REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE
FACULTE DES SCIENCES DE L'INGENIEUR
DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d'ordre : /Mag/2006.

Série : /GM/2006

MEMOIRE

Présenté pour l'Obtention du Diplôme de Magister
En Génie Mécanique

OPTION:

Thermo-Fluides

Par :
GHITI NADJIB

Soutenu le: /.... .. /

Devant le jury composé de :

Président .
· M^r NEMOUCHI Professeur Université Mentouri Constantine

Rapporteur .
· M^r K . TALBI M.C Université Mentouri Constantine

Examinateurs .
· M^r. KADJA Prof. Université Mentouri Constantine

Mr I. BENISSAAD M.C Université Mentouri Constantine

Remerciements

,Ce travail a été réalisé au Département de Génie mécanique université de Constantine à distance pendant deux ans dans le cadre d'une travail de recherche en magister option Thermofluides. Je saisis l'occasion de remercier tous les enseignants du département de Génie Mécanique et en particulier l'équipe du LEAP pour leurs soutiens et formation.

Je tiens tout d'abord à remercier très chaleureusement Le Docteur Talbi Kamel Durant ces deux ans, il m'a fait partager toute sa compétence, son savoir et ses nombreuses idées, avec confiance. Cette confiance, associée à son soutien et à sa gentillesse a été un enrichissement incroyable, et pas seulement scientifique. Ce travail a donc été un réel plaisir grâce à lui.

J'exprime ma profonde reconnaissance à Monsieur le Professeur ZOUBIR NEMOUCHI qui a bien voulu m'honorer en acceptant d'être le président de jury.

Je suis extrêmement sensible à l'honneur que me font Messieurs : Le Professeur KADJA MAHFOUD et Le Chef de département ISMAIL BENISSAAD, Maître de Conférences à l'université de Constantine, en acceptant de participer à cette mémoire de magister.

Je voudrais remercier vivement ma famille et plus spécialement mes parents Hassnaoui et Yamouna pour leur soutien durant toutes mes études. Mes frères Nabil, Driss, Amir, J'associe également à ces remerciements tous les autres membres de ma famille.

i

Sommaire

Chapitre I

1-1) Introduction 1

1-2) Domaine d'étude .....3

1-3) Recherche bibliographie 7

1-4) But du travail 14

1-4-1) Objectif du présent travail 14

1-4-1) Présentation du contenu de la thèse 15

Chapitre II

2-1) Introduction 16

2-2) Données expérimentales 16

2-3) Equations de transport 18

2-3-1) Equation de continuité 18

2-3-2) Equations de quantité de mouvement (de Navier Stokes) 18

2.4) Moyennes .18

2-4-1) La moyenne d'ensemble 18

2-4-2) La moyenne temporelle .19

2-5) Les équations de Reynolds ..19

2-5-1) Décomposition statistique 19

2-5-2) Règles de Reynolds ..19
2-5-3) Les tensions de Reynolds 20

2-5-4) Equations de transport aux tensions de Reynolds 20

2-6) Bilan aux tensions de Reynolds 21

2-6-1) terme de production .21

2-6-2) Taux de dissipation visqueuse 22

2-6-3) Corrélation pression-taux de déformation 22

2-6-4) terme de transport diffusif ..23

2-7) Modèle (k-å) 24

2-7-1) Concept de Boussinesq 24

2-7-2) Equation modélisée de k .25

2-7-3) Equation modélisée de å 25

Chapitre III

I PARTIE UN

Sommaire

3-6) Profils de pression et vitesse à z = 741 (mm) dans la partie conique 64

III PARTIE TROIS Comparaison entre les modèles RNG K-å et le modèle RSM

appliquée à la géométrie A 66

3-7-1) Contours des vitesses .69

3-7-2) Champ de l'énergie cinétique turbulente 69

3-7-2-1) Contraintes de Reynolds Normales et tangentielles 74

a) Station z = 200 mm sous le conduit de sortie 74

b) Station à z = 750 mm dans la partie conique 74

3-7-2-2) Contours de contraintes de Reynolds 75

5-8) Conclusions 78

Sommaire

Sommaire des figures

Chapitre I

Figure (1-1) Cyclone classique et notations associées 2

Figure (1-2) Schéma de principe de la séparation des particules 2

Figure (1-3) Définie le cyclone A 5

Figure (1-4) Définie le cyclone B, présentant un obstacle de piégeage 5

Figure (1-4b) cyclone B .6

Figure (1-5) cyclone C avec une rallonge cylindrique ..6

Chapitre II

Figure (2-1) régime d'écoulement dans une canalisation 17

Figure (2-2) Enregistrement de vitesse en régime turbulent 17

Figure (2-3) Différentes régions dans une couche limite sur une paroi plan 29

Figure-(2.4) Exemples de mailles utilisées en volumes finis par Fluent 33

Chapitre III

Figure-(3I-1) maillage des trois géométries 35

Figure-(3I-2) contours des vitesse tangentielle (m/s géométries : A (gauche),

B (milieu) et : C 36

Figure-(3I-3) Vitesse axiale (m/s) géométries : A (gauche), B (milieu) et C .37

Figure-(3I-4) Vitesse radiale (m/s) géométries : A (gauche), B (milieu) et C 38

Figure-(3I-5): Vitesse résultats (m/s) géométries : A (gauche), B (milieu) et C ...39
Figure-(3I-6): Vecteurs vitesse résultats (m/s) composantes : radiale, axiale, tangentielle à

l'entrée ...40

Figure-(3I-7) Pression statique (m/s) géométries : A (gauche), B (milieu) et C .41
Figure-(3I-8) Energie cinétique turbulente (m²/s²) géométries : A (gauche), B (milieu) et C
42

Figure-(3I-9) Intensité turbulente (%) géométries : A (gauche), B (milieu) et C .43

Sommaire

Figure-(3I-10a): Vecteurs de vitesse tangentielle (m/s) dans la partie inférieure de la

géométrie C 44
Figure (3I-10b) : Vecteurs de vitesse tangentielle d'après l'expérimentale de S Obermair

et al (2001) pour le cyclone C 44

Figure-(3I-11) Pression statique pour les cyclones A, B et C sous le conduit

de sortie à z = 200 mm 45

Figure-(3I-12) Vitesse résultante pour les cyclones A, B et C sous le conduit

de sortie à z = 200 mm 46

Figure-(3I-13) Vitesse axiale pour les cyclones A, B et C sous le conduit

de sortie à z = 200 mm 46

Figure-(3I-14) Vitesse radiale pour les cyclones A, B et C sous le conduit

de sortie à z = 200 mm 47

Figure-(3I-15) Vitesse tangentielle pour les cyclones A,B et C sous le conduit

de sortie à z = 200 mm ....47

Figure-(3I-16) pression statique dans la partie conique sous le conduit

de sortie à z = 741 (mm) 50

Figure-(3I-17) Vitesse résultante dans la partie conique sous le conduit

de sortie à z = 741 (mm) 51

Figure-(3I-18) Vitesse axiale dans la partie conique sous le conduit

de sortie à z = 741 (mm) 52

Figure-(3I-19) Vitesse radiale dans la partie conique sous le conduit

de sortie à z = 741 (mm) 53

Figure-(3I-20) Vitesse tangentielle dans la partie conique sous le conduit

de sortie à z = 741 (mm) 53

Figure-(3II- 1) Pression statique (Pa) dans les géométries A1 (gauche),

A2 (droite) 55

Figure-(3II-2) contours de la vitesse axiale (m/s) dans les géométries A1 (gauche),

A2 ( droite) .57
Figure-(3II-3) Contours de la vitesse radiale (m/s) dans les géométries A1 (gauche),

A2(droite).Ventrée=1 2.5m/s 58
Figure-(3II-4) contours de la vitesse tangentielle (m/s) dans les

géométries A1 et A2 58

Figure-(3II-5) contours de l'énergie cinétique turbulente (m2/s2) dans les

géométries A1 (gauche), A2 (droite) .59

Sommaire

Figure-(3II-6) Contours de l'intensité turbulente (?) dans les géométries

A1 (gauche) et A2 (droite) 59

Figure-(3II-7) vitesse axiale (m/s) à z = 200 (mm) sous le conduit de sortie ...60

Figure-(3II-8) vitesse radiale (m/s) à z = 200 (mm) sous le conduit de sortie 61

Figure-(3II-9) vitesse axiale (m/s) à z = 200 (mm) sous le conduit de sortie .62

Figure-(3II- 10) Résultante de vitesse (m/s) à z = 200 (mm) sous le conduit de sortie 63

Figure-(3II-1 1) Pression statique (Pa) à z = 200 (mm) sous le conduit de sortie ...64

Figure-(3II-12) pression statique (Pa) ....64

Figure-(3II-13) vitesse résultante des cyclone A, A1 et A2 à la station z = 741mm 65

