse, poures nombreux conseils qu'il a su me prodiguerOutre ses qualitésprofessionnelles, 'aipu apprécier aussi sa disponibilité et sasimplicité. Je lui suis très reconnaissant dea confiance qu'il a su me témoigner.

Je témoigne toute ma reconnaissance à Maâmar Bettayeb, Professeur à 'université de Sharjah (Emirats Arabes Unies) pour sacollaboration et pouresnombreuses discussions enrichissantes que j'ai pu avoir avec lui. Jetiens àle remercier pour toute'attention qu'il m'a apporté tout aulong de ma thèse.

Je remercie également Messieurs Nacerddine Benamrouche, Professeur à 'université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou, Ali Belmehdi, Professeur à l'université Abderahmane MIRA de Bejaia, et Mohamed TadjineProfesseurà l''Ecole NationalePolytechnique d'Alger, d'avoir accepté de participer à ce jury

vi

d'avoir accepté de participer à ce jury

Je témoigne toute ma reconnaissance à Rachid Malti, maîtrede Conférences à 'Unii versité Bordeaux 1, et Alain Oustaloupdu Laboratoired'Automatique, Productique et Signal de Bordeaux, pour m'avoir invité et mavoir faitpartagé eur expérience.

Mes remerciements s'adressent égalementà tous es membres duLaboratoire de Concepp tion et Conduite des Systèmes de Production L2CSP), en particulier son directeurMoo hamed Aidene, Professeur àl'université Mouloud Mammeri de TiiiiOuzou, poureur sympathie et l'excellente ambiance de travail quils ont créée.

La réalisation de cette thèse ne saurait êtrepossible sanse soutiennconditionnel des proches. C'est ainsi, avec grand plaisir et reconnaissance, que e remerciema chère épouse de m'avoir encouragé et davoir été patiente.

I^kf(t) : (k E N), l'intégration répétée k fois de la fonction f(t)

I f(t) : (a E R), l'intégration non entière dordre a de la fonction f(t)

