III.3. Formulation mathématique du modèle
En psychométrie les modèles IRT décrivent
la relation entre la probabilité de répondre correctement
à un item et l'aptitude de l'élève. Il s'agit d'une
relation non linéaire dont la formulation dépend d'un certain
nombre de facteurs et notamment du nombre de paramètres que le
modèle comporte.
La formulation mathématique générale
s'exprime comme suit :
?? ?????? = ?? = ???? + ?? - ???? .?? ???? ??? - ???? )
Où
· F représente la fonction de répartition
d'une loi de probabilité.
· Xij la réponse de l'individu i à la
question j (i = 1,...,n et j = 1,...,k)
· ?? ??????= ?? est la probabilité que
l'individu i réponde correctement à l'item j
· ??? est (?? ?° ??) un scalaire
qui représente le niveau d'acquisition scolaire de l'individu i,
étant supposé normalement distribué au sein de la
population, il est exprimé sur une échelle de scores, dont les
valeurs sont pratiquement comprises entre -3 et +3 (distribution centrée
et réduite).
· ???? est un scalaire (????° ??) qui
représente le niveau de difficulté de l'item j ;
· ???? est un scalaire positif (???? ° ??) qui
représente le pouvoir discriminant de la question j
· ?? ??°[0;1[ , appelé paramètre de
pseudo-chance est introduit dans le modèle
quand on suppose que les répondants ont la
possibilité de trouver par hasard la réponse correcte à la
question. Cela est particulièrement valable dans les tests
composés de Questions à Choix Multiples (QCM).
Les pionniers de la théorie ont approximé les
modèles IRT par une fonction logistique du type :
?? ?????? = ?? = ???? + ?? - ????
?????? ?? ?? ??? - ???? )
?? + ?????? ???? ??? - ???? )
Les modèles Logit sont autant utilisés pour des
items à réponses dichotomiques que pour des items à
réponses polytomiques. On entend par items à réponses
dichotomiques une question qui n'a que deux possibilité de
réponse: une réponse correcte qui est codée 1 et une
réponse fausse qui est codée 0. Cependant, il ne s'agit pas d'une
attribution de valeurs comme dans les bases de données où l'on
recode, par exemple, le sexe 0=féminin et 1=masculin. Un score
dichotomique est un score basé sur les valeurs 0 et 1, où 1 a une
valeur réelle plus élevée que 0. Puisque les
données que nous utilisons portent sur des items à
réponses dichotomique on ne travaillera que dans ce sens.
Notons que dans la littérature on retrouve d'autres
formulations mathématiques, cependant les modèles Logit sont les
plus souvent utilisés dans la mesure où ils sont simples à
manipuler aussi les choisira t-on dans le cadre de ce présent
travail.
En se basant sur cette formule il est facile de voir que plus le
sujet se situe à un niveau élevé sur le trait, plus sa
probabilité de réussir l'item augmente.
| 