Figure-(3III-1) Contours de la pression statique obtenus par le modèle RSM 67

Figure-(3III-2) Contours de la vitesse axiale obtenus par le modèle RSM 67

Figure-(3III-3) Contours de la vitesse radiale 68

Figure-(3III-4) Contours de la vitesse tangentielle (m/s) 68

Figure-(3III-5) énergie cinétique turbulente ..67

Figure-(3III-6) Pression statique à z = sous le conduit de sortie .70

Figure-(3III-7) vitesse résultante (m/s) 71

Figure-(3III-8) vitesse axiale (m/s) 71

Figure-(3III-9) vitesse radiale à z = 200 mm sous le conduit de sortie 71

Figure-(3 III-10) vitesse tangentielle (m/s) à z = 200 mm sous le conduit de sortie 72

Figure-(3III-1 1) contrainte de Reynolds (m\+(2)/s\+(2)) à z = 200 mm 73

Figure-(3III-12) Contraintes de Reynolds dans la partie conique de la géométrie A .....73

Figure-(3III-13) contours des contraintes normales de Reynolds ....76

Figure-(3III-14) Contou

Résumé

On présente dans cette mémoire l'étude de l'effet de la variation de la géométrie sur l'écoulement turbulent d'air dans un cyclone en utilisent deux modèles numériques, le premier modèle basé sur la dissipation de l'énergie cinétique par viscosité (K å), ainsi que le deuxième modèle basé sur la résolution des équations a contraintes de Reynolds (RSM), pour cela on a diviser cet recherche à trois parties :

Etude de l'effet de variation de la sortie inférieur du cyclone, on a fixé un corps conique devant la sortie de la géométrie (B), après on a remplacer le corps précédente par un tube cylindrique (C), après on a fait une comparaison dans la différences de pression on a constater que la géométrie (C) est meilleur point de vue rendement d'écoulement d'air.

Etude de l'effet de longueur du conduit de sortie supérieur de l'air frais, par l'utilisation de trois longueurs différentes, on a trouvé que la longueur originale (A) le meilleur.

Etude de l'écoulement turbulente de l'air dans la géométrie (A) à l'aide des deux modèles précédents on a constater que le modèle (K å) donne des bons résultats en terme du temps de calcule pour les nombres des variables réduits.

Summary

We present in this memory the study of the effect of the variation of geometry on the turbulent flow of air in a cyclone use of them two digital models, the first model based on the dissipation of the kinetic energy by viscosity (K å), as well as the second model based on the resolution of the stress equations of Reynolds (RSM), for that one has to divide this research with three parts:

Study of the effect of variation of the exit inferior of the cyclone, one fixed a conical body in front of the exit of the geometry (B), after one has to replace the body the preceding one by a cylindrical tube (C), after one made a comparison in the differences in pressure one has to note that the geometry (C) is better output point of view of flow of air.

Study of the effect length of the higher outflow tube of exit of the cleaning air, by the use three different lengths, one found that the original length (A) is the best.

Study of the turbulent flow of the air in the geometry (A) using the two preceding models one has to note that the model (K å) gives good results in term of the time computing for the reduced numbers of the variables.

Nomenclature

Nomenclature

Re nombre de Reynolds

Ui (i=1,2,3) vitesse instantanée, (m/s)

Ui (i=1,2,3) Vitesse moyenne, (m/s)

u 'i(i= 1,2,3) vitesse de fluctuation, (m/s)

P Pression, (N /m² )

p' fluctuation de pression, (N/m²)

k énergie cinétique de turbulence, (m²/s²)

uiu j tensions de Reynolds, (m²/s²)

' '

L échelle de longueur des grosses structures de turbulence, (m)

R rayon du cyclone

ds diamètre du conduit de sortie, (mm)

D : diamètre du cyclone, (mm)

H hauteur du cyclone, (mm)

S hauteur d'enfoncement du conduit de sortie du cyclone, (mm)

a,b longueur et largeur respectivement de la section d'entrée, (mm)

yp,xk distances des noeuds prés de la paroi

Pk taux de dissipation de l'énergie cinétique de turbulence

rt rayon limite entre les deux vortex

r rayon ( mm)

Ur vitesse de frottement ( égale à rp p)

Sij tenseur de déformation

S norme du tendeur Sij

ij,k,l,m,n : indication des composantes

Cu, CE1 , CE2 , CE3 : constante du modèle standard et le modèle RNG k- E

Symboles Grecs :

E taux de dissipation de la turbulence, (m²/s³)

u viscosité dynamique, (kg/ms)

y viscosité cinématique, (m²/s)

p masse volumique, (kg/m³)

ut viscosité turbulente, (kg/ms)

ít viscosité cinématique, (m²/s)

Cu, å1,å2, constantes du modèle de turbulence

ók nombre de Prandtl associé à l'énergie cinétique de turbulence

óå nombre de Prandtl associé au taux de dissipation

äij symbole de kronecker

constante du vortex libre

ôp contrainte la paroi

â constante du modèle RNG k- å

ç0 constante du modèle RNG k- å

1-1) Introduction :

Le principe de fonctionnement d'un cyclone est basé sur l'effet de la force centrifuge engendrée par un mouvement tangentiel d'un fluide à l'entrée du cyclone. Les particules emportées par le fluide se retrouvent éjectées vers les parois extérieures puis collectées dans la partie conique inférieure. Le fluide lui s'échappe dans le cylindre intérieur appelé aussi conduit de sortie en haut de l'appareil. Ce dispositif séparateur est simple par sa géométrie et sa construction, peu coûteux et sans éléments en mouvement et qui ne nécessite pas beaucoup de maintenance.

Beaucoup de produits industriels et naturels gazeux ou solides se trouvent mélangés, et pour les séparer on a besoin d'un mécanisme de séparation. Le premier appareil destiné à cette opération fût le cyclone depuis la fin du siècle dernier. L'idée est simple, on impose au fluide une entrée tangentielle ou axiale (aidé par un organe) lui permettant de projeter et de séparer les particules polluantes solides ou gazeuses vers la paroi extérieure, où elle glissent vers le bas de l'appareil, tandis que le gaz purifié est éjecté à travers le conduit de sortie en haut de l'appareil. Les diverses contraintes environnementales, l'évolution des moyens de productions et l'obligation des résultats en matière d'hygiène, de santé publique et de protection du travail imposent aujourd'hui à l'industrie de maîtriser en terme de pollution aussi bien les effluents gazeux qu'il rejette que l'air ambiant dans l'atelier. Ces contraintes ont poussé les scientifiques et les industriels à s'investir dans ce domaine, ce qui a élargi le domaine des cyclones dans plusieurs secteurs d'applications. On peut citer par exemple :

- l'industrie alimentaire

- l'industrie mécanique (cimenterie, hydrocarbures,...)

- l'industrie chimique

- la fonderie (filtration de l'air, piégeage du fer, ...)

- l'industrie de traitement des déchets

- la Dépollution des sols.

- la Biotechnologie et la biomasse

Les cyclones par leur simplicité de fabrication ont des a touts :

*) La mise en oeuvre est simple et les coûts d'investissement et de maintenance réduits.

*) La gamme des débits traités est grande : des cyclones échantillonneurs aux cyclones industriels, le débit volumique peut varier de moins d'1 m³/h jusqu'à 30.000 m³/h.

*) des fluides très chargés peuvent être traités, jusqu'à plusieurs kilogrammes de poussière par mètre cube d'air dans des cyclones destinés au cimenterie, de diamètre allant de 4 à 6 mètres.

*) les cyclones peuvent travailler à température élevée (jusqu'au 2000 K) et à haute pression (jusqu'à 100 bars)

Le principal facteur du cyclone est de prévoir ses performances (perte de charge, efficacité, nature de l'écoulement,...) et de le dimensionner. Pour résoudre ce problème, de nombreuses études proposent des modèles de turbulence pour bien comprendre la nature de l'écoulement aérodynamique qui est très complexe. Ceci a conduit à offrir une grande variété de formes de cyclones, qui sont autant d'essais d'optimisation aux réponses à une application spécifique. Nous donnerons un exemple d'un cyclone conventionnel à entrée tangentielle, schématisé sur la figure (1-1,1-2).

Figure-(1-1) Cyclone classique et Figure- (1-2) Schéma de principe de la

notations associées séparation des particules

* La longueur de prolongement de la conduite cylindrique (C). Tableau 1-1 : Dimensions des cyclones.

Plusieurs méthodes numériques sont alors nées et ont contribuées à l'étude de plusieurs phénomènes physiques que se soit industriel ou théorique. Parmi, l'outil numérique le plus utilisé actuellement qui trouve beaucoup d'applications dans le domaine industriel quelques soit la complexité, on trouve le code commercial « FLUENT ». En effet, les codes actuels de simulation s'adaptent très bien avec les géométries complexes en utilisant un maillage non structuré quelconque pour remédier aux problèmes de frontières irrégulières ou aux formes un peu particulières. Cette opportunité a permit l'élaboration de plusieurs contributions récentes s'intéressants au champs tridimensionnel complet de l'aérodynamique dans les cyclones. Parmi ces travaux, certains s'intéressent aux trajectoires des particules pour déterminer ce qu'on appel le diamètre de coupure pour lequel le cyclone devient inefficace H.Yochida (1996). D'autres donnent plus d'importance à l'aérodynamique du fluide sans injections de particules pour étudier les phénomènes complexes qui ont lieu dans différentes parties d'un cyclone pouvant, ainsi, remédier au problème essentiel des cyclones qui est la perte de charge très importante M. Slack (2003), comme la forme géométrique a son influence sur l'efficacité de séparation des particules. Nous sommes aller vers l'étude suivante.

1-2) Domaine d'étude

Dans ce travail, on va présenter trois configurations géométriques différentes. Ces trois géométries (A, B et C) sont constituées par un même corps cylindrique dans lequel est monté le conduit de sortie et une partie conique similaire. Les deux cyclones (A et B) sont identiques la différence se trouvent seulement dans la partie récupérateur où on implante un élément parallèle à l'axe du cyclone qui piège les particules dans ce dernier (voir figure-(1-4b).

On remarque, dans la première que le fond est une cuvette de forme cylindrique. Cette figure
présente la forme la plus courante des cyclones utilisées dans l'industrie. L'entrée tangentielle

imprime au fluide chargé un mouvement de révolution autour de l'axe. Le fluide, en écoulement de type tourbillonnaire non entretenu, descend dans l'espace annulaire puis dans le cône où se fait le retournement et, toujours en rotation, remonte dans le conduit de sortie. Le cylindre est prolongé par un cône (ou partie appelé aussi par un terme technique le trémie) vers le bas duquel sont évacués les poussières captées. Le conduit de sortie de l'air et les poussières fines est un conduit coaxial au cylindre. L'écoulement après le parcourt de l'espace libre trouve une zone de séparation qui peut-être schématisé par deux vortex comme l'indique la figure (1-2). Nous verrons plus loin que l'écoulement est très complexe, est peut être gérer par:

- un vortex annulaire descendant (appelé aussi par d'autres auteurs mouvement irrotationnel)

- un vortex central ascendant (mouvement rotationnel)

Du fait de la rotation, les particules présentes dans le gaz sont soumises à une force centrifuge. Elles sont projetées vers les parois du cyclone le long duquel elles descendent vers le récupérateur. Dans la partie conique (ou trémie), le mouvement de rotation est accéléré et la distance des particules à la paroi est réduite.

Par contre, le cyclone B son fond est identique au cyclone A, la seule différence se situe dans la cuvette du fond du cyclone, où on rajoute dans cette partie un élément en plus (voir figure-(1-4a et 1-4b)) qui sert pour le piégeage des particules dans cette zone. Par la suite la conception du cyclone C est bien différente aux deux autres, par sa partie inférieur à partir du cône, on prolonge ce dernier par un tube cylindre pour canaliser l'écoulement jusqu'à la cuvette.

Figure-(1-3) définie le cyclone A

Figure-(1-4) définie le cyclone B, présentant un obstacle de piégeage

Figure-(1-5) cyclone C avec une rallonge cylindrique

1-3) Recherches bibliographies :

Yoshida. H (1996) a mené des études expérimentales et numériques sur l'efficacité de filtration d'un cyclone conventionnel et d'un cyclone modifié. Ce dernier comporte dans la partie basse de récupération des particules un cône déplaçable verticalement qui empêche le retour vers le haut des particules. Il est aussi caractérisé par une entrée en spirale (virole) dans le plan perpendiculaire à l'axe. L'étude numérique tridimensionnelle confirme le résultat expérimental que l'efficacité de filtration obtenue par le modèle proposé est meilleure que celle du cyclone conventionnel. Le modèle de turbulence k-å appliqué à l'écoulement en question qui a été utilisé en conjonction avec le schéma numérique Quick s'est avéré performant.

Slack et al. (2003) ont présenté un développement d'une interface pour améliorer l'utilisation du logiciel Fluent par des utilisateurs non experts. L'article décrit un outil automatisé qui permet à l'ingénieur d'effectuer des simulations sur les cyclones permettant ainsi des conceptions plus rapides et moins coûteuses.

Bruno Reinhardt et al (1997) Parallèlement à l'étude expérimentale faite par fil à chaud, une étude numérique a été menée à travers le développement de calcul, nommé CYCLOP « fruit d'une collaboration européenne »qui dérive du code FLUENT. Ce code développé se base essentiellement sur la méthode des volumes finis, qui permet d étudier des écoulements turbulents, visqueux, incompressibles, bidimensionnels et axisymétrique grâce à l'utilisation d'une condition de symétrie. L'Algorithme SIMPLE est utilisé pour la résolution du système composé des équations de Navier-Stokes et de fermeture K-å ou RSM. La simulation a été testée sur des cyclones de 400 et 800 mm de diamètre. Par la suite, l'auteur a utilisé une modification du modèle de turbulence pour prendre correctement en compte l'effet d'échelle sur le développement du vortex. Dans son travail, il conclu que les profils de la vitesse tangentielle, adimensionnée par la vitesse moyenne d'entrée, et du taux de turbulence, en fonction du rayon, adimensionné par le rayon du cyclone, sont pratiquement confondus et indépendants de la vitesse moyenne d'entrée pour les deux configurations. Dans la région du vortex forcé, la simulation est conforme avec l'expérimental, par contre dans le noyau du vortex (lieu de rencontre des deux vortex), en utilisant les équations de N-S avec les deux équations de fermetures K et å, les écoulements dans les deux cyclones homothétiques, sont

en parfaite similitude, expérimentalement, les conclusions sont totalement différentes. Le modèle de turbulence pour ce cas doit-être changé d'après l'auteur.

Romualdo L et al (1999) Parmi les différentes théories existantes pour prédire l'efficacité de collection des cyclones, on montre que la théorie de diffusivité de Mothes et Loffler (1988) donne le meilleur calage des courbes d'efficacité observées. Toutefois, le manque de connaissances sur la dépendance du coefficient de dispersion turbulente des particules en fonction de la géométrie du cyclone, des conditions de fonctionnement et de la taille des particules a empêché jusqu'à présent l'application de cette théorie à des fins de prédiction ou d'amélioration de la conception des cyclones. Dans ce travail, on applique cette théorie à des fins de prédiction, en recourant à une relation empirique pour le coefficient de dispersion turbulente des particules. La relation proposée s'appuie sur une analogie avec la dispersion turbulente en lits garnis et s'exprime sous forme d'une corrélation faisant intervenir les nombres de Peclet et de Reynolds, radiaux de particules. Des cyclones à écoulement inverse à l'échelle de laboratoire ayant des géométries non encore publiées ont été construits afin de tester l'applicabilité de la relation proposée. La théorie de Mothes et Loffler (1988), lorsqu'elle est couplée aux estimations de coefficients de dispersion turbulente proposées, est un outil puissant pour prédire l'efficacité de collection des cyclones, sauf si on recourt à des outils de simulation de la dynamique des fluides.

Li Xiaodong et al (2003) Du point de vue de l'influence de la structure de turbulence, cet article présente une analyse élémentaire de l'interaction entre une particule et une phase gazeuses. Les effets de la structure de turbulence et l'épaisseur de la couche limite sur l'efficacité de séparation dans un séparateur cyclonique ont été étudiés. Les effets de la force de Saffman sur la trajectoire de particules sont également analysés. Les résultats indiquent que l'efficacité de séparation diminue avec une augmentation de l'intensité de turbulence et augmente avec une diminution de l'épaisseur de la couche limite. La force de Saffman peut augmenter la séparation de petites particules et peut également raccourcir leur temps de séjour dans le cyclone.

L'incrément de la turbulence laisse les particules entrer dans la zone où la vitesse axiale de

la phase gazeuse est ascendante qui donne une bonne explication pourquoi l'efficacité de séparation des petites particules est diminue relativement avec l'augmentation de l'intensité de

turbulence. Les résultats prouvent que l'efficacité augmente avec une diminution de l'épaisseur de la couche limite pour les particules de diamètre <30 micm.

Brennan. M.S (2003) Dans cet article l'écoulement turbulent dans un séparateur cyclonique est étudié avec la simulation des grand échelles (LES) basée sur une méthode d'élément spectral (de Fourier) on coordonnés cylindriques (SEM) En utilisant le modèle de sous maille de smagorinsky dans sa formulation standard et dynamique. Dans cette étude la partie inférieure est fermée car l'objectif principal de cette étude est d'étudier l'écoulement monophasé, qui est censé à partir du haut du cyclone. La grande vitesse d'agitation produit des difficultés pour les modèles statistiques simples de turbulence utilisés dans les équations de Navier stocks (RSM) comme Le modèle K-e qui encore est largement répandu pour la conception dans l'industrie. Pour le tenseur linéaire des contraintes les corrélations dans ces modèles échouent souvent en présence de la courbure des lignes de courant accompagnée d'agitation. Cet échec de ces modèles provoque souvent des profils de vitesse d'agitation typiques de la rotation d'un solide. RANS d'autre part utilise des modèles de paroi à pour dévier la couche limite, mais ne peut pas distinguer la phase de transition ver la turbulence. Ceci a encouragé le développement des approches hybrides telles que la simulation des échelles détacher-(DES, spalart et al, (1997), pour les résultats obtenus par RANS indiquent des faits de traction. Est d'abord que ce modèle simple échoue à Capturer la distribution correcte de vitesse de swirl et prévoit la vitesse axiale totalement incorrecte La distribution qui semblent ne pas être influencés par les conditions d'entré jusqu'à un degré semblable comme les résultats de DES. Les résultats du cyclone par LES indiquent le succès dans la prévision.

