I-1 TRANSFORMATION DE KIRCHHOFF
* * * 2
? ( ) ( - )
T ? T T ref ?
? T ? T ref
( )
Pour définir transformation de Kirchhoff, on introduit une
nouvelle variable définie par:
(A-1.6)
où est la température de référence
à laquelle on a évalué , la conductivité
thermique de référence. Et pouvant prendre la forme
affine suivante:
( T ? T ? ? T
?
~ ~ ~
? ) ( - 1) ( 1)
(A-1.7)
est un paramètre appelé coefficient de
température de la conductivité
thermique.
C'est la pente de la loi affine. Ainsi, (A-6) peut se
réécrire:
*
2
(A-1.8)
2 2
Tref
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
73
Cette équation, quadratique en , permet d'obtenir la
relation de retour entre la
température et sa transformée , suivante :
(A-1.9)
En adimensionnant les équations (A-1.1) et (A-1.2)
à partir des relations et en leur appliquant la transformation de
Kirchhoff, dans le cas des problèmes à propriétés
thermophysiques variables de type (I-40b), on a respectivement les
équations de diffusion et propagation de températures
linéaires suivantes:
? a e ?
? ?
? a ? ? ? ? 0
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? = 1
(A-1.10) (A-1.11)
Les conditions aux limites sont également
adimensionnées et transformées.
? Températures imposées:
? Flux imposés :
? ?( ? , F ?
0)
0 ?
?F 0
est la températu re adimension née
est le nombre de Fourier ou temps adimension
né
?
q* 0
(T )
*
? ? ? k ( T )
dT
Les conditions initiales des problèmes sont données
par :
T *
1 ?
k Tref k
ref ref
0 T T? ? t
0 L 2
Après avoir posé :
?
? T * ? ??
k(T)
F?
Tref
*
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
Une fois ces équations résolues on utilise la
relation (A-1.9) pour retourner aux problèmes adimensionnés en T
.
I-2 RESOLUTION DES PROBLEMES LINEARISES DE CONDUCTION
THERMIQUE
Les solutions des équations (A-1.10) et (A-1.11), selon
les conditions aux frontières considérées, sont obtenues
à partir de la méthode de séparation des variables. Le
profil de température étant déterminé dans le
matériau selon les variations des paramètres -pente de la loi
linéaire de la conductivité thermique en fonction de la
température et -nombre de Veron, à des instants fixés
matérialisés par le nombre adimensionnel de Fourier Fo
.
Dans le cas de la diffusion de la température, on a:
n Températures imposées q q
* *
? 1
0 1 2 * *
, F ) ? ? ? { ? ? ? ?
*
q * ? ( q q ) F
? ( q ?
0 ini 0 0 1 0 0
2 3
(?, ?
(?1??0)???0 ?2? ? (?ini
??0)?(?1??ini)(?1)nSin
?
?n???Exp??
n2?2F0?
n
(A-
0
n
?
)
q* 1
2
1.12a)
n Flux imposés
?
?(? ,F )
(?
?(? ??) ? ??
?2?Exp
1 0 0
??? F /2?2 ?? (?ini ?
?0) ?(?1 ? ?ini )(?1)n
Sin?n????Cos(?
F) ? Sin(?F0 ) ?
0 n?0 n??n 0
2?2?n ?
q;
(--) I n *l
q0 cos(n )exp(--
n27r2F0 )}
n2
2 Ld
7r 1
CO
?
n
(A-1.12b)
Dans le cas de la propagation de la température, on a:
n Température Imposées
? 2 2 )
(A-1.13)
avec
1
con --
s
sr(n
)
48
1
74
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
75
Dans cette étude, ces différents cas ont
été traités pour des conditions aux frontières
constantes. Pour les températures imposées les courbes suivantes
montrent bien la discontinuité prédite par le modèle C-V
(hyperbolique) lorsque survient une soudaine
variation de température; les points (figure A-1) du
matériau n'en sont pas
affectés. Il est également à remarquer
l'effet du signe de la pente sur les différents champs
de température représentés.
2.75
2.50
2.25
2.00
3.00
1.75
1.50
1.25
1.00
Hyperbolique Parabolique
?? = 0.3
0.0
-0.15
-0.3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
?
Figure A-1: Profil de température pour
Fo=0.08, 0.2 en Température imposées
? 1 ? 2. 0
2.75
2.50
2.25
2.00
3.00
1.75
1.50
1.25
1.00
Hyperbolique Parabolique
y? ? 0.3
0.0
-0.15
-0.3
? 0 ? 3.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
?
Figure A-2: Profil de température pour
Fo=0.08, 0.5 en Température imposées
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
76
Par ailleurs, les courbes de validation des codes de calcul en
flux imposés (pour les problèmes de diffusion thermique dans les
milieux homogènes et isotropes), aux frontières, sont
respectivement les suivantes:
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
F0 Analytique (D.T)
0.01
0.1
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
?
Figure A-3: Profil de température pour
Fo=0.08, en flux imposés
? 0 ? 3 .0 q 1 ? ? 1
.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
?
4.5
4.0
2.5
2.0
3.5
3.0
1.5
1.0
Fo Analytique (D.T)
0.01
0.1
1.0
*
Figure A-4: Profil de température pour
Fo=0.08, 0.2 en conditions mixtes
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
2.0
1.8
1.6
? b ? R m
N uH aH
1.4
1.2
h ? H
?
1.0
NuH k
Fo Analytique (D.T)
0.01
0.1
0.2
0.6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b ? 0,59
?
77
Figure A-5: Profil de température pour
Fo=0.08, 0.2 en convection aux frontières
| 