t0D

R t f(t) : dérivée d'ordre a de la fonction f(t) nulle pour t t0 selon la

définition de Riemann

t0D

C t f(t) : dérivée d'ordre a de la fonction f(t) nulle pour t t0 selon la

définition de Caputo

D : opérateur de dérivation dordre non entier a

(À) : (À E R^*\Z_) Fonction Gamma

P (t) : facteur d'oubli

L: symbole de la transformation de Laplace

£_1 : symbole de la transformation de Laplace inverse

s : opérateur de Laplace

(n j ) : (n E N), désigne la combinaison de j élément parmi n

( _j ) : (a E R+), désigne le binôme de Newton généralisé àdes ordres réels

D f(Kh) : désigne la valeur de la dérivée a`eme de f(t) à l'instant Kh

h : période d'échantillonnage

Ä_ne(s) : polynôme d'ordre non entier de variable s

Äf(s) : polynôme d'ordre fractionnaire de variable s

Ä(s) : polynôme d'ordre entier de variable s

s : module du nombre complexe s

arg (s) : argument du nombre complexe s

G(s) : fonction de transfert ou matrice de fonctions de transfert

viii

D^áx : (x E Rⁿ), tous les éléments du vecteur x(t) sont dérivés au même

ordre a

D(á) (x) : (a ERⁿ +, x E Rⁿ), le i`eme élément du vecteur x(t) est dérivé à la

i`eme composante du vecteur a

Ik : matrice identité de dimension k

E_á : fonction Mittag-Leffler

C : matrice de commandabilité

O : matrice d'observabilité

Dgen(s) : fonction de transfert du dérivateur généralisé

Dborn'e(s) : fonction de transfert du dérivateur généralisé borné en fréquences

D_á(s) : fonction de transfert rationnelle qui approxime le dérivateur géné-

ralisé borné en fréquences

=_á(s) : fonction de transfert rationnelle qui approxime 'intéfrateur géné

ralisé borné en fréquences

ä et ç : paramètres de récurrence delapproximation

Gfrac(s) : fonction de transfert non entière

å_á(s) : erreur d'approximation du dérivateur généralisé paredérivateur

généralisé borné en fréquences

Sysfrac : système d'ordre non entier

Sysent 1 : modèle entier qui approximele système non entieren utilisant 'ap-

proximation de l'opérateur de dérivation

Sysent2 : modèle entier qui approximele système non entieren utilisant 'ap-

proximation de l'opérateur dintégration

M f M2 : norme euclidienne

Introduction

L'intérêt de la modélisation àlaide des équations di~érentiellesinéaires à paramètres constants utilisant la dérivation entière usuelleest maintenant bien établi grrce à eur capacité à caractériser et représenter e comportement dynamique d'un bon nombre de phénomènes physiques. Néanmoins, l'utilisation de ces modèles nécessite parfoisde négliger, voir même ignorerquelques caractéristiques du phénomène àmodéliser. Lorsque ces caractéristiques doivent être prises encompte celaconduit à desmodèles entiers de très grande dimension utilisant ainsi un nombre important de paramètres.Ces phénomènes sont rencontrés dans beaucoup de domaines de la science et de atechnologie. Pour leur modélisation adéquate, on doit alors faire appel aux opérations de dérivation et d'intégration d'ordre non entierégalement appelées dérivation etntégrationractionnaires. Celles-ci étant la généralisation à un ordre non entier quelconque des opérations de dérivation et d'intégration entières classiques.

Si la dérivée et l'intégraled'ordre 1 ou 2 par exemple, sont maintenant très familières (la dérivée dy/dx représente l'évolution dela grandeur y(x) par rapport à 'évolution de la grandeur x, ou bien que l'intégrale Rx0 ^xy(ô)dô correspond à l'aire délimitée par y(x) et l'axe des abscisses sur l'intervalle [x0, x]), des questions fondamentales sur la signiification des opérations de dérivation et dintégrationd'ordrenon entier ont étéoulevéesl y a très longtemps. En 1695 déjà, le marquis de L'Hospital, dans une ettre adressée à Leibnitz [371 (l'inventeur de la notation de dérivation dⁿy/dxⁿ) posa la question, "Qu'en est il si n = 1/2?" Question à laquelle Leibnitz répondit"le résultat de d¹/²x sera égal à

/ ._J

x dx : x (qui dans la notation moderne représente d¹/²x/x¹/² = 2 x/ð), un paradoxe duquel des conséquences utiles seront un jour tirées"

x

Le 10 janvier 1696, Bernoulli écrivit dans une lettre adressée ààL'Hospitalpourconclure sur les correspondances avec Leibnitz 2] : "
·
·
·] je me souviens qu'au commencement du temps que je demeurais à Paris vous me demandiez souvent à quoi bon de se servir de la lettre caractéristique d, [
·
·
·]; vous en verrez à cet heure lutilité plus que jamais. Les différentielles qui ont pour exposant des nombres rompus ne sont en effet que des métaphysiques comme dit Mr. Leibnitz ou plutôt imaginaires, qui ne sont pas déterminables où qui n'existent pas, et ainsi ce qui est par exemple .V --aa parmi les quantités algébriques, ou a^\/2 parmi les puissances, la même chose est aussi d¹¹² parmi les différences, sans pourtant que ces choses chimériques fassent tort aux autres qui sont réelles ; ; c'est pourquoi il serait inutile de demander une idée plus nette de cesces sortes de différences, de même qu'on ne peut avoir une autre idée de .V--aa, ou de a^\/2 que celle qu'on a d'une chose qu'on peut démontrer quelle nexiste par in rerum naturâ, quoi qu'on puisse dire des vérités réelles, par exemple que .V--aa est la racine de --aa, que .V--aa est plus petit en son espèce d'être que 3.V--aa ; que aV² est la racine de a2 \/2 [
·
·
· ] ; et ainsi que d¹¹² est l'intégrale de d²¹³ etc."

Dans le même esprit, le 15 janvier 1696, Leibnitz adressa une ettre àà L'Hospital

[
·
·
·] Quant aux différences dont les exposants sont des nombres rompus, j'avoue qu'on ne les saurait comprendre, mais ces sortes de grandeurs quand elles nene seraient qu'imaginaires peuvent servir à trouver des vérités réelles. Et l est toujours vraiqu'ellesont fundamentum in re. "

De ces dialogues, et d'autres qui ont eu lieu à lépoque, commença a ongue histoire du calcul fractionnaire auquel dillustres mathématiciens ont contribué, Euler 1730), Lagrange (1772) Laplace (1812) Fourier (1822) 1822) et 'Heaviside 1893 t 920), pour ne citer que ceux-la. Un exposé historique détaillé est donné en ntroduction dudu ivre 59].

En 1832, Liouville a proposé une interprétation physique de cece concept qualiié de métaphysique par Leibnitz par le biais de lanalyse dimensionnelle en réécrivant a oi de Biot et Savart pour une surface de dimension 2 [36]. En 2002, Podlubny a proposé une autre interprétation géométrique et physique de cece concept enen se basant sur des notions non moins métaphysiques que le temps réel qui ne sécoule pas continuellement, faisant

xi

appel à une autre échelle dans laquelle le temps s'écoule continuellement que Podlubny appelle "le temps cosmique" [68]

Aujourd'hui, l'intérêt de la dérivation non entière necesse de grandir, notamment dans le domaine de l'automatique pour la modélisation, l'identification eta commande des systèmes. Des congrès aussi prestigieux que leCDC ou ''IFAC organisent régulièrement des sessions spéciales surla dérivation non entièreet sesapplications.Apartir de 000 un workshop, qui se déroulent tous les deux ans, spécialement dédiéau calcul fractionnaire et ses applications, a été créé

Cette thèse traite de l'utilisation de ce concept de dérivation non entière en automaa tique et en électrotechnique. On sintéresse tout particulièrement à'approximation des systèmes non entiers à l'aide de modèles entiers dans la représentation d'état.Deux app plications seront également traitées Lidentification des systèmesnon entiers à partir de données fréquentielles, etla commande en vitesse des machines électriquesmachines synchrone à aimants permanents et machine asynchrone) pardes régulateurs non entiers.

La progression de ce mémoire est ponctuée parcinq chapitresdont e contenu est pré senté ici de manière introductive. En dehors du premierchapitre, qui présente esnotions de base, les quatre autres sont indépendants. C'est pourquoi, esnotionsmathématiques spécifiques au thème traité dans chaque chapitre y sont présentéesau début.

Le chapitre 1 est consacré aux notions de base des opérations dedérivation et d'inn tégration non entières. On y présente ladéfinitionde 'équation di~érentielle d'ordre non entier, qui modélise les systèmes non entiers. Plusieurs représentations de ces systèmes, aussi bien dans l'approche transfert quedans lapproche d'étaty sontégalement détaillées. Ce chapitre contient également des définitions nécessaires àacompréhension desnotions présentées dans les autres chapitres. Le passage de a représentation transfert à aepréé sentation d'état des modèles non entiers, dont la littérature est très peu existante, ait l'objet d'une attention particulière. Dans la dernièrepartiede ce chapitre enfin, on préé sente l'approximation du dérivateur non entier par un modèle rationnel de dimension finie présentant les mêmes caractéristiques fréquentielles dans une bande de fréquenceimitée.

xii

Cette approximation est actuellement le moyen nécessairepermettant'analyse, aimuu lation et la réalisation des systèmes non entierss

Le chapitre 2 est consacré à une autre opération de dérivation appelée adérivation implicite puisqu'elle ne concerne pasla fonction à dérivée directement mais son produit par une fonction exponentielle croissante.Les modèlesqui en résultent sont appeléses modèles implicites d'ordre non entierLes mêmes problèmes de simulation et de réalisation sont de ce fait posés pour ces systèmes égalementtC'est ce qui est traité dans ce chapitre tant dans la représentation transfert que dans a représentation d'étattOn propose alors une méthode d'approximationdes systèmes non entiersmplicitescontinus, basée sure développement en fractions continu du modèle. Cette méthode est aussiutilisée pour déé velopper le modèle discret à partir du modèle transfert continuu Dansa deuxièmepartie de ce chapitre, on montre comment lapproximation de structuresnon entièresimples par un modèle entier de grande dimension peut être avantageusement exploitéee En eff fet, on développe des méthodes dapproximationdes modèles entiersde grande dimension utilisant un nombre trèsimportant de paramètres pardesmodèlesnon entiers, utilisant un nombre réduit de paramètresOn appelle cette nouvelle application a compression du nombre de paramètres des modèles entiers.

Le chapitre 3 Contient les contributions principales de cette thèse.On développe dans la première partie un modèle détat dordreentier qui approxime un modèle d'état non entier multivariable non nécessairement commensurablee Dans adeuxième partie de ce chapitre, on développe un autre modèle entier qui approxime emodèled'état d'ordre non entier mais en utilisant dans ce cas lapproximationde 'opérateur d'intégrationn our ce faire, on propose d'abord une nouvelle représentationd'étatutilisant'opération d'intéé gration à la place de la représentation usuelle utilisant 'opération de dérivationn Danses deux cas, l'erreur d'approximation du modèle non entier par e modèleentier enbasses et hautes fréquences y est également caractérisée.Lesdeux modèlesentiers ainsi développés ont "l'inconvénient" d'avoir une dimension relativement importante, onmontre alors dans

Xiii

la troisième partie de ce chapitre, que lutilisation des méthodesde réductionbaséesur les valeurs singulières du modèle peut être une solution pour réduire très considérablement la dimension du modèle entier sans perte significativede sa précision.

Le chapitre 4 Traite du problème d'identification dessystèmes nonentiersdans e domaine fréquentiel. On y montre comment lassociationd'une méthode d'optimisation heuristique, l'optimisation par essaim particulaires en 'occurrence, et'algorithme d'idenn tification "Vector Fitting" permetdedévelopper un nouvelalgorithme d'identification des systèmes non entiers dansle domaine fréquentiel. Cet algorithme fonctionne demanière hiérarchisée : dans un niveau supérieuren supposant connus es paramètresdu modèle, l'optimisation par essaim particulaires permet d'optimiser 'ordrenon entier et dans un niveau inférieur, l'ordre non entier étant connu, l'algorithme VectorFitting permet d'opp timiser les paramètres du modèle en utilisant la forme pôlessrésiduss

Le chapitre 5 présente une méthode de calcul des paramètres durégulateur IF d'ordre non entier utilisantla technique par placement de pôlessLe modèlede référence à imposer à la fonction de transfert en boucle fermée ne pouvant pas être obtenu para méthode de placement de pôles classique, une autre méthode, basée sur une technique d'optimisation utilisantles algorithmes génétiques, est alorsutiliséeeCe régulateur est ensuite utilisé pour la commande en vitessede la machine synchrone à aimantspermanents et de la machine asynchrone. Une comparaison avec lastructureIF entière classique y est également présentée pour montrer lintérêt des régulateursIF non entiers notamment vis à vis des variations des paramètres mécaniquess Dans adernièrepartie de ce chapitre, une analyse analytique dela robustesse des régulateursIF d'ordre entier et non entier est élaborée afin de corroborer les résultats obtenus par simulationn

Table des matières

1 Notions sur la dérivation non entière et les systèmes non entiers 1

1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Intégration d'ordre non entier 2

1.3 Dérivation d'ordre non entier 4

1.3.1 Définition de Riemann-Liouville 5

1.3.2 Définition de Caputo. . . . . . . . . . 6

1.3.3 Définition de Griinwald-Letnikov 7

1.4 Systèmes non entiers. . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Equation différentielle dordre non entier 11

1.4.2 Cacul des racines d'un polynôme dordre non entier 12

1.4.3 Transformation du plan complexe s par la transformation p = s^á . 17

1.4.4 Représentation transfert des systèmes non entiers 18

1.4.5 Représentation d'état dessystèmes nonentiers 19

1.5 De la représentation transfert à la représentation ddétat 21

1.5.1 Cas des systèmes commensurables 21

1.5.2 Cas des systèmes non entiers généralisés 22

1.6 Propriétés des systèmes dordre non entier en représentation ddétat 22

1.6.1 Réponse temporelle deléquation détat nonentière 29

1.6.2 commandabilité et observabilité des systèmes non entiers 30

1.6.3 Stabilité des systèmes non entiers 31

1.7 Approximation et simulation des systèmes dordrenon entier 33

1.7.1 Du dérivateur généralisé au dérivateurborné en fréquences 34

1.7.2 Dérivateur généralisé 35

1.7.3 Dérivateur généralisé borné en fréquences 36

1.7.4 Approximation du dérivateur borné en fréquences 37

1.8 Conclusion.... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Approximation des systèmes d'ordre non entier implicites 43

2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Modèle non entier implicite continu 45
2.2.1 Caractéristiques fréquentielles des opérateursde dérivation et d'inn

tégration d'ordre non entier implicite 45

2.2.2 Approximation de charef 46

2.2.3 Approximation utilisant le développement en fractions continu 48

2.2.4 Approximation d'un modèle non entier implicite 51

2.3 Discrétisation d'un modèle non entier implicite 52

2.4 Représentation d'état des systèmes nonentiersmplicites 56

2.4.1 Modèle d'état non entier implicite continu 56

2.4.2 Modèle d'état discret dun système non entiermplicite 59

2.5 compression de modèles entiers de grande dimension 65

2.5.1 Approximation d'un modèle non entier explicitededimension 1 . 66

2.5.2 Approximation d'un système entier de grande dimension parun modèle non entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5.3 Compression à l'aide d'un modèle oscillatoire 73

2.5.4 Exemple d'application. . . . . . . . . . . . . . 75

3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état 81

3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Calcul des erreurs d'approximation du dérivateur généralisé 82
3.2.1 erreur d'approximation du dérivateur généralisé paredérivateur

borné en fréquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.2 erreur d'approximation du dérivateur borné en fréquences parun

transfert rationnel. . 87

3.3 Approximation des systèmes non entiers enreprésentation d'étatutilisant l'opérateur de dérivation . 91

3.3.1 Résultat principal. . . . . . . 92

3.3.2 Condition d'existence du modèle entier 95

3.3.3 Erreur d'approximation pendant lerégimetransitoire 96

3.3.4 Erreur d'approximation au voisinagede t = 0 et t -* oc 99

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état utilisant'opérateur

d'intégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.1 modèle d'état utilisantlopérateur dintégration 102

3.4.2 Approximation de l'opérateur dintégration non entier 105

3.4.3 approximation du modèle non entier 106

3.4.4 Erreur d'approximation pendant lerégimetransitoire 108

3.4.5 erreur d'approximation au voisinagede t = 0 et t -* oc 112

3.4.6 Sur les conditions initiales des modèles détat non entiers 113

3.4.7 Comparaison des deux modèles dapproximation 117

3.5 Réduction des modèles entiers qui approximent le modèled'état non entier 124

3.5.1 Rappels sur la réduction de modèleslinéaires 125

3.5.2 Application à la réduction des modèles Sysent1 ^et Sysent2 131

3.6 Conclusion .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Identification des systèmes d'ordre non entier 141

4.1 Algorithme d'Identification "Vector Fitting" 142

4.1.1 Identification des paramètres de H(s) et ó(s) 143

4.1.2 Identification des pôles pi de G(s) 144

4.2 Optimisation par Essaim Particulaire 148

4.2.1 Algorithme d'Optimization par Essaim Particulaire 148

4.3 Application à l'identification dun système non entier 154

4.3.1 Principe de l'Algorithme. . . . . 154

4.4 Exemples numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4.1 Utilisation de l'algorithme "Vector Fitting" pour 'approximation

d'un dérivateur non entier . . . . . . . 155

4.4.2 Identification d'un system non entier 156

4.4.3 Identification à partir des données perturbées 158

5 Commande d'ordre non entier par placement de pôles 159

5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Dimensionnement d'un régulateur IF non entier par placement de pôles161

5.3 Détermination des paramètres du modèlede référence 164

5.4 Application à la commande en vitesse dune MSAP 169

5.4.1 Nomenclature des paramètres de la machine 169

5.4.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine 169

5.4.3 Modèle de park de la MSAP. . . . . . . . 169

5.4.4 Structure de commande 171

5.4.5 Décomposition du modèle dela MSAP en modèles de diension 1 . 172

5.4.6 Résultats de simulation et commentaires 174

5.5 Application à la commande en vitesse dune machine asynchrone 179

5.5.1 Nomenclature des paramètres de la machine 179

5.5.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine 179

5.5.3 Model de park de la machine asynchrone 180

5.5.4 Résultats de simulation et commentaires 184

5.6 Analyse de la robustesse. . . 188

5.6.1 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de f 189

5.6.2 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de J 191

5.7 Comportement des régulateurs IF entier et non entier à une sollicitation

du couple résistant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.8 Conclusion .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Table des figures

1.1 variation du facteur doubli P_á(t) pour 0 <a < 1 ..............4

1.2 Principe de généralisation de lopération de dérivation des ordresnon entiers .......................... . .... . . . . . ..5

1.3 variation des coefficients C(j) en fonction de j pour différentes valeurs de a 10 1.4 Coupure du plan complexe suivant laxe 1^- .................13 1.5 Transformation du plan complexe s par la transformation p = s^á . . . . . . 18 1.6 Domaine de stabilité des systèmes commensurables dans e plancomplexe p 33

1.7 diagramme de gain et de phase du dérivateur généralisédéal courbe I et

du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (a > 0) ............37

1.8 Diagramme asymptotique de Bode du dérivateur borné en fréquences et de

son approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Diagramme de Bode d'un FPP (trait plein) et d'un FPZ(trait discontinu) 46

2.2 Principe de calcul des singularités du transfertentier selon améthode d'approximation de Charef . . 47

2.3 Comparaison entre les deux méthodes dapproximation (trait plein : CFE,

en pointillés : méthode de Charef) ........................50

2.4 Position des pôles et zéros des transferts entiersobtenus enutilisantes

deux méthodes d'approximation 50

2.5 Approximation du modèle (224) en utilisant la méthode de Charef eta méthode utilisant CFE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6 Comparaison entre les modèles discrets obtenus en utilisant es trois fonc

tions génératrices (h = 0.01) 55
2.7 Comparaison entreles deux méthodes de discrétisation qui permettent

d'approximer le modèle non entier (224) (trait plein : méthode indirecte,

trait discontinu : méthode directe) 56
2.8 Réponse indicielle du modèle d'état du système non entier implicite de

dimension un, pour différentes valeurs de a 57
2.9 Réponse indicielle du modèle d'état non entier implicite de dimension un

discrétisé en utilisant les trois fonctions génératrices 61
2.10 Réponses indicielles des différents modèles continus et discrets représentant

le système non entier implicite (224) 64

2.11 Diagramme de Bode de G(s) et de ses approximations Gest(s) 78

2.12 réponses indicielles de G(s) et de ses approximations Gest(s) 79

3.1 erreur d'pproximation du dérivateur généralisé (2) par le dérivateur borné

en fréquences (1). 83
3.2 évolution de l'erreur d'pproximation _á(ùb) lorsque la bande d'approxima-

tion est élargie d'une décade. . . . 85
3.3 variation du paramètre délargissement u en fonction de l'erreur d'approxi-

mation en dB pour différentes valeurs de a 87

3.4 Diagramme asymptotique de Bode D_á(s) 88

3.5 Evolution de l'erreur en fonction du nombre de singularité N pour u = 2 89 3.6 Principe d'approximation du système non entier par un modèleentier 91 3.7 Principe d'approximation de la dérivée non entière de chaque variable d'état97

3.8 Schéma bloc de simuation d'un modèle détat entier 103

3.9 Schéma bloc de simuation d'un modèle détat dordre nonentier 104

3.10 Diagrammes de Bode del'approximationde lintégrateur d'ordrenon entier.

(trait plein : méthode présentée dans [TO], trait en pointillésméthode CRONE) 106

3.11 réponses indicielles des différents modèles dapproximation 119

3.12 Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation 120

3.13 réponses indicielles des différents modèles dapproximationdu système 3.120)122 3.14 Diagramme de Bode des différents modèles dapproximationdu système

(3.120) .... . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.15 Principe de comparaison des différents modèles réduits 126

3.16 Approximation de la dérivée dordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t) . . 132

3.17 Comparaison des trois modèlesréduits de dimension n = 10 de s0.75 . . . 133

3.18 Comparaison des trois modèlesréduits de dimension n = 5 de s0.75 . . . . 133
3.19 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent1

de dimension n = 5, (ad. donne n = 6) 136
3.20 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent 1

de dimension n = 2, (ad. donne n = 4) 136
3.21 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitde Sysent2

de dimension n = 5, (ad. donne n = 8) ....................137 3.22 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent 1

de dimension n = 2, (ad. donne n = 6) ....................137

4.1 Déplacement des pôles instables dans le plan s^a (0 < á < 1) ........146

4.2 Organigramme del'algorithme "VectorFitting" 147

4.3 Principe général de l'évolution dune particule 150

4.4 Organigramme général dun OEP 152

4.5 Algorithme hybride d'identiification utilisant simultanément "VectorFitt

ting" et l'Optimisation par Essaim de Particules 155

4.6 Position des pôles et zéros des modèles entiers qui approximent s^0.6. . . . 156
4.7 Diagrammes de Bode des modèles entiers qui approximent s^0.6 dans la

bande de fréquences [10^-5 10⁺⁵] pour n = 10 157

4.8 Diagrammes de Bode du système (4.28) et de son modèledentiifié 4.29 158

5.1 Structure de commande à laide dun régulateur IF non entier.......162
5.2 Structure de commande avec un régulateur IF non entier (K _p et Ki positifs) 164
5.3 Organigramme d'un algorithme génétique 167

5.4 Structure de commande dela MSAP 172

5.5 Réponse indicielle de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait dis-

continu : régulateur entier) 176
5.6 Evolution du courant i_q pendant le régime transitoire de la vitesse (trait

plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier) 177
5.7 Réponse indicielle de la vitesse avec variation ducoefficient de rottement

visqueux de #177; 50% en utilisant les deux types de régulateurs 178
5.8 Réponse indicielle de la vitesse avec variation du moment d'inertiede

#177; 50%. (1- valeur nominal avec régulateur entier, 2- valeur nominal avec ^régulateur non entier, 3- --50% de J avec régulateur non entier, 4- +50% de J avec

régulateur non entier, 5- --50% de J avec régulateur entier, 6- +50% de J avec

régulateur entier) 178

5.9 Structure de commande dela machine asynchrone 182

5.10 Réponse indicille de la vitesse(trait plein : régulateur non entier, train discontinu : régulateur entier) 185

5.11 Evolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.(1) : régulateur non entier, (2) : régulateur entier 186

5.12 Réponse indicielle de la vitesse avec variation du moment d'inertie.(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J) 187

5.13 Variation du courant iqs avec variation du moment dinertie(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec

+50% de J) 187

5.14 Position des pôles pour différentes valeurs de a1 192

5.15 Comportement des régulateurs enrejet de perturbation, trait plein : régu-

lateur IP entier, trait discontinu : régulateur IP non entier) 195

5.16 schéma de commande de la boucle de vitesse à laide dun régulateur IF 195

Liste des tableaux

2.1 FPP discret obtenu en utilisant les trois principales fonctions génératrices 54

2.2 valeur de l'erreur relative _app des trois modèles non entiers 78

3.1 Erreur d'approximation obtenue pour quelques valeursde a 84

3.2 Erreur d'approximation _á(Wb) obtenue pour plusieurs valeurs de a et de u 86 3.3 Valeur de obtenue pour différentes valeurs de N et de a lorsque ,t = 2 . . 89 3.4 Récapitulatif des résultats numériques 120 3.5 Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles121 3.6 Récapitulatif des résultats numériques 123 3.7 Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles123 3.8 Tableau comparatif des valeurs initiales et finalesdestroismodèles d'état 124 3.9 Tableau comparatif des erreurs relatives de réduction 134 3.10 Valeurs caractéristiques obtenues par les diversmodèles réduits qui app

proximent le système monovariable. (Vi : Valeur initiale. V.F. :Valeur finale

relevée à t = 10 s. eVF : erreur sur la valeur finale. dep. :dépassemented : erreur

sur le dépassement) 138
3.11 erreurs relatives de la réduction des modèles entiersqui approximente

système monovariable. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1 Comparaison entreles deux méthodes dapproximation (M.V. : méthode de

Vinagre, AGs : méthode utilisant un AG) 168

5.2 Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs 175

5.3 Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs 185

5.4 variations relatives de æÄf pour différentes valeurs de f ...........190
5.5 variations relatives de a1 pour différentes valeurs de f ............191
5.6 variations relatives de æÄJ pour différentes valeurs de J ...........193