Richard Caetano et al (2003) Ce travail consiste à modéliser l'efficacité de filtration du système d'épuration Aireco. Cet échangeur épurateur se compose d'un corps cyclonique et de nappes de serpentins réfrigérés provoquant la condensation de la vapeur d'eau contenue dans le gaz pollué traité. Dans ce modèle, il se base sur deux cas de prédictions différents qui sont : * L'impaction inertielle qui intervient quant les particules transportées par l'air sont piégée

sur les serpentins en aval de l'entrée du fait de leur inertie. Les particules sont incapables de suivre la courbure des lignes de courant du fluide contournant le serpentin,

* Le piégeage des particules résiduelles par centrifugation comme dans un cyclone classique.
Ces dernières provoquent la condensation de la vapeur d'eau contenu dans le gaz pollué traité.
Pour augmenter l'efficacité du système, au lieu de considérer la pulvérisation de brouillards

d'eau dans l'écoulement gazeux comme il est parfois pratiqué, les auteurs proposent la condensation de l'air humide dans le corps même du cyclone. L'intérêt est de diminuer l'effluent liquide en grande quantité produit sur la pulvérisation qu'il faut ensuite traiter. Malgré, la complexité de la géométrie originale, les propriétés d'épuration du système sont décrites d'une manière simple et satisfaisante avec une incertitude relative de l'ordre de 5%. Cependant, cette approche globale est spécifique à cette configuration et donc manque d'universalité. En plus, elle nécessite la connaissance a priori de l'aérodynamique dans le cyclone.

Stefan Schmidt (2003) Dans cet article l'écoulement turbulent dans le cyclone est étudié en utilisant la simulation des grandes échelles (LES) basée sur les coordonnés cylindriques en utilisant la méthode des éléments spectrales de Fourier (SEM) avec le modèle de sous mailles de Smagorinesky dans sa forme standard et la formulation dynamique. Les résultats montrent qu'il y a une différence dans le modèle numérique et les résultats expérimentaux. Le système de coordonnées cylindriques utilisé dans le calcul par la méthode de Fourier (SMM) requises une périodicité dans la direction azimutal et il n'est pas capable de modéliser l'écoulement de paroi sur laquelle les profiles de vitesses sont interpolés.

Souzaa. F. J, et al (2004) La contribution actuelle vise à simuler un écoulement par le modèle LES (Large Eddy Simulation) pour prévoir son comportement dans un hydrocyclone fonctionnant sans noyau d'air (absence du core d'un cyclone où zone centrale de dépression). Des équations mathématiques régissantes l'écoulement ont été résolues par une méthode « pas fractionnement ou step method ». Cette approche exige que les grands tourbillons anisotropes résolus directement tandis que les plus petits tourbillons soient modelés. Le modèle de Smagorinsky est employé principalement dans ce travail pour appuyer la consistance du travail en question. Le grand avantage de ce modèle se situe dans sa simplicité et la dépendance à l'égard d'une constante seulement. L'auteur conclu que le résultat numériquement obtenu est en bon accord avec les caractéristiques principales du modèle de l'écoulement et conviennent raisonnablement bien avec l`expérience, en suggérant que le modèle LES représente une alternative numériquement intéressante aux modèles classiques de turbulence lorsqu'ils sont appliqués à la solution numérique des écoulements dans les hydrocyclone.

L'accord entre les valeurs simulées et expérimentales de la chute de pression est satisfaisant, l'auteur espère que cette méthodologie actuelle sera employée dans le proche futur comme outil pour l'étude, conception et optimisation des hydrocyclones.

Obermain S. et al. (2001) ont effectué des mesures par LDA de l'écoulement à l'intérieur de différentes configurations de cyclone. Ils ont montré qu'en changeant la géométrie du fond du cyclone, l'aérodynamique résultante peut mener à une amélioration appréciable de l'efficacité de filtration. En effet, pour le cyclone conique classique les mesures montrent un vortex descendant le long des parois et un deuxième vortex remontant au centre transportant les particules vers le haut. Par contre, dans le cyclone qu'ils proposent où on prolonge la conduite de sortie à section constante (tube cylindrique) le piégeage de particules est bien capté dans cette configuration. En effet, dans le tube cylindrique rajouté le vortex ascendant traverse une région caractérisée par une grande vitesse tangentielle et une faible intensité de turbulence. Les auteurs concluent que cette dernière configuration améliore l'efficacité de filtration par rapport à celle des cyclones classiques.

Schmidt. St (2004) dans cet article l'auteur étudie l'influence du tube de sortie avec ses différentes configurations en longueur:

-a) tube de sortie : court, moyen, long et long centré

-b) tube de sortie : court courbé, long courbé et long avec sortie horizontale vers l'atmosphère sur les propriétés d'écoulement dans les cyclones en utilisant la méthode de simulation DES (Detached Eddy Simulation). Les résultats numériques obtenus à partir de différentes formes employés du tube de sortie montrent bien qu'il existe une influence importante sur le comportement d'écoulement dans le cyclone. Ceci, par la présence des tourbillons oscillatoires dans la région centrale de différents cyclones pour chaque cas (core, axe du cyclone) réduisant sensiblement l'efficacité du cyclone comme dispositif de séparation des particules. Il apparaît clairement que pour le cas du tube court l'oscillation du noyau de vortex peut-être clairement identifié en tant que région foncé serpentant autour de la ligne centrale du cyclone. La ligne centrale de l'écoulement pour le cas du tube court devient perturbée et non axial. Par contre, pour les trois autres, elles ne le sont pas. En comparant les résultats, il apparaît qu'à partir d'une certaine longueur de tube, la forme de la géométrie n'a pas un impact fort sur le comportement de l'écoulement dans le cyclone.

-a)

Jolius Gimbun et al (2001), Le présent travail présente un calcul de simulation numérique par le modèle RSM (Reynolds stress model) en utilisant un code commercial FLUENT 6.1 d'un fluide dynamique pour prévoir et évaluer les effets de la température et la vitesse d'admission sur la chute de pression des cyclones de gaz. Dans cet article on examine aussi, la comparaison de quatre modèles empiriques proposés par des hauteurs cités dans sa bibliographie travaillants dans le domaine pour prédire la chute de pression de la géométrie considérée. L'auteur conclu que toutes les prévisions avérées être satisfaisant une fois comparé avec les données expérimentales présentées. Les simulations de CFD prévoient d'une façon excellente la chute de pression de cyclone sous différentes températures et vitesses à l'admission avec un modèle empirique de déviation maximum de 3% des données expérimentales. Le code Fluent rapporte aussi avec le modèle RNG-K-å prévoit des prévisions raisonnables. La chute de pression de cyclone peut-être récrite comme fonction de la vitesse à l'entrée du cyclone. En conclusion, le modèle RSM s'adapte parfaitement avec le modèle empiriques de Lapple (1951) par contre le modèle de Dirgo (1985) est un peut dévié par rapport au modèle numérique RSM.

Talbi. K (2004), Pour bien comprendre le phénomène d'écoulement de séparation des particules du fluide d'entraînement sous le conduit de sortie de l'air, une étude expérimentale de l'écoulement turbulent tridimensionnel dans un cyclone est présentée. Des mesures des vitesses moyennes et des intensités de la turbulence axiales et tangentielles ont été effectuées par LDA. Le dispositif expérimental LDA a été monté de sorte que des traversées radiales puissent être faites en différents angles de la géométrie cylindrique du cyclone et en différentes stations axiales. Un phénomène très important est remarqué sous le conduit, est que, les courants descendant et ascendant sont séparés par une surface qui se situe pratiquement sur le prolongement du conduit central. L'existence d'un vortex quasi-forcé au centre et d'un vortex quasi-libre l'entourant est confirmée. Puis l'auteur de l'article confirme encore qu'il existe une la surface fictive entre les deux types de vortex peut être clairement définie comme l'ensemble de points d'intersection de la droite de pente +1 (LnUt en fonction de Lnr) dans le vortex quasi-forcé et de la droite de pente - 1 ( LnUt en fonction de Lnr) dans le vortex quasi -libre.

Kharoua. N (2005), la présente contribution concerne l'étude de l'influence du maillage et des schémas de discrétisation sur la solution numérique de l'écoulement tridimensionnel turbulent dans un cyclone dépoussiéreur (séparateur par effet cyclone).

L'intérêt de l'étude de l'aérodynamique dans les cyclones est d'optimiser leur fonctionnement, c'est-à-dire d'augmenter leur efficacité de filtration, tout en minimisant l'énergie consommée pour générer l'écoulement de l'air qui est due à la chute de pression importante entre l'entrée et la sortie du séparateur.

Des résultats, concernant la caractérisation du champ aérodynamique dans un cyclone dépoussiéreur, ont été obtenus par l'intermédiaire du code FLUENT.

Pour vérifier la consistance de son travail il a pris comme références les résultats publiés par Slack (2003) obtenus par le même code. Ce travail représente une modélisation d'un cyclone avec un maillage hexaédrique et plusieurs modèles de turbulence. Les résultats ont été validés par des résultats expérimentaux publiés par Boysan et al (1986).

Zhao et al (1999) ont étudiés l'écoulement dans un cyclone par deux méthodes. La première utilise le code commercial Fluent 3.03. L'écoulement est considéré tridimensionnel donc non axisymétrique. Il est tenu compte de l'effet de la turbulence par le modèle ASM. La deuxième approche, développée par les auteurs, est analytique. Une solution exacte a été donnée de l'équation de la fonction de courant pour l'écoulement permanent axisymétrique non- visqueux dans la zone conique du cyclone. Les résultats du cyclone ont été comparés avec les données expérimentales de Boysan et al (1982) et de Kelsall D.F. (1992). Les résultats numériques, analytiques et expérimentaux sont en bon accord. Cependant, il a été trouvé que les conditions à l'entrée notamment la vitesse moyenne et les contraintes de Reynolds ont une forte influence sur le comportement de l'écoulement à l'intérieur du cyclone.

Noriler. D et al (2004). Dans ce travail, un nouvel appareil mécanique pour améliorer l'écoulement du gaz dans les cyclones, en réduisant la perte de charge, est présenté et discuté. Ce comportement a lieu à cause des effets d'introduction du phénomène de cassage du « swirling » à l'entrée d'un tube qui canalise l'écoulement vers le centre, l'appareil se compose d'un tube ayant deux entrées de gaz, dans un « flux spiral » qui produit une réduction brusque importante de la vitesse tangentielle, responsable pour pratiquement de 80% de la perte de charge dans les cyclones. A son tour, Cette réduction de perte de charge casse le « swirling », et à cause de ça, les particules solides tendent à se déplacer plus rapidement vers la paroi, ce qui augmente le rendement de dépôts. Comme résultat de ce

phénomène, la performance globale des cyclones est augmentée. Les simulations numériques faites à 3-D, transitoire, asymétrique et anisotrope de turbulence à l'aide des équations différentielles des contraintes pour les géométries standards de 0.3 m de diamètre de Lapple (1951) et Stairmand (1951), montre une réduction des pertes de charge de 20% et un décalage du maximum de la vitesse tangentielle vers la paroi. Toutes les expériences numériques ont été menées à l'aide d'un code CFD commercial 3D montrant une stabilité numérique et de bons taux de convergence à l'aide des schémas d'interpolation d'ordre élevé, SIMPLEC pour le couplage pression-vitesse et d'autres propriétés numériques.

Fuping Qian et al (2006). L'article à pour but d'étudier la partie de l'écoulement des gaz dans le récupérateur ( casier) pour différents formes de cyclones, cyclone conventionnel et une variante de cyclones avec des tubes prolongés rattachés. Le modèle des contraintes de Reynolds a été utilisé pour prédire les champs d'écoulement des cyclones conventionnels et modifiés, de la vitesse axiale et de l'énergie cinétique turbulente ont été présentés ; et les débits d'écoulement descendant au récupérateur des trois cyclones sont comparés. Les performances de séparation de ces cyclones sont testées. Le résultat indique que la vitesse tangentielle, la vitesse axiale et l'énergie cinétique turbulente dans le récupérateur subissent une grande diminution lorsque le tube vertical a une longueur de 0.5 m. Par ailleurs, le tube vertical prolongé augmente l'espace de séparation des poussières. Le débit descendant vers le récupérateur du cyclone prolongé diminue par rapport au cyclone conventionnel. Les résultats expérimentaux montrent que le tube vertical prolongé peut améliorer le rendement de séparation par un accroissement léger de la perte de charge.

Cependant, pour un tube encore plus long, le rendement de séparation est légèrement diminué. Ainsi, il y'a une longueur optimale du tube pour un cyclone donné.

1-4) But du travail :

1.4-1) Objectif du présent travail :

Ce travail traite par simulation l'aérodynamique d'un écoulement tridimensionnel turbulent par deux modèles de trois configurations géométriques différentes (A, B et C). essentiellement au fond des cyclones. On présente aussi une variante d'étude de la longueur d'implantation du conduit de sortie du cyclone A (s) (voir figure 1-1) à fin de voir son l'influence sur l'écoulement.

La seconde partie traite la simulation numérique de l'écoulement tridimensionnel considérée. Cette dernière est basée sur l'utilisation de deux modèles mathématiques de turbulence à savoir, le modèle RNG-(k-å) et le modèle des contraintes de Reynolds appelé aussi, modèle (RSM). Cette analyse de simulation numérique, est traitée par un logiciel commercial « Fluent », disponible au laboratoire de mécanique de Constantine (par convention entre la maison Fluent et L'IGM de Constantine).

1.4-2) Présentation du contenu de la thèse :

Le présent travail comprend trois chapitres qui sont :

a) Chapitre un : introduction et étude bibliographique

b) Chapitre deux : formulation mathématique

c) Chapitre trois : résultats et discussions

Le chapitre un décrit l'importance des cyclones et leur vaste utilisation industrielle, suivie d'une étude bibliographique des travaux effectués par d'autres auteurs dans le domaine au cours des années précédentes, finaliser par l'objectif des grandes lignes de cette thèse.

Le chapitre deux est réservé aux formulations mathématiques, où, on expose les équations mathématiques régissant les phénomènes d'écoulement turbulent dans la configuration en question. Deux modèles mathématiques de turbulence sont présentés, à savoir, le modèle RNG-(k-å) et le modèle RSM (Reynolds Stress Models).

Le troisième chapitre est consacré aux résultats et discussions. L'exploitation des deux modèles de turbulences par une simulation numérique appliquées aux trois cyclones (A, B et C) fourni par le logiciel « FLUENT », nous permettra de visualiser l'écoulement. Les résultats obtenus seront discutés. Certains résultats numériques seront confrontés à d'autres résultats expérimentaux.

A la fin, on termine ce travail par une conclusion générale et la contribution apportée par l'étude en question.

Formulation mathématique

2-1) Introduction :

La plupart des écoulements d'importance pratique existent en régime turbulent. Divers méthodes sont alors appliquées aux écoulements turbulents et correspondent à différents niveaux de description ayant chacun leurs performances et leurs limitations spécifiques. Parmi la variété des modèles de turbulence et des approches possibles, l'utilisation sera souvent amenée à effectuer un choix dicté le plus souvent par la nature du problème physique à résoudre et les réponses recherchées. Dans le présent travail, nous allons tenter d'appliquer deux modèles connus dans le domaine de turbulence qui sont le modèle (RANS-k-å) et le modèle aux tensions de Reynolds appelé aussi modèle (RSM) pour l'étude de l'écoulement tridimensionnelle turbulent dans un cyclone séparateur. Ce dernier, donne une description plus réaliste des phénomènes d'interaction turbulente en suivant l'évolution de chaque paramètre turbulent par des équations de transport.

2-2) Données expérimentales :

Nous savons d'avance que le comportement de l'écoulement est de nature turbulent dans la plupart des cyclones industriels. Essayons alors, de décrire la turbulence vue par Reynolds, elle consiste à observer l'écoulement d'un liquide dans un tube transparent dont la paroi intérieure est peu rugueuse. Le tube est alimenté par un réservoir à niveau constant, pour visualiser la nature de l'écoulement, on y introduit un colorant liquide au moyen d'une pipette fine placée à l'entrée du tube, aussi rigoureusement que possible dans l'axe de celui-ci :

Régime laminaire : pour des vitesses faibles, le filet coloré issu de la pipette est parfaitement rectiligne jusqu'à la sortie du tube. On n'observe aucun mélange entre le colorant et le liquide (écoulement doux)

Régime turbulent : A partir d'une certaine valeur de la vitesse U, le filet coloré se met à onduler et s'épaissit progressivement vers l'aval de l'écoulement. Lorsqu'on augmente encore la vitesse, les ondulations s'amplifie et il apparaît en aval une zone de mélange ou le colorant se disperse totalement dans l'écoulement.

Ecoulement laminaire

U

Ecoulement turbulent

Figure (2-1)- régime d'écoulement dans une canalisation

Plaçons, maintenant par exemple dans l'écoulement une sonde fixe mesurant la composante locale instantanée Ut de la vitesse, et supposons que les conditions aux limites soient stationnaires. Un enregistrement de Ut en fonction du temps présentera l'aspect schématisé sur la figure (2-2) : des oscillations irrégulières, mais qui se produisent autour d'une valeur moyenne U de Ut.

Ut

u^'(+)

.t t+T

Figure (2-2)-Enregistrement de vitesse en régime turbulent

Plus précisément, si l'on calcule entre deux instant t et t +T la fonction :

U 1 (2-1)

= ? Utdt

t

On constate que sa valeur est indépendante de t et de T, pourvu que l'intervalle [t, t+T]
contienne un assez grand nombre d'évènements. Par contre, en modifiant les conditions aux

limites de telle sorte que l'écoulement devienne laminaire, l'enregistrement de Ut sera pratiquement une droite Ut = U = cte.

NB : les mêmes constatations pourraient être faites en mesurant les autres composantes instantanées Vt et Wt de la vitesse, la température ou pression.

2-3) Equations de transport :

Dans ce chapitre, on se limite aux équations valables pour un fluide incompressible Newtonien (air). Afin, d'expliciter clairement chaque terme, on exprimera les équations dans un système de coordonnées cartésien. Les équations qui régissent l'écoulement sont :

2-3-1) Equation de continuité :

? ñ (2-1)

?

+ ( ) = 0

ñ U i

?

2-3-2) Equations de quantité de mouvement (de Navier Stokes):

La loi de conservation de quantité de mouvement traduite par les équations de Navier Stokes exprime tout simplement la loi fondamentale de la dynamique pour un fluide Newtonien. Les équations de quantité de mouvement écrites suivants xi (i =1, 2,3) sont :

? U ? U 1 ? P ? ? U

i i i

+ U + ( )

= - í

j

t ? x ñ ? x x ? x

? j

j i j

2.4) Moyennes

2-4-1) La moyenne d'ensemble :

On réalise N expériences indépendantes portant sur le même écoulement.

On enregistre à la ^iième expérience la valeur d'une même quantité à la même position et

au bout du même temps, soit( , )

f ( i ) x t .

La moyenne d'ensemble de la quantité f à la position x et l'instant t est définie par :

1

f x t ( , )

( , ) ( ) (2-3)

= ? f ⁱ x t N i

2-4-2) La moyenne temporelle :

La moyenne temporelle est définie pour une seule expérience, à une seule position, l'écoulement étant stationnaire sur le temps t.

t

? U x dt i ( )

j

0

t? 8

t? 8

2-5) Les équations de Reynolds

2-5-1) Décomposition statistique

Pour résoudre ce système une approche statistique est utilisée. Les grandeurs caractéristiques instantanées de l'écoulement turbulent seront décomposées selon les règles de Reynolds comme suit : le premier représente le mouvement moyen et le second le mouvement fluctuant, soient :

Ui U i u i u

= + =

, ' 0

(2-5a)

En général, la quantité f(x,t) est décomposée en deux parties distinctes

f est la partie moyenne (d'ensemble) (2-5b)

f ' est la partie fluctuante

Remarque : la partie fluctuante est centrée 0.

f ' = ( 0

u ' = , voir figure-(2-2))

2-5-2) Règles de Reynolds

En utilisant les règles dites "règles de Reynolds", Hinze (1975) et qui sont les suivantes:

fö f .ö

f ö . f . ö + f 'ö ' , f ö ' ' (nouvelle variable du problème)

? x ? x

2-5-3) Les tensions de Reynolds :

Le formalisme des règles de Reynolds conduit en prenant la moyenne de chaque équation aux équations de Reynolds.

? ? 1 ? ? ?

( ' ) ( ' ) ( ' )

U u U u

+ + + U u

+ = - ( ' ) ( ( '

P p

+ + í U u

+

i j i i

j i i

? t ? x ñ ? x ? x x

?

j i j i

On moyenne ensuite ces équations et après réarrangement, on retrouve l'équation de continuité et celles de Navier-Stokes moyennées.

0 , (équation du champ moyen) (2-8)

linéarité des équations de Navier Stokes et s'interprètent comme des contraintes. Le système (2-7) et (2-8) comporte plus d'inconnues que d'équations, c'est un système ouvert. Le problème qui se pose à ce stade est le problème de fermeture. On a 4 équations au total dont 3 pour la quantité de mouvement et 1 pour la continuité mais le nombre d'inconnues est

maintenant égal à 10 ! (U i ,i= 1,2,3,p et6u' i u' j ) ; d'où la nécessité de la modélisation des équations de Reynolds. Pour cela, beaucoup de chercheurs se sont investis dans le domaine et plusieurs contributions de modèles de résolution ont été proposées. Parmi ces modèles on peut citer deux modèles les plus utilisés qui sont le modèle (k-å) et le modèle des contraintes de Reynolds (appelé aussi RSM).

Le tenseur de Reynolds est alors défini par la matrice suivante :

?u u u u u u
' ' ' ' ' ' ?
1 1 1 2 1 3
? ?
Rij ñ

= -u u u u u u (2-10)

? 2 1 2 2 2 3

' ' ' ' ' ' ?

? ' ' ' ' ' ' ?

?u u u u u u
3 1 3 2 3 3 ?
2-5-4) Equations de transport aux tensions de Reynolds :

Les équations utilisées sont les équations (2-6) et (2-7) dans lesquelles on a introduit la décomposition de Reynolds. Reprenons l'équation de quantité de mouvement :

Ce terme ne fait intervenir que le gradient de vitesse moyenne et le tenseur de Reynolds qui sont les inconnues principales du problème.

2-6-2) Taux de dissipation visqueuse :

2

Ce terme de dissipation est pris égal à , ,

åäi j où å est le taux de dissipation de l'énergie

3

cinétique de turbulence. La viscosité du fluide dissipe l'énergie de turbulence en agissant sur les plus petits tourbillons (échelle Kolmogorov) dont le comportement est en moyenne isotrope. On en déduit que, de manière approchée, les taux de dissipation des contraintes

normales u'i ² sont égaux entre eux et que ceux des contraintes u' i u' j avec i?j sont nuls.

2-6-3) Corrélation pression-taux de déformation :

p ' u ' '
? ? ? u ?
, ñ (2-13c)
i j
? = ?? + ??
i j x

?

? ? x j i ?

Il contribue à un échange entre les composantes ( 2

u 1 ' , u ' , u ' ) sans modifier leur

2 2

2 3

somme et, pour cette raison, on dit qu'il s'agit d'un terme de redistribution.

Ce terme se compose de deux parties d'après Rodi (1980) ou Schiestel (1993) on a :

öij , 1 : étant engendré par des interactions purement turbulentes, öij , 2 par des interactions entre

turbulence et gradient de vitesse moyenne, sont généralement modélisés séparément, d'après la proposition de Rotta (1961) :

å 2 ?

ö 3

ij C i j ä ij

, 1 1 ' '

= - ? u u - k

?? ?? , où C1= 1.5 ; ce terme favorise le retour à l'isotropie. En fait, il

k

est proportionnel à l'anisotropie de la turbulence. Il est positif (donc une source) dans

terme qui tend à redistribuer l'énergie turbulente entre les composantes normales 2

ui ' .

La deuxième partie est modélisée d'après Launder et Rodi (1975) :

ö ij = - ã ? P i j - 3 ä ij P

, 2 , ; avec ã = 0.6

?? ??

Ce terme est aussi redistributif car sa trace est nulle. öij , 2 traduisant une interaction entre la
turbulence et les gradients de vitesse moyenne, est analogue à öij , 1 : il est proportionnel à

l'anisotropie du taux de production de u' i u' j .

Pour tenir compte de l'effet de la paroi sur la turbulence le terme de corrélation pression-taux déformation utilisé dans le logiciel Fluent est supposé égal à :

Où öij , w est appelé terme de réflection de la paroi, il est responsable de l'amortissement de la contrainte normale prés de la paroi et perpendiculaire à celle-ci. Il est modélisé comme suit :

2 , 2 , 2

( ö ä ö

km k m ij ij j k

n n n n

- -

²

Où C'1= 0.5, C'2= 0.3, nk est la composante xk du vecteur unitaire normal à la paroi, yp est la distance normale à la paroi, Cl C u 4 / ê , où C u 0 . 09 et ê

= 3 = est la constante de Von Karman

égale à 0.4187.

2-6-4) terme de transport diffusif :

Le deuxième terme (diffusion de u' i u' j par interaction moléculaire) est négligeable aux

grands nombres de Reynolds. Aussi, le troisième terme diffusif par la fluctuation de pression est considéré négligé dans la plupart des travaux disponibles dans la littérature. Pour la triple corrélation des fluctuations de vitesse, Daly et Harlow (1970) ont proposé la relation suivante :

Les indices ijk ne présentent aucune symétrie. Shir (1973) a apporté une expression plus simplifiée en employant un coefficient de transport isotrope :

u u u

' ' '

i j k

k u u

2 ' '

? i j

å ?xk

2-7) Modèle (k-å) :

C'est un modèle à deux équations de transport pour deux paramètres de turbulence proposé par Jones et Launder (1972) qui se base sur le concept de Boussinesq (1877) utilisant l'analogie entre l'échange de quantité de mouvement par interaction moléculaire à l'échelle microscopique (contraintes visqueuses) et l'échange de quantité de mouvement par la turbulence à l'échelle macroscopique (contraintes de Reynolds).

2-7-1) Concept de Boussinesq :

? U ' ' ?

? ? U 2

' ' -

j

i

- =

u u í ? + ? k ä (2-14)

i j t ij

? ? x ?x ? 3

j i

? ?

L'idée du modèle k-å est que l'on peut construire à partir de ces quantités une « viscosité turbulente propre à l'écoulement », où la viscosité turbulente est donnée par la relation suivante :

í t = Cu (k² å ) ; (2-15)

Avec u t =í t ñ viscosité dynamique turbulente

L'expérience montre que cette relation est bien vérifiée pour des écoulements à grand nombre de Reynolds à condition d'avoir une turbulence homogène.

Cu : est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement

k : est l'énergie cinétique de turbulence défini par :

1 2

1

' 2= u + u + u

( ' ' '

2 2

i 1 2 3

^{2 2}

å : Le taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente k donné par la relation suivante :

Ce terme de dissipation qui apparaît dans l'équation de l'énergie cinétique de turbulence reste
à déterminer. L'échelle typique de longueur des grosses structures de la turbulence L est

3

déduite de : k / L

å = .

2

2-7-2) Equation modélisée de k :

L'équation modélisée de l'énergie cinétique de turbulence s'écrit sous la forme semiempirique suivante :

? k ? U ? U ? U ? í í ? k

i j

= + + + -

j t ( ) (( ) )

i t

í å

? x ? x ? x ? x x

? ó ?

ó

j j i j j k L k t j

x

Les termes de l'équation (2-16) sont dénommés comme suit :

- 1) représente le taux de variation de l'énergie cinétique k

- 2) représente le transport par diffusion de l'énergie cinétique

- 3) représente la production par cisaillement de l'énergie cinétique turbulente

- 4) représente la dissipation de l'énergie cinétique turbulente k

2-7-3) Equation modélisée de å :

La forme modélisée de l'équation de transport du taux de dissipation de l'énergie cinétique s'exprime

? ? ? í å å

? 2

å å å

? U U U ? ? í ?

( ) ( )

i i i t

+ U = í

C + + ? + ? - C

j å 1 t å 2

t ? x k ? x ? x ? x x x

? ? ? ? k (2-18)

j j j j j L

ó

? å å

, ,

ó t j ?

les termes (a, b, c et d) de l'équation (4-17) sont :

- a) représente le taux de variation de å.

- b) représente le taux de production (source) de å.

- c) représente le transport par diffusion de la dissipation de l'énergie turbulente.

- d) représente la dissipation (puits) de å.

Ces deux équations donnent k et å qui permettent à leur tour de calculer la viscosité turbulente ut.. Connaissant ut , on peut déduire le tenseur des contraintes de Reynolds.

Les termes diffusifs sont du type gradient. óå , L et óå , tétant les nombres de Prandtl laminaire

et turbulent associés à å. En effet, les sources et puits de k sont multipliés par k

å pour

corriger l'unité et des constantes sont injectées et ajustées empiriquement pour satisfaire des conditions d'écoulements turbulents de base.

2-7-4) Calages des constantes :

Pour rendre le système d'équations opérationnel on adopte les constantes standards du modèle donné par Launder et Spalding (1974). Elles sont réunies dans le tableau suivant :

Tableau 2-1: Coéficients du modèle K,å .

Il est à noter que le modèle k-å tel que présenté ici, applicable aux écoulements à nombre de Reynolds élevé, ne peut-être utilisé dans des régions à faible nombre de Reynolds.

2-8) Modèle de k-å modifié :

Le modèle RNG K- Epsilon est construit en utilisant une technique statistique (nommé théorie du groupe de renormalisation (renormalisation groupe theory en anglais). Supposons qu'on puisse représenter un écoulement turbulente par un ensemble discret de modes de Fourier bornés supérieurement par k0 qui se trouve dans le domaine dissipatif (k0 kD). On

coupe alors le domaine spectral en deux parties en introduisant un nombre de modes de
Fourier k1 légèrement inférieur à k0 et on s'intéresse aux mouvement associés au domaine

spectral k1<k<k0. Comme on se trouve dans le domaine dissipatif, l'équation de Navier Stokes

peut être linéarisée et le comportement de ces modes est exprimé en fonction de celui des modes de l'intervalle 0<k<k1.

On écrit alors l'équation gouvernant l'évolution des modes 0<k<k1 en utilisant la solution
précédente. On a alors une équation où n'intervient que la bande spectrale 0<k<k1. On peut
réitérer la procédure pour un nouvel intervalle 0<k<k2. On élimine ainsi toute la bande

spectrale contenant les petites échelles. A chaque itération, on renormalise en quelque sorte la viscosité, puisque l'effet de l'élimination d'une bande est d'augmenter la dissipation « vue » par la bande restante. Le principe de la méthode est donc relativement simple mais malheureusement sa mise en oeuvre est extrêmement difficile.

2-8-1 Conditions aux limites :

Avant la discussion sur les modifications du modèle standard k-c et son récent version du groupe de Renormalisation ( Yakhot et Orszag (1986), il serait utile de récapituler les exigences du modèle k-c :

- la turbulence est presque homogène

- les distributions spectrales des quantités turbulentes sont semblables

- la diffusion est du type gradient avec des nombres de Prandtl effectifs constants - nombre de Reynolds élevés

Puisque les paramètres des modèles ne sont pas vraiment universels mais sont des fonctions des paramètres caractéristiques d'écoulement. Plusieurs tentatives ont été faites d'augmenter l'application du modèle k-c en modifiant ces paramètres empiriques pour convenir aux conditions spécifiques de différents types d'écoulement. Une des faiblesses du modèle standard k-c est qu'il est incapable de prédire la génération de turbulence dans les régions où l'écoulement moyen est fortement accéléré ou ralenti. Kato et Launder (1993) ont proposé un modèle modifié de k-c pour surmonter ce problème. Plusieurs chercheurs ont essayé de modifier ce modèle on cite par exemple Rodi (1984), Markos (1986), Nallaswamy (1987) et Wilcox (1993). Des méthodes du groupe de renormalisation (RNG) ont été employé pour formuler les modèles de turbulence des deux équations. Ces méthodes sont un cadre général pour la construction du modèle dans lequel la dynamique complexe est décrite en termes dite équations régissant le comportement à grande échelle et long terme. L'idée fondamentale appliquée pour modéliser la turbulence est l'élimination des échelles de petite taille en utilisant des méthodes RNG. Comme les échelles de petite taille sont enlevées, la viscosité effective du système est augmentée. Par le procédé d'élimination d'échelle, la théorie RNG développe une équation pour la viscosité effectif et les équations de transport correspondant de k-c Yakkhot et Orszag ( 1986 ) ; Yakhot et al (1992). Les valeurs des paramètres du modèle dérivés par la méthode RNG sont également énumérées dans le tableau 2-1

Tableau-2-2 : rapportant les constantes de k-å et leurs modifications en modèle RNG *) L'expression générale pour estimer le nombre effectif de Prandtl pour k et å est :

La différence principale entre la version standard et RNG est dans l'équation du taux de la dissipation turbulente d'énergie. Dans les écoulements à taux de contraintes élevés, le modèle RNG prévoit une faible viscosité turbulente (c.à.d un taux de dissipation å élevé et une production de turbulence k faible) que le modèle standard. Bien que le modèle RNG à été découvert pour faire mieux que le modèle standard pour les écoulements avec une grande courbure des lignes de courant, et aussi non encore validé intensivement par les chercheurs que le modèle k-å. La version du modèle RNG k-å a été introduit dans les équations différentielles pour le calcul de la viscosité effectif à partir du modèle K-å (guide Fluent, vol 4, 1997)).

3

í í C u k

? ?

eff (2-18)

1 . ? ?

= + í å

?

?

? ?

Cette forme permet la prolongation au bas nombre de Reynolds et aux écoulements proches paroi, où contraire du modèle standard k-å, qui est valide seulement pour des écoulements turbulents développé. La version standard de k-å est valide pour les écoulements turbulents loin des parois. La présence de paroi change le caractère de la turbulence, en atténuant la

turbulence dans la région prés de la paroi. Puisque dans cette région dans la partie externe de la région de proche-paroi, la turbulence produit rapidement un fort graduent de vitesse moyenne. La présence correcte de l'influence de la paroi sur les écoulements turbulents est un aspect important pour simuler des écoulements délimités par la paroi.

Figure 2-3 : Différentes régions dans une couche limite sur une paroi plan.

Il y a deux approches principales pour modéliser la région de proche-paroi. Dans l'une des approches, appelé ` fonction de paroi ', les effets intérieures affecter par la viscosité, ne sont pas modelées. Au lieu de cela, les formules semi-empiriques (fonctions de paroi) sont utilisées pour lies la région affectée par viscosité- entre la paroi et la région entièrement turbulente. Dans l'autre approche, les modèles de turbulence à bas nombre de Reynolds sont développé pour simuler l'écoulement de la région proche-paroi.

Dans la plupart des écoulements à nombre de Reynolds élevés , l'approche par la fonction de
paroi donne des résultats raisonnable sans exigences excessives vis-à-vis des ressources de

calcule. Pour les bas nombres de Reynolds le modèle k - å exige les conditions aux limites

où Ut est la composante tangentiel de vitesse au paroi et n est la normale au paroi. Un certain
petit modifications du nombre de Reynolds au modèle k - å ont été proposés par Chen et

Patel (1988); Wilcox (1993); Hrenya et Sinclair, (1995). Dans les approches par les fonctions de paroi, un profil universel de vitesse supposé existe prés de la paroi de la forme suivant:

u + = ln + +

1 (2.20)

y B

k

où ê est la constante de Van Karman (=0.4 1), B est un constante empirique liée a l'épaisseur de la sous-couche visqueuse (B =5.2 dans une couche limite plan) et de u⁺ et y⁺ sont définis comme suit :

la où le nP est la distance normale du noeud considéré au point P de la paroi. En outre, on assume que l'écoulement dans un équilibre local, qui signifie que la production et la dissipation sont presque égales. Ces suppositions permettre alors l'utilisation de la résolution à la paroi. En fait, l'approche de loi de paroi exige que la distance adimensionnelle du noeud

voisin de la grille de la paroi doive être plus grands que 30 (y⁺> 30). Pour un tel cas, la

contrainte de cisaillement de paroi peut être lié au composant tangentiel de la vitesse à la grille, comme :

1

k C kU t

ñ u 4

ô (2.22)

w +

= ln ( y E)

Pour l'énergie cinétique turbulente, k, le gradient normal à la paroi est habituellement égale à zéro. En suppose que l'échelle de longueur près du paroi, L donner par :

L p

kn

= (2.23)

3

4

En supposition qu'il y à équilibre entre la production et la dissipation, le taux de dissipation de l'énergie turbulente au noeud à côté du paroi (indice P, situé à un distance

normal nP du paroi) peut être calculé sans résoudre l'équation de transport pour å comme suit :

3 3

C k 2

4

å = (2.24)

u p

^{p kn}

Il convient de noter que l'approche de loi de paroi est valide seulement quand le premier point de la grille à côté du paroi (le noeud P) est dans la région logarithmique. Pour des écoulements séparés dans les régions de recirculation, de séparation et de reattachment, cette condition ne peut pas être valide. Pour rectifier ceci dans une certaine mesure, plusieurs fonctions de paroi ont été proposés (voir, par exemple, Amano, (1984).Quand l'approche de fonction de paroi n'est pas applicable au-dessus d'une grande partie des frontières de paroi, bas nombre de Reynolds, des modèles de la turbulence devraient être employés pour résoudre les détails plus fins des écoulements de proche-paroi. En plus pour représenter l'influence des parois sur la turbulence, nous sommes besoins à des conditions aux limites appropriés et

doivent être indiquées pour résoudre les équations du modelées k, å, a la région loin de la paroi, les conditions à la limite suivante peuvent être employé Ferziger et Peric, (1995) :

pour les conditions au limite à l'entrée, il est nécessaire d'indiquer les valeurs de k et å. Si k n'est pas connu, il est généralement estimé à partir d'une supposition appropriée de l'intensité de turbulence (environ 5%) à l'entrée. La valeur de å est habituellement estimée à partir d'une connaissance de k et de fournir un' échelle caractéristique de longueur, L :

3

k2

å = (2.26)

L

La longueur caractéristique utilisée dans l'équation ci-dessus peut être prise en tant que 0.07
fois du rayon équivalent du tube. Si les contraintes de Reynolds et les vitesses moyennes à

l'entrer sont mesurées, å peuvent être estimées en utilisant l'hypothèse d'équilibre local.

2-8-2 Traitement à la paroi :

Les effets d'une paroi sur le champ turbulent sont nombreux et complexes, on peut citer cependant les principaux :

- la contribution réfléchie des corrélations pression-déformation.

- la création d'une zone adjacente à la paroi dans laquelle la viscosité moléculaire est prédominante.

- le caractère fortement anisotrope de la turbulence prés de la paroi.

- le caractère fortement non homogène du champ de la turbulence.

De ce fait, il existe au moins deux régions dans la couche limite en cas de forte turbulence. L'une, loin de la paroi, est contrôlée par la turbulence et l'autre prés de la paroi dominée par la viscosité . Ces deux régions sont raccordées par une région appelée région logarithmique à cause de la loi suivie par le profil des vitesses. Il existe deux types de formulations pour incorporer la condition à la limite prés de la paroi. La première est celle de la fonction de la paroi, Dans la deuxième région, appelée aussi sous-couche visqueuse, zone très fine, la proximité de la paroi cause des difficultés pour l'incorporation des conditions aux limites prés de la paroi. D'après Patankar et Spalding (1972), la deuxième formulation est celle utilisant les modèles à faible nombre de Reynolds. Pour les fonctions de paroi le premier point du maillage prés de la paroi doit être situé dans la zone logarithmique; pour les modèles à faible nombre de Reynolds un nombre de noeuds est utilisé dans la sous couche visqueuse.

Comme le modèle des contraintes de Reynolds s'adapte bien aux nombre de Reynolds élevés ainsi que pour le modèle de turbulence à deux équation de transport (k-å), on emploie donc une fonction de paroi basée sur la loi logarithmique afin d'arriver à des résultats satisfaisants. La vitesse moyenne, l'énergie cinétique et son taux de dissipation obtenus par les équations suivantes au niveau du noeud prés de la paroi:

1 y U U

P 1 / 2 ô

et Ln E

( ); .

^{ô k C U -}

= = =

, å

u ô

P

ê : constante de Von-Karman ( ê=0.09)

yp : distance entre le noeud adjacent à la paroi et la paroi.. í : viscosité laminaire du fluide

E : constante, (E= 9, pour paroi lisse)

Ur : est la vitesse de frottement (égale à r p p)

rp : est la contrainte de cisaillement à la paroi

Plusieurs auteurs,par exemple Lien-Leshnizer (1994) ont essayé d'imposer les valeurs de toutes les contraintes dans les noeuds proches de la paroi, comme une fonction de l'énergie cinétique turbulente k. Ces valeurs peuvent être dérivées dans une région logarithmique en imposant le terme de production de k en équilibre avec la dissipation, c.à.d Pk = pe. Les

contraintes de Reynolds obtenues par les modèles de GL (GL : Gibson-Launder ( 1978) et SSG Speziale et al (1991) sont :

3.8) Méthode numérique :

3.8.1) Maillage :

La méthode numérique des volumes finis est employée pour discrétiser le domaine physique et les différentes équations aux dérivées partielles tridimensionnelles des modèles mathématiques appliqués à l'écoulement considéré. Elle est basée sur l'intégration de ces équations sur des volumes finis obtenus par découpage du champ de l'écoulement suivant un maillage imposé par le logiciel Fluent, voir figure (2.1). Selon la forme géométrique, il faut bien choisir une maille adaptable à la géométrie, les mailles utilisées par Fluent sont les suivantes :

tétraèdre hexaèdre pyramide prisme

Figure-(2-4) Exemples de mailles utilisées en volumes finis par Fluent

Pour bien contrôler le maillage, on a divisé la géométrie du cyclone on zones. Chaque zone
est maillée à part. Pour le choix du type de volume de contrôle on a choisi l'hexaèdre, mais
là, où le volume ne s'adapte pas, par exemple la conduite d'entrée, Fluent choisira par

défaut l'élément de maille convenable. Vu, la capacité de stockage du PC, on ne peut raffiner le maillage convenablement. Le nombre de noeuds atteint dans cette configuration est de 300000 noeuds. A l'aide, de Fluent on peur contrôler et visualiser par image en plans, sections et perspectives du maillage. Ceci, nous laisse améliorer la qualité de maillage de notre géométrie, voir figure-(2-4) :

3) Discussion des résultats 3-1) Les contours de vitesse

Nous présentons dans un premier lieu le maillage des trois configurations à étudier envisageables. Nous rappelons que les trois cyclones (A, B et C) à étudier ont un même corps cylindrique supérieure mais diffères dans la partie inférieure après le corps conique. Le cyclone (C) possède un prolongement cylindrique jusqu'à le récupérateur après la partie conique par contre, les deux autres cyclone (A et B) juste après la partie conique se terminent directement par un récupérateur. On implante pour le cyclone (B) dans le réservoir récupérateur un organe anti-retour pour stopper les particules (voir figure 3I-1).

Partie supérieure similaire pour toutes les géométries.

Géométrie (A, B)

Figure-(3I-1) : maillage des trois géométries.

Cette deuxième pa