Memoire Online - Mise au point du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD)

UNIVERSITE DE M'SILA
FACULTE DES SCIENCES ET DES SCIENCES DE L'INGENIORAT
Département de génie mécanique

Présenté pour l'obtention du diplôme de Magistère
Spécialité : Génie mécanique
Option : Construction mécanique

Louange au seigneur unique; le clément et le miséricordieux que grâce à lui en primauté que ce travail a pu sortir à la lumière.

Ce travail a été réalisé au laboratoire des matériaux non métalliques (LMNM) au département d'optique et mécanique de précision. Je tiens ainsi à remercier Demagh NACERDINE et Bouaouadja NOUREDDINE, respectivement chef du département d'O.M.P et directeur de LMNM, pour leur accueil et la confiance qu'ils m'ont accordée.

Ce travail doit énormément à monsieur Hocine OSMANI, professeur de l'université Ferhat Abbas de Sétif en optique et mécanique de précision, à lui que j'exprime ma profonde gratitude de m'avoir accueilli à LMNM. Je le remercie aussi pour sa participation au financement de ce sujet, sa disponibilité, ses conseils précieux et constants, sa confiance et ses encouragements.

J'exprime ma particulière reconnaissance à monsieur Bouzit NACERDINE, maître des conférences au département de l'électronique pour sa disponibilité et pour le matériel mis sous ma responsabilité au sein de son laboratoire d'instrumentation pendant la réalisation de la carte d'interface et de l'acquisition des signaux.

Je remercie également monsieur Ramzi OTHMAN, maître des conférences à l'école centrale de Nantes pour les nombreuses discussions en ligne, surtout ceux qui concernent le choix du matériau des barres.

Je tiens à signaler la collaboration intime de monsieur Mostfaï, directeur générale de l'unité moule le long de la réalisation du dispositif en question, à lui que j'exprime ma profonde reconnaissance. Je n'oublie pas à adresser un salut particulier aux opérateurs de son unité pour leur assistance technique.

Je suis très reconnaissant aux enseignants Saï AHMED, Felkaoui AHMED, Manallah FAYCAL, Faria KOUIDAR et Bouzid SAÏD pour leurs précieuses directives.

Je remercie Monsieur Bouaouadja NOUREDDINE, d'avoir accepté de présider le jury d'examen. Je remercie également messieurs Younes BENARIOUA, Naâmane LAOUAR et Farsi CHAOUKI d'avoir bien voulu examiner mon travail.

J'adresse mes sincères remerciements à Monsieur Hacène BAHRI, technicien de LMNM pour sa disponibilité, serviabilité et gentillesse. Le staff de l'atelier de génie mécanique de M'sila: ELMAKKI, MOHAMMED et MOURAD, trouve aussi l'expression de ma profonde gratitude.

Je tiens à remercier mes copains de chambre à la résidence d'Elbaz-Sétif: ISHAK, MOHAMMED, AYOUB, BILAL, HICHEM et BOUBAKAR, avec lesquels j'ai partagé d'agréables moments pendant mon stage à LMNM.

Je suis très reconnaissant à Saadi FOUAD pour le bon accueil et soutien lors de la rédaction finale du mémoire.

Gueraiche HAMID trouve l'expression de ma profonde gratitude pour sa serviabilité, disponibilité et soutien constant.

Que dieu bénit les frères WALID, OTHMANE, SAID, RACHID, NASSIM, ISSAM, ABD ELATIF et ZIDANE pour leur aide précieuse.

Je n'oublie pas à remercier le staff des enseignants qui m'ont assuré la formation de la poste graduation. Je tiens aussi à exprimer ma profonde gratitude à monsieur ZAOUI, chef de département de génie mécanique à l'université de M'sila pour son aide précieuse.

J'adresse mes amitiés à mes collègues de poste graduation surtout à Meddah MUSTAPHA, Belhocine ABD ELGHANI, Hamrit FARAH et Rabah BOUBAAYA.

Enfin, j'exprime mes sincères remerciements à tous ceux qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail.

II.6.2 Equilibre de contrainte, contrainte uniaxiale et formation d'impulsion 15

INTRODUCTION GENERALE

La conception des structures est basée presque seulement sur des données matérielles sous forme de tableaux, habituellement sous forme de courbes contrainte- déformation recueillies en déformant le spécimen très lentement. Les conceptions optimales exigent des tables précises et complètes pour les matériaux examinés sous une variété de conditions.

Ce sujet s'inscrit dans le cadre de la continuité des travaux entamés en ingéniorat sur les barres d'Hopkinson pour l'extension des essais, de caractérisation mécanique à LMNM, aux vitesses de déformation élevées allant de 10² à 10⁴ S^-1. Le but de ce travail n'est pas d'examiner des matériaux aux taux élevés de déformation. Plutôt, c'est de mettre au point un dispositif d'essai de compression à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD) assisté par PC qui satisfait ce besoin.

Le premier chapitre est inclus comme une carte chronologique du développement de l'appareil à barres d'Hopkinson. Une approche ligne de temps est prise pour récapituler les avancements principaux menant à l'arrangement actuel de l'appareil en question. On décrit l'histoire d'évolution de la technique des barres de Hopkinson ainsi que les récents secteurs de recherche.

Le deuxième chapitre est dédié à l'analyse conventionnelle de la technique à barre de pression d'Hopkinson divisée. Ainsi, On rapporte la résolution de l'équation de l'onde de contrainte uniaxiale et les équations régissant le spécimen tout en satisfaisant les approches de validité de la technique. Les exigences sur la conception des spécimens et quelques considérations spéciales pour les matériaux doux sont aussi étudiées.

L'analyse spectrale de l'onde pour corriger la dispersion et l'atténuation fait l'objet du troisième chapitre.

Le quatrième chapitre est consacré à la conception et la réalisation du dispositif (BPHD), l'instrumentation associée, la commande par PC et au traitement informatique des données de l'essai à barre de pression d'Hopkinson divisée.

CHAPITRE I

La technique de la barre d'HOPKINSON est largement utilisée pour la détermination des propriétés mécaniques des matériaux à des taux de déformation élevés. Typiquement dans l'intervalle 10²-10⁴ s^-1.

Le présent chapitre est inclus comme une carte chronologique du développement de l'appareil à barre de Hopkinson. Une approche ligne de temps est prise pour récapituler les avancements principaux menant à l'arrangement actuel de l'appareil en question, commençant par son fondateur. L'auteur a essayé de glaner les avancements les plus significatifs de divers investigateurs et de les rapporter ci-dessous. La dernière partie du chapitre est dédiée aux récents axes de recherche relatifs au fameux appareil SHPB.

Les premiers essais d'impact utilisant une barre longue en acier ont été réalisés par John Hopkinson en 1872. Le schéma de son dispositif est montré sur la figure I.1 [2].

Il a essayé de déterminer la réponse dynamique des fils de fer en transférant l'énergie d'un poids tombant dans un fil et en mesurant combien il a été déformé avant la rupture. Il a utilisé une barre (B) suspendue par deux ensembles de fils et alignée avec une boîte (D) également suspendue. La section de la tige courte (C) est placée à l'extrémité de la barre principale et tenue en place par une petite force magnétique. Une balle est alors tirée sur l'extrémité (A) de la longue barre en lui communiquant une onde de pression. L'onde parcourt

la tige. Une fois arrivée à la tige courte, elle l'éjecte dans la boite. Les déplacements de la boîte et de la tige sont mesurés avec un dispositif simple de déplacement. Les appareils de mesure disponibles à l'époque ont limité l'exactitude des résultats des expériences. Seule l'énergie totale transmise à la barre impactée pouvait être mesurée.

En 1914, Bertram Hopkinson a continué le travail de son père. Il a introduit sa barre de pression représentée sur la figure I.2 [3]. L'application initiale de cet appareil de mesure était principalement pour étudier des pressions pendant des événements fortement dynamiques tels que la détonation explosive ou l'impact des balles.

Essentiellement, la barre de pression de Hopkinson utilise la propagation des ondes élastiques de contrainte pour prévoir des contraintes et des déformations dans un échantillon. Hopkinson a découvert que les déplacements dans la barre sont directement liés aux contraintes et la longueur de l'onde de contrainte est liée à la durée de l'impact par l'intermédiaire de la vitesse du son dans la barre de pression

En 1948, DAVIES [4] montre qu'il est possible de mesurer la forme temporelle de l'onde engendrée dans une barre instrumentée et soumise à l'impact d'un projectile.

Le montage SHPB (Split HOPKINSON Pressure Bar) est introduit par KOLSKY [5] en 1949. C'est la raison pour laquelle le terme « barre d'HOPKINSON » est remplacé par le terme « barres de KOLSKY » dans de nombreux ouvrages.

Kolsky a modifié la barre de pression d'Hopkinson comme représentée sur la figure I.3. Il a utilisé cet appareil expérimental de SHPB pour caractériser l'écoulement de déformation des matériaux non fragiles sous un chargement dynamique. Typiquement, le SHPB offre des possibilités d'essai de matériaux aux taux de déformation de l'ordre de 10² à 10⁴ s ^-1. Kolsky a découvert que la contrainte et la déformation dans un échantillon peuvent

être directement liées aux déplacements des barres incidente et transmise. Contrairement à la barre de pression de Hopkinson, le projectile dans l'appareil SHPB ne percute pas le spécimen directement. Plutôt, c'est la barre incidente qui reçoit l'impact du projectile. Il s'y propage donc une onde de contrainte, d'autant plus intense que la vitesse d'impact est élevée et qui dure d'autant plus longtemps que le projectile est long. Cette onde se réfléchie partiellement sur l'échantillon, une partie le traverse et se transmet dans la barre transmise.

Figure I.3: SHPB adaptée par Kolsky (1949) avec une barre incidente, barre transmise, et un projectile

Un projectile qui frappe l'extrémité de la barre entrante avec une vitesse y crée une onde de contrainte [51,52]:

Où p_b et cb sont respectivement la densité de la barre entrante et la vitesse de propagation des ondes longitudinales élastiques dans la barre entrante. Le terme p_bcb représente l'impédance acoustique qui est une caractéristique intrinsèque du matériau.

Dans le projectile se réfléchie une onde de décharge. Quand elle atteint l'extrémité opposée à la face d'impact, le projectile se décolle de la barre. La durée de l'onde envoyée dans la barre entrante est donc le double du temps de parcours des ondes élastiques dans le projectile. Pour un projectile de longueur L dont la vitesse des ondes élastique est c , la durée de l'onde est donnée par [51] :

Depuis 1970, les améliorations les plus significatives à l'expérience de la barre de Hopkinson et ses dérivés sont venues sous forme de très rapides systèmes d'acquisition des données par ordinateur (NI PXI-4220, NI SCXI, NI 9237, NI SCXI-1521, NI SCXI-

1521B,. .etc.) [54]. Des oscilloscopes digitaux à mémoire à entrées différentielles (Nicolet Pro30, Yokogawa, Tektronix TDS-744A,. .etc.) et des conditionneurs de signal à large bande passante ont permis aux scientifiques d'obtenir des données à résolution élevée et précision meilleure (Kyowa CDV700A, . .etc.) [2, 22]. D'habitude, les chercheurs utilisent des oscilloscopes à mémoire numériques à large bande (>500 MHz).De plus, des recherches ont été faites sur les caractéristiques de la barre de pression, les effets de la géométrie de l'échantillon et la modélisation mathématique.

D'autres modifications à l'appareil d'Hopkinson original ont été faites pour tester les matériaux sous tension, torsion, cisaillement, flexion trois ou quatre points, indentation dynamique et aussi sous combinaison de conditions de chargement [6, 7, 8, 9]

En outre, certains auteurs s'y penchaient aux secteurs de traitement des données, soucis expérimentaux et utilisation de différents capteurs pour acquérir les données des barres: des accéléromètres, des jauges extensométriques ou semi-conductrices, des capteurs optiques ou d'autres dispositifs permettant de mesurer le déplacement de la barre. Des chaînes d'acquisition ont été assistées par ordinateur.

De nombreux programmes de traitement des données et de correction de la dispersion et de l'atténuation ont été élaborés; tel que DAVID de l'école polytechnique (France) élaboré sous Labview, CSHB (Waterloo-Canada) élaboré sous VC++ par Christopher Salisbury [2], le programme Matlab® (NSWCDD-USA) élaboré par Kaiser [22] et le programme fortran (Watertown-USA) [55].

Dans l'ultime décade, de nombreuses publications ont été consacrées à la détermination de la réponse dynamique des structures en tenant compte de l'effet thermique [13,14].

Les problèmes relatifs à la séparation et reconstitution des ondes dans les barres élastiques et viscoélastiques ont fait l'objet de pas mal de publications [49,53]. Des méthodes qui tiennent compte de l'effet dispersif dans ces barres ont été proposées [2,15].

Des travaux ont été faits pour généraliser la méthode SHPB au cas des barres viscoélastiques où les effets de dispersion et d'atténuation de l'onde sont à prendre en considération. L'étude théorique de la propagation dans les barres viscoélastiques permettra de définir le coefficient de propagation qui est directement relié aux caractéristiques viscoélastiques du matériau constitutif de la barre. Des modèles théoriques et expérimentaux ont été proposés [2, 11,12].

Un état d'art résumant les développements de la barre d'Hopkinson pendant le 20^ème siècle est inclus dans le manuel d'ASM [71].

Malgré les avancements de la technique à barre d'Hopkinson, la technique n'est pas encore standard à cause de la complexité inhérente à l'analyse des données en présence de la dispersion, du frottement et des effets d'inertie sur le spécimen.

CHAPITRE II

Il est essentiel de noter au début que pour faire la dérivation des équations de gouvernement, on assume que les deux barres cylindriques ont une même section constante (Ab) et sont de même matériau isotrope. En outre, on suppose que les deux barres ne subissent que des déformations élastiques.

Dans n'importe quelle section différentielle de la barre, le déplacement axial (ub) qui est fonction de la coordonnée(x) et de temps (t) s'exprime u_b = u_b (x, t) .Un élément de volume

différentiel de la barre est donné par dV_b = A_bdx où dV_b est l'élément différentiel de volume

et dx est la longueur axiale différentielle. Comme la section transversale est constante, c'est seulement la longueur axiale différentielle qui détermine l'élément de volume différentiel. Ecriture de l'équilibre des forces appliquées sur ce volume différentiel comme illustré sur la figure 2.1 donne:

Figure II.1: Equilibre des forces pour les barres entrante(BE) et sortante(BS) de l'appareil SHPB

appliquée dans la direction axiale à l'élément de volume différentiel, et ñ_b est la densité des barres.

La définition de la contrainte donne F_b = ó_bA_b et dF = d( ó A ) = d ó A + ó dA

Où: ó_b est la contrainte axiale dans la barre. Comme la surface de chacune des deux barres est constante (dA_b = 0), le second terme s'annule. Ce qui donne:

Comme les deux barres sont isotropes; subissant uniquement une déformation élastique, la supposition d'un chargement uniaxial donne la contrainte ainsi:

Où: E_b est le module élastique isotrope de la barre et å_b est la déformation axiale dans la barre. Il est aussi connu que la déformation axiale est donnée par:

Tel que å_b = f(x,t)[16]. En correspondance, la contrainte dans la barre doit être aussi une fonction de la position et de temps et les différentiels totaux pour ó_b et x dans l'équation (2.2) doivent être remplacés par des différentiels partiels, ce qui donne:

La substitution de l'équation (2.3) dans l'équation (2.5) en supposant que E_b est constant 0)

Equation (2.6) est l'équation différentielle aux dérivées partielles fondamentale régissant la propagation de l'onde de contrainte uniaxiale dans une barre élastique isotrope de section constante [17].

La solution analytique de l'équation (2.6), associée avec d'Alembert, peut avoir la forme suivante correspondant à la propagation de l'onde à gauche et à droite.

Où: f1 et f2 sont des fonctions arbitraires déterminées à partir des conditions aux limites et
initiales. c b est la vitesse de propagation de l'onde de contrainte dans la barre [17].

L'introduction des variables ç = x + c_bt et æ = x - c_bt simplifie l'équation (2.7) à:

Maintenant, c'est relativement simple de trouver les dérivées partielles de u_b .Sachant que

= = 1, la première et la seconde dérivées partielles de u_b par rapport à x sont données

De l'équation (2.13), il est évident que la vitesse de l'onde de contrainte est

On note aussi que les équations (2.9) et (2.11) sont conformées avec la solution de d'Alembert et donnent:

Etablissement de l'équilibre des forces dans la direction x sur l'échantillon présenté à la figure II.2 mène à (F_g = F_d). Avec F_d est la force appliquée sur sa face droite (interface

spécimen/barre sortante) et F_g est la force appliquée sur la face gauche du spécimen (interface

spécimen/barre entrante). Il est important de noter que ces forces et en conséquence les
contraintes et les déformations sont dynamiques; elles changent avec le temps (F_d, F_g = f(t)).

Cependant, l'hypothèse de l'équilibre est encore valide tant qu'une précaution est prise pour s'assurer que les forces sur l'une ou l'autre extrémité du spécimen (S) demeurent équivalentes durant l'évènement dynamique.

Sous les conditions d'équilibre dynamique, les forces dans les barres entrante et sortante aux interfaces avec le spécimen sont égales et opposées à ceux dans le spécimen .Elles sont données par:

Où: å_b (t) est la déformation axiale "effective" dépendante de temps à l'extrémité gauche ou

droite du spécimen. L'équation (2.15) permet aux pulses de déformation incidente, réfléchie, et
transmise dans les barres d'être utiliser comme représentations des forces F_g (t) et F_d (t) dans le

spécimen. Utilisant les déformations effectives appropriées, l'équilibre de force est donné par:

Où: å_I (t), å _R (t) et å_T (t) respectivement, les déformations axiales dépendantes de temps:

incidente, réfléchie et transmise. On note que la déformation effective à l'interface barre
entrante/spécimen est la somme des déformations incidente et réfléchie tandis que la

déformation effective à l'interface barre sortante/spécimen est simplement la déformation transmise.

Comme le spécimen est en équilibre, la force axiale appliquée au spécimen est donnée au choix par l'une des deux forces de côtés. Pour la simplicité, puisque c'est un seul terme, on prend celle de la face droite. Alors, on écrit:

Avec F_S (t) est la force axiale dépendante de temps agissant sur le spécimen. Par correspondance, la contrainte dans le spécimen est donnée par:

Où: ó _S (t) est la contrainte axiale dépendante de temps dans le spécimen. Le taux de déformation du spécimen est obtenu en dérivant par rapport au temps la déformation.

Avec å& S (t) est le taux de déformation axiale dans le spécimen et å _S (t) est la déformation axiale dans le spécimen. Notons qu'ici u _b est supposé une fonction continue de position et de temps pour échanger les dérivées partielles.

déformation du spécimen en termes de vitesses à chaque extrémité du spécimen. La substitution de cette relation dans l'équation (2.19) donne :

Où: v(t) est la vitesse axiale dépendante de temps à l'interface barre/spécimen, L _S est la longueur axiale du spécimen, v _g (t) est la vitesse axiale à l'extrémité gauche du spécimen, et v_d (t) est la vitesse axiale à l'extrémité droite du spécimen.

L'équation (2.14) donne les vitesses à chaque extrémité du spécimen comme étant les produits de la vitesse de l'onde de contrainte dans la barre entrante ou sortante et la déformation effective à l'interface barre/spécimen. Donc:

La substitution de la relation de å_T (t) donnée par l'équation (2.16) réduit l'équation (2.24) à:

Par utilisation de l'équation (2.19), on peut trouver la contrainte dans le spécimen en fonction de la déformation transmise. Cependant, pour trouver la déformation dans le spécimen, l'équation (2.25) doit être intégrée pour donner:

Où: ô est un facteur d'intégration. Pour un nombre discret de points de données, équation (2.26) est modifiée de l'intégral à une sommation. Dans sa forme la plus simple, l'approximation discrétisée de l'intégral est donnée par:

La contrainte vraie et la déformation vraie, respectivement ó _V (t) et å _V (t) , peuvent être

obtenues à partir de la contrainte technologique et de la déformation technologique (Engineering stress-strain) par la formulation suivante [18]:

II.5 Approches de validité de l'essai BPHD

Un essai BPHD valide nécessite la vérification de certaines approches. Pour pouvoir utiliser les équations (2.19) et (2.25) ou (2.26) dans le calcul du comportement contrainte- déformation d'un spécimen sous un chargement à taux de déformation élevé, à partir des quantités mesurées de l'essai BPHD, il est important de satisfaire les approches/conditions ci- après [49].

1) La propagation de l'onde de contrainte dans la barre est 1D. Les conditions qui satisfont cette approche nécessitent que les barres soient:

2) Les interfaces barre entrante-spécimen et barre sortante-spécimen restent planes à tout moment. Ceci peut être satisfait, généralement, si:

Figure II.3: Conditions pour des interfaces barre-spécimen planaires. Les numéros 1 et 2 représentent des interfaces BE-S et S-BS respectivement. Symbole * dénote l'endroit des interfaces quand le spécimen est déformé [49].

Figure II.4: Déformation des interfaces barre-spécimen pour petit diamètre des spécimens acoustiquement dur [49]

II.6 Conception des spécimens pour l'essai BPHD

La conception d'un spécimen est la partie la plus critique de l'expérience BPHD. Il n'y a aucune règle universelle pour la conception du spécimen. Souvent, les spécimens sont conçus à partir des expériences exploratoires. La conception du spécimen doit satisfaire les approches générales de la technique BPHD.

Le diamètre maximal du spécimen (Ds) est égal au diamètre de la barre (DB). Gray III [61] a suggéré que les effets de frottement et de l'inertie radiale et longitudinale puissent être diminués en réduisant au minimum la disparité de surface entre la barre et le spécimen Ds
·-,' 0.80 DB; et en choisissant un rapport Es/Ds entre 0.50 et 1.0, qui est basé sur les corrections des effets d'inertie radiale et longitudinale proposées par Davies et Hunter [35]:

Où l'indice inférieur s représente le spécimen, et les indices supérieurs c et m signifient corrigé et mesuré, respectivement.

Le second terme de l'équation 2.29 est un terme de correction à ajouter avec la contrainte moyenne mesurée du spécimen. Le terme de correction sera zéro, si le taux de contrainte est constant ou le terme encadrée est nul. La condition suivante fournit le rapport optimal du spécimen pour l'effet d'inertie et est exprimée comme:

Pour un coefficient de Poisson vs = 0.333, l'optimum de Es/Ds est 0.50. Selon ASTM E 9, pour minimiser les effets de frottement en essai de compression des matériaux métalliques à la température ambiante, le rapport Es/Ds devraient être dans la gamme 1.50-2.00. Ainsi les conditions pour un minimum d'effets de frottement et d'inertie ne peuvent pas être satisfaites simultanément et la suggestion de Gray III [61] de (0.50 < Es/Ds < 1.0) peut être prise comme un compromis entre ces deux effets. Pour un spécimen ayant Es/Ds < 1.5, des chercheurs ont utilisé un lubrifiant pour réduire le frottement; comme l'huile de bisulfure à base de molybdène pour une température ambiante et une poudre fine de nitrure de bore pour des essais à hautes températures. Des efforts ont été également faits pour quantifier le frottement en utilisant des spécimens annulaires [62].

effectivement utiliser des spécimens plus minces Es/Ds < 0.5, et ainsi minimiser le non- équilibre de contrainte dans le spécimen. Habituellement, les conditions d'un taux de déformation constant peuvent être atteintes par des impulsions incidentes formées. Cependant, les taux de déformation possibles dans ces cas sont limités par le taux de contrainte de l'impulsion incidente [63], et sont décrits après.

II.6.2 Equilibre de contrainte, contrainte uniaxiale et formation d'impulsion

L'épaisseur optimale du spécimen dépend du temps de montée t nécessaire pour atteindre un état uniaxial de contrainte dans le spécimen. Le temps de montée est estimé comme le temps requis pour n réverbérations dans le spécimen [36]. Pour un solide déformant plastiquement qui obéit à la théorie de Taylor-Von Karman, le temps de montée est donné par:

Où ps et Es sont respectivement la densité et l'épaisseur du spécimen. Do-/De est la deuxième étape du taux de travail de durcissement du vrai diagramme contrainte-déformation du matériau à tester. En diminuant l'épaisseur du spécimen, il est ainsi possible de réduire le temps de montée .Cependant, la condition sur Es/Ds pour réduire au minimum les effets de frottement et d'inertie exigent que le diamètre du spécimen également soit réduit. Par conséquent, on doit utiliser une barre de plus petit diamètre aussi bien pour satisfaire les conditions, Ds
·-,' 0.80 DB et 0.50 < Es/Ds < 1.0. L'expérience de Kolsky [5] avec (0.01 < ES/DS<0.10, ainsi ne représente pas le cas uniaxial de contrainte.

Une solution pour réduire le temps de montée dans le spécimen est l'utilisation d'une impulsion formée. Le temps de montée d'une impulsion quasi-rectangulaire, produite par l'impact direct du projectile, est généralement plus petit que le temps de montée du spécimen. Si un disque métallique élastoplastique mince (Matériel de bout, [61]) est utilisé entre la barre incidente et de le projectile, l'impulsion incidente aura la forme d'une rampe et presque un taux de contrainte constant est atteint.

L'utilisation d'une impulsion incidente "rampe formée" doit théoriquement produire une impulsion réfléchie constante, selon la théorie de 1D BPHD, qui représente un taux de déformation constant du spécimen. La condition d'essai à taux de déformation constant est essentielle pour un essai de caractérisation valide du matériau. Selon l'équation 2.29, un tel essai peut être réalisé sur n'importe quel taux Hs/Ds du spécimen, satisfaisant la condition du minimum de frottement.

La technique de formation de l'impulsion (pulse-shaping) a été introduite en premier temps pour tester les spécimens en céramique [63] quand les chercheurs ont observé que les spécimens en céramique rompent prématurément, avant que l'équilibre des contraintes soit atteint. L'utilisation d'une impulsion formée a résolu ce problème. Une impulsion rampe formée ne contient pas les hautes oscillations de fréquence (modes de Pochhammer) et ainsi l'effet de dispersion est minimal. Bien que la formation de l'impulsion réduit généralement le taux de déformation dans le spécimen. Pour satisfaire la condition du taux de déformation constant dans le spécimen chaque essai de BPHD devrait utiliser une impulsion formée indépendante du genre de matériaux du spécimen (doux, dur, non homogène, fragile, non linéaire, etc.). Le taux de déformation et la déformation totale dans le spécimen peuvent alors être changés par un choix approprié du matériau de bout ou de la géométrie du formeur de l'impulsion, de la longueur du projectile et de la vitesse d'impact de projectile.

II.6.3 Autres considérations

Il est important que le spécimen fabriqué d'un matériau particulier contienne les unités multiples de sa structure répétitive pour représenter les propriétés en bloc .Cette condition est importante dans le cas des matériaux polycristallins de grand grain, composites renforcés par des fibres, et matériaux cellulaires. La structure des matériaux bruts nécessite souvent un plus grand diamètre de la barre (75-100 mm de diamètre est exigée pour tester le béton). Les matériaux fragiles, comme les céramiques, exigent une conception spéciale du spécimen pour assurer l'uniformité de contrainte avant la rupture. Couque et autres [64] ont utilisé des spécimens coniques avec anneaux chanfreinés pour supprimer se division axial en cas des composites L'utilisation des sections non-uniformes le long du spécimen. La longueur rend la réduction de données plus complexe La tolérance sur la géométrie du spécimen est importante pour assurer une déformation uniforme. Gray III [61] a mentionné que les faces de chargement du spécimen doivent être parallèles avec une tolérance de 0.01 millimètre.

C'est bien accepté dans la communauté de recherche de la barre d'Hopkinson [61] que les méthodes expérimentales de BPHD et l'analyse des données de 1D sont généralement valides pour les métaux élastoplastiques qui satisfont les conditions mentionnées dans la section, approches de validité de l'essai BPHD. Cependant, des difficultés additionnelles surgissent dans le cas des matériaux doux et durs, qui incluent toutes sortes de matériaux technologiques autres que les métaux élastoplastiques. Le manuel d'ASM [61] consacre deux

sections séparées à l'essai BPHD; une pour les matériaux doux [24] et l'autre pour les céramiques [63]. On doit lire ces sections avant de les examiner.

Les matériaux doux incluent une grande variété de matériaux polymères, mousses des métaux et des polymères, et des matériaux granulaires. Sous conditions d'essai de BPHD, Cette classe de matériaux est caractérisée par leurs très faibles impédances acoustiques. Elle génère des impulsions transmises très faibles/faibles si une barre traditionnelle en acier avec un gain élevé est utilisée. Des chercheurs ont utilisé des barres de faible impédance (barres en titanium, aluminium et magnésium [65, 66]) où de bons signaux de transmission peuvent être obtenus. D'autres ont utilisé des barres polymères [67-69] (PMMA, PC) pour tester des matériaux doux. L'utilisation d'une barre polymère exige des analyses additionnelles du comportement viscoélastique de la barre. Elle ajoute plus de complexité en comparaison avec les barres métalliques de faible impédance. En plus des barres pleines métalliques et polymères de faible impédance, Chen et autres [70] ont utilisé une barre sortante creuse en aluminium pour obtenir un rapport signal sur bruit mieux que pour les barres pleines. L'issue principale dans l'essai des matériaux doux est d'obtenir une bonne impulsion transmise, ce qui peut être réalisé par l'utilisation des barres de faible impédance. Cependant, toutes les approches d'équilibre de contrainte, uniforme et contrainte uniaxiale, effets d'inertie et de frottement, et conditions de dispersion doivent être satisfaites pour une expérience valide de BPHD.

La faible vitesse de l'onde dans les matériaux doux fait le temps de passage dans le spécimen beaucoup plus long que dans les matériaux métalliques. Ainsi, un spécimen mince est nécessaire pour satisfaire la condition d'équilibre de contrainte. D'une part, il est trouvé que le rapport _LS/DS dépend fortement du comportement contrainte-déformation des matériaux doux [24]. Chen et autres [70] ont observé une atténuation substantielle de l'onde dans des échantillons épais en caoutchouc RTV630 (0.25') par rapport aux échantillons minces (0.06'). Selon la température et le matériau du spécimen, ils suggèrent qu'un rapport _LS/DS de 0.25- 0.50 peut être utilisé pour réduire l'atténuation.

A raison de la nature viscoélastique de quelques polymères et composites polymères à la température ambiante, une procédure spéciale est adoptée au Laboratoire National de Los Alamos pour usiner des spécimens de BPHD à surfaces de chargement parallèles avec une tolérance de 0.03 mm [24]. Le spécimen est refroidi à l'azote liquide au-dessous de sa température de transition vitreuse. Ensuite, il est usiné dans son état durci; et lentement réchauffé de nouveau à la température ambiante.

Gray III [61] a suggéré qu'une analyse par éléments finis de l'expérience de BPHD puisse être utile en réduisant les données expérimentales avec confiance, en concevant

l'expérience de BPHD, et en utilisant des techniques expérimentales de la barre non standard de Hopkinson. Essai de BPHD des matériaux poreux et granulaires exige des outils diagnostiques additionnels du spécimen, tels que la photographie ultrarapide et l'analyse lagrangienne couplée [61].

L'analyse de la dispersion et de l'atténuation des ondes est généralement faite par des méthodes spectrales. Une explication détaillée du changement en domaine fréquentiel et de la manière de propagation des ondes est donnée ici. Cette compréhension est fondamentale lors de l'analyse de la propagation d'onde dans un milieu.

La transformée de Fourier introduit la notion de spectre. C'est la caractéristique fréquentielle d'un signal. Ce dernier peut être défini dans deux espaces, soit temporel ou fréquentiel. L'analyse spectrale d'une onde périodique complexe peut être représentée par la superposition d'une série de sinusoïdes de fréquences reliées harmoniquement [29]. L'équation générale pour une sinusoïde harmonique simple est:

Où a₀ est l'excentrée, r₁ est l'amplitude, ù₀ est une fréquence angulaire qui décrit la nature
périodique, et è₁ est l'angle de phase ou le déphasage de l'onde. L'angle de phase décrit la

quantité de déphasage le long de l'axe de temps de l'onde. En appliquant l'identité trigonométrique:

Par conséquent, un signal peut être représenté par une série de Fourier continue écrite comme:

ù₀ est la fréquence fondamentale et k est un nombre entier. Les multiples de fréquence (kù₀)

sont connus comme harmoniques. Une fonction de période T dans le domaine temporel peut
donc être liée au spectre de composantes (a_k et b_k) dans le domaine fréquentiel. Les figures

III.1a, III.1b et III.1c illustrent comment une onde carrée peut être décomposée en une série
d'ondes cosinusoïdales. Si assez de termes sont inclus, alors la superposition de toutes les

En plus de l'amplitude de chacune des composantes de la série de Fourier, un angle de

phase correspondant doit également exister. Les spectres d'amplitude et de phase sont nécessaires pour reconstruire l'onde dans le domaine temporel. Pour l'exemple de l'onde carrée, les spectres d'amplitude et de phase sont montrés sur les figures III.2a et III.2b respectivement. En analysant les spectres d'amplitude et de phase un plus grand aperçu des propriétés de l'onde peut être eu.

L'analyse ci-dessus a été faite pour un signal périodique ou répétitif. Cependant, c'est, impraticable pour analyser la propagation de l'onde puisqu'une onde de contrainte est apériodique. Pour l'analyse des signaux apériodiques, une alternative à la série de Fourier a été développée. Une transformée de Fourier paire permet la transformation d'un signal apériodique au domaine fréquentiel et vice-versa. La base de la transformée de Fourier est l'intégrale de Fourier qui est donnée par:

complexe ( -1). L'intégrale de Fourier est dérivée des séries de Fourier dans sa forme

exponentielle en appliquant les identités d'Euler. L'application des limites infinies permet la définition d'un signal apériodique. En d'autres termes, lorsque la période devient infinie, le signal ne se répète jamais, devenant apériodique. La deuxième partie de la transformée de Fourier paire est la transformée inverse qui est donnée par :

et imaginaire qui sont liées respectivement aux termes a_K et b_K de la série de Fourier. Pour la
plupart des cas, la fonction f(t) n'est pas connue analytiquement. Normalement le signal est

connu en termes du signal discret mesuré par un système d'acquisition de données. Pour ce cas, la transformée de Fourier discrète (TFD) a été développée. La TFC écrite en termes des échantillons (n) donne la transformée paire TFD qui s'exprime par :

Bien que c'est la forme la plus pratique de la transformée de Fourier, elle exige 2

N opérations complexes ce qui la rend impraticable manuellement et intimide pour le calcul à l'aide des ordinateurs. Pour alléger une partie du fardeau de calcul, des sous-programmes de la transformée de Fourier rapide (FFT) ont été développés. La plupart des sous-programmes de FFT réduit 2

N opérations à N log₂ (N) opérations, ce qui permet un calcul plus efficace des

coefficients de Fourier. Le lecteur est référé à Press et autres [30] pour une description détaillée des sous-programmes de FFT.

F k

a une partie réelle et une partie imaginaire. Alors, il peut être exprimé en coordonnées

rectangulaires et polaires. En forme rectangulaire, F_k

représente les coefficients de la série de

Fourier. La forme polaire de F_k

est liée à la forme rectangulaire par:

r_k est le module et è_k est l'argument (l'angle de phase). Bien que la plupart des routines

FFT retournent les résultats en forme rectangulaire, une meilleure compréhension des propriétés de l'onde est atteinte avec la forme polaire. Quelques considérations spéciales doivent être prises en considération lorsqu'on passe de la forme rectangulaire à la forme polaire. Lors de la détermination de l'angle de phase par la fonction arctan, on doit faire attention que l'angle a été ajusté à son quart de cercle. La plupart des programmes mathématiques supposent que l'angle se trouve dans le premier quart de cercle et ainsi un certain ajustement est nécessaire. L'angle de phase devrait se situer dans l'intervalle -ð = è = ð. Aussi bien, les angles de phase doivent être redéployés "Unwrapped". En redéployant les spectres de phase, une fonction continue est obtenue en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 2ð quand les sauts absolus entre les spectres consécutifs de phase sont plus grands que de ð radians (La figure III.3). Cette procédure compte sur le déphasage relatif à la première composante ou au terme DC. Le terme DC se produit quand n = 0 et représente l'aire sous la fonction de temps.

Un des aspects les plus utiles de la transformée de Fourier est la capacité d'analyser et de prévoir comment les ondes propageront. Quand une onde propage le long d'une tige, essentiellement elle est décalée dans le temps. Si une onde carrée simple est symétrique par rapport le temps zéro, il peut être vu que la partie imaginaire de la transformée est zéro et qu'il n'y a aucun déphasage. Si l'onde est déplacée le long de l'axe de temps, la transformée aura les deux parties; réelle et imaginaire. La partie réelle est une fonction paire tandis que la partie imaginaire est une fonction impaire. La figure III.4 montre ces relations pour une impulsion carrée en utilisant le TFC. En termes de coordonnées polaires, les amplitudes des impulsions originale et décalée sont identiques; la seule différence est celle de la phase. Ceci indique qu'une variation dans le temps correspond à un changement de phase dans le domaine de fréquence. Ceci mène à la relation suivante:

impulsion carrée soumise à des quantités différentes de déphasage, Doyle [31]

Connaître la manière de propagation d'une onde dans un matériau est d'importance primordiale dans l'analyse d'onde. La dispersion et l'atténuation de l'onde peuvent avoir lieu lorsqu'elle se propage dans certains milieux. La dispersion est liée à l'allongement d'une onde pendant la propagation dans un milieu tandis que l'atténuation est liée à une réduction d'amplitude. La dispersion et l'atténuation sont des actions en corrélation qui sont généralement

couplées. En d'autres termes, s'il y'a dispersion, il y'a généralement atténuation. La figure III.5 montre ces effets. L'atténuation et la dispersion peuvent être provoquées par une variété de facteurs comme, les propriétés du matériau et les contraintes géométriques. La capacité de séparer les composantes d'une onde est une clé pour analyser les relations de dispersion et d'atténuation. La figure III.6 illustre les composantes d'une onde en fonction du temps. Le train d'ondes du côté gauche illustre un système non dispersif. Pendant la propagation d'onde, ses différentes composantes ont la même vitesse et gardent donc dans la même position relative entre elles. Ceci signifie qu'à tout moment donné l'addition des différentes composantes de l'onde aura comme conséquence la même onde. Pour le système dispersif, montré à droite du de la figure III.6, les trains d'onde ont différentes vitesses ce qui change leurs positions relatives. Ceci signifie que pendant la propagation du train d'ondes, l'onde résultante se déformera avec le temps. La vitesse de déplacement de chaque composante s'appelle la vitesse de phase. Elle qui est donnée par:

Où c est la vitesse de phase, t est le temps, x est la distance mesurée à partir de l'interface et k est le nombre d'onde. En reliant la vitesse de chaque phase à la fréquence, un rapport dispersif peut être développé [31, 32, 33]. Le rapport entre le nombre d'onde et la fréquence s'appelle le rapport de spectre. La vitesse à laquelle l'onde superposée se déplace s'appelle la vitesse de groupe (c_g). C'est l'onde actuellement observée.

Si l'onde est mesurée en un point, alors elle peut théoriquement être prévue à un autre point en appliquant une fonction de transfert à l'onde originale. En d'autres termes, si on sait le rapport dispersif, on peut prévoir comment une onde propagera à travers un matériau.

Figure III.6: Segments d'un train infini d'ondes à différentes positions.
Gauche: Système non dispersif. Droite: Système dispersif, Doyle [31]

Afin de prévoir l'état de propagation d'une onde dans un milieu, un modèle décrivant son mouvement doit être formulé. Le développement des équations de fréquence de Pochhammer [34] et de Chree [35] forme la base pour l'analyse de la propagation longitudinale d'onde. Ces équations relient la vitesse de phase à la fréquence pour une propagation unidimensionnelle de l'onde. Selon Follansbee [36] une analyse unidimensionnelle est suffisante puisque la majorité de l'énergie est contenue dans les longueurs d'onde qui excèdent dix fois le rayon de la barre. Ceci signifie également que la mesure extérieure de la contrainte est un indicateur valide de déplacement axial. L'équation unidimensionnelle du mouvement d'onde est:

Où F_n est le spectre d'amplitude et le G est la fonction de transfert du système; Doyle [31].

L'indice inférieur m se rapporte au mode de la solution. Généralement, seulement le premier mode est considéré; Cheng et autres [38]. La fonction de transfert détermine la quantité d'atténuation du déphasage en fonction de l'espace. On verra plus tard que la fonction de transfert sera liée au coefficient de propagation ã.

On considère un matériau élastique analysé linéairement. La dispersion est ignorée si le rapport de la longueur d'onde (ë) au rayon (R) est beaucoup moins à l'unité; Davies [4].

Follansbee et Frantz [32] ont déterminé que la dispersion est une considération importante même lorsque ë/R << 1 pour les barres linéairement élastiques.

Les effets viscoélastiques créent des problèmes avec les barres polymères. L'utilisation des barres fabriquées de ces matériaux exige une plus grande compréhension des propriétés du matériau de la barre. L'atténuation et la dispersion ont de grands effets sur les ondes; incidente, réfléchie et transmise. Le problème est que la mesure de la jauge de contrainte au milieu de la barre ne correspond pas aux conditions à l'interface barre-spécimen. Par conséquent, la réduction de quelques données est exigée. Une variété de méthodes a été suggérée pour combattre ce problème.

La correction de la dispersion améliore la forme de la courbe contrainte-déformation dynamique [53]. Des méthodes expérimentales et théoriques sont à utiliser pour corriger la dispersion et l'atténuation d'un signal.

L'approche théorique pour résoudre ce problème exige qu'un modèle viscoélastique du matériau soit formulé. Le modèle est utilisé pour simuler le comportement du matériau de sorte que l'onde puisse être prévue à un certain point de mesure connue. Kolsky [39] illustre les trois modèles les plus généralement utilisés pour simuler la réponse viscoélastique. Les trois modèles, représentés sur la figure III.7, sont composés d'éléments amortisseur et ressort. Les différentes configurations de Voigt, de Maxwell et du Solide général modélisent les différents types de comportements dynamiques. Le modèle de Voigt est fondé sur l'hypothèse que les composantes de la contrainte dans un solide sont proportionnelles à la somme de la déformation et du taux de déformation. Dans le solide de Maxwell, le taux de contrainte est proportionnel au taux de déformation et à la contrainte. Alors, les solides de Maxwell et de Voigt réagissent de manières opposées. On a une décroissance logarithmique inversement proportionnelle à la fréquence dans l'amplitude de la vibration pour des solides de Maxwell et directement proportionnelle pour des solides de Voigt. Le modèle le plus général est une combinaison des éléments de Maxwell et de Voigt. Le résultat est un modèle qui est plus utile en décrivant la nature qualitative du matériau viscoélastique. Cependant, même le modèle général ne correspond pas bien aux résultats quantitatifs exceptés sur une petite gamme de fréquence. Wang et autres [40] proposent que le

modèle non linéaire de Zhu-Wang-Tang (ZWT) puisse simuler le comportement viscoélastique des matériaux polymères. Le modèle de ZWT est une compilation de deux solides de Maxwell parallèlement à un ressort. Par simulation numérique, ils peuvent prédire précisément la réponse viscoélastique connaissant les propriétés du matériau.

Tyas et Watson [41] utilisent la simulation numérique pour déterminer le comportement viscoélastique d'un matériau. Ils simulent l'historique d'une force d'entrée appliqué à l'extrémité d'une barre tout en enregistrant le signal dispersé à une certaine distance de l'extrémité. A partir de l'entrée connue et la sortie enregistrée, le rapport dispersif peut être déterminé.

Sawas et autres [42] ont utilisé des barres en acrylique pour examiner des échantillons en polycarbonate, mousse de polyuréthane et mousse de styrol avec un certain succès. Leur méthode de réduction de données exige une connaissance a priori des propriétés du matériau des barres acryliques. Ces propriétés sont utilisées pour résoudre une forme de l'équation d'ondes viscoélastique permettant à la propagation de l'onde d'être prévue.

Zhao et Gary [43] ont développé une équation d'onde tridimensionnelle basée sur l'équation de propagation de l'onde longitudinale de Pochhammer et Chree. Par comparaison avec des résultats empiriques, ils prouvent que l'application du modèle tridimensionnel prévoit plus exactement l'état de propagation des ondes dans des milieux viscoélastiques. Zhao et Gary [44] ont également étendu ce travail afin d'inclure une méthode inverse pour le calcul des paramètres du matériau. En mesurant la vitesse sur les extrémités de la barre et puis en estimant les paramètres modèles par des itérations multiples. Sogabe et autres [45] emploient une approche semblable pour définir un coefficient de propagation qui permet la correction de l'atténuation et de la dispersion.

L'avantage de déterminer les propriétés du matériau des barres; entrante et sortante expérimentalement est qu'aucune connaissance antérieure des propriétés du matériau n'est exigée et ce n'est pas nécessaire de résoudre les équations de fréquence de Pochhammer et de Chree. Aussi bien, les corrections basées sur des techniques analytiques semblent limitées à corriger seulement un peu de distorsion dispersive.

Gorham et Wu [33] ont suggéré une méthode pour déterminer expérimentalement les corrections de phase. Leur méthode exige qu'une série d'essais à l'aide de projectiles de différentes tailles soit effectuée. Le spectre de phase pour chaque impulsion est analysé et avec la connaissance de la manière dont une impulsion idéale propage, la variation de la phase fondamentale commune à toutes les courbes est déterminée. Avec la connaissance de la façon dont les vitesses de phase changent sur la gamme des fréquences, la dispersion de l'onde peut donc être prévue.

Bacon [46] suggère une méthode expérimentale pour considérer l'atténuation et la dispersion dans les barres viscoélastiques. Cette méthode implique de réaliser un essai sur chaque barre afin de déterminer le comportement du matériau viscoélastique. Cette méthode, décrite plus tard, détermine le rapport dispersif expérimentalement. Bacon et Brun [47] ont étendu cette méthode pour déterminer le rapport dispersif sur la longueur des barres non uniformes. Cette méthodologie serait utile si les extrémités des barres sont chauffées ou si les barres sont d'impédance non uniforme pour assortir un échantillon. Ce travail est une prolongation de Lundberg et autres [48] où les propriétés viscoélastiques du matériau ont été déterminées en utilisant une technique de mesure à deux points. Cheng et autres [38] suggèrent une méthode semblable de détermination du coefficient de propagation. Au lieu de redéployer les spectres de phase pour déterminer le déphasage entre deux impulsions, le nombre d'onde est estimé pour donner une vitesse de phase et un rapport de fréquence raisonnables.

En appliquant l'analyse spectrale de l'onde à une configuration de la barre d'Hopkinson, des équations reliant la vitesse et la force aux interfaces de la barre peuvent être dérivées. L'équation d'ondes unidimensionnelle peut être écrite en terme de contrainte comme:

ó ~ x ù et å x ù sont les transformées de Fourier de la contrainte et de la déformation ~

respectivement. La fréquence angulaire ù est reliée à la fréquence par: ù = 2ðf .Pour des milieux linéairement viscoélastiques, la contrainte est donc liée à la déformation par:

Où E * est le module complexe du matériau. Le coefficient de propagationã = ã(ù), est défini par:

=
² (3.22)
E * En utilisant les équations (3.20), (3.2 1) et (3.22) l'équation unidimensionnelle d'un mouvement

ù et N ù sont les transformées de Fourier des déformations à x = 0 .Elles sont dues à la propagation des ondes dans les directions de l'augmentation et de diminution de x respectivement. La vitessev ( , )

~ ñ ù

F x

( , )

ù = - ã 2

2 ? - + x

~ ã x ~

P e N e ã

( )

ù ( )

?
??

(3.26)

eãsont liés à l'atténuation et à la propagation respectivement. Le coefficient de propagation ã(ù) est lié au coefficient d'atténuationá(ù), et à la vitesse de phase c(ù) par:

Où: K(ù) est le nombre d'onde (fonction impaire) et á(ù) est également une fonction positive avec : á(0) = 0.

La méthode suivante est basée sur le travail de Bacon [46]. La base de la détermination deã(ù) expérimentalement est l'équation (3.26). En permettant à une extrémité de la barre d'être

libre; la force devient zéro (ou bien au moins très petite que la force à l'endroit de la jauge de déformation). Lorsque la force à l'extrémité est zéro, l'équation (3.26) deviennent:

Où: d est la distance de l'endroit de la jauge de déformation à l'extrémité libre et P

et N

sont liés

G ^R e ²

( ) ã

ù -

å ù

~ ( )

= - =

å ù

~ I ( )

(3.30)

Le signe négatif devant le rapport doit compenser le fait que l'onde réfléchie est inversée. Il devrait être appliqué à la transformée de Fourier de la déformation réfléchie en forme rectangulaire. Alors, le rapport complexe décrit comment l'onde a changé, à raison de l'atténuation et de la dispersion, sur la distance 2d. Après qu'un signe négatif soit appliqué à la déformation réfléchie, le rapport complexe devient:

Ceci est fait pour chaque fréquence. Par conséquent, le rapport dispersif entre la fréquence et le k est déterminé.

La détermination du coefficient de propagation permet la détermination de la vitesse et la

force à l'interface des barres incidente et transmise. Ceci, alternativement, permet un calcul direct du taux de déformation de l'équation (2.1). La contrainte peut être calculée à partir:

Où les indices inférieurs S et T se rapportent au spécimen et à la barre transmise respectivement. La déformation peut être déterminée en intégrant l'équation (2.1) par rapport au temps comme suit:

La division de la longueur de l'échantillon pour obtenir le taux de déformation et la section de l'échantillon pour obtenir la contrainte devrait être faite dans l'ordre de domaine de temps pour maintenir sa représentation physique.

Ce chapitre a décrit la base de l'analyse spectrale de l'onde comme elle s'applique à l'appareil à barre d'Hopkinson. La compréhension de cette méthode d'analyse de propagation d'onde permet d'inclure un rapport dispersif qui permet d'analyser le comportement viscoélastique inhérent à la plupart des polymères. En plus d'une analyse détaillée d'une méthode expérimentale, de diverses méthodes analytiques pour la détermination du rapport dispersif ont été également discutées.

CHAPITRE IV

IV.1 Méthode de conception du dispositif

Vu le caractère équivoque et indéterminé de la synthèse, le travail doit être systématique pour avoir une meilleure avance dans le travail. Pour cela, on suit la méthode ainsi:

IV.1.1 Fonction totale

La fonction totale est de concevoir et réaliser un dispositif d'essai de compression dynamique à barres de pression d'Hopkinson divisée. Cette fonction totale peut être décomposée en des fonctions partielles.

IV.1.2 Fonctions partielles

Tandis qu'il n'y a pas une conception standard universelle pour l'appareil BPHD, la plupart des appareils d'essai de BPHD partagent cinq variantes communes [49]:

1/ Deux barres de pression longues de section uniforme de rapport longueur sur diamètre (L_B /D_B) allant de 20 à 100. Les deux barres sont fabriquées du même matériau. Les

bouts de la barre sont usinés perpendiculairement à l'axe de la barre pour assurer un bon contact entre le spécimen et la barre et entre la barre et le projectile.

2/ Roulement et armature d'alignement pour un alignement correct afin de satisfaire les conditions de propagation d'une onde unidimensionnelle (1D).

3/ Un lanceur à air comprimé pour propulser un projectile fabriqué du même matériau que celui des barres.

4/ Jauges de déformation montées sur les deux barres pour mesurer la propagation de l'onde de contrainte dans les barres.

5/ Instrumentation associée et le système d'acquisition des données pour contrôler, enregistrer et analyser les données de l'onde de contrainte dans les barres.

IV.1.3 Cahier des charges

Le cahier des charges du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée marque un jalon dans la vulgarisation de cette technique.

Le schéma ci-dessous exprime les exigences relatives au produit; spécification du besoin d'un point de vue technique, économique et opérationnel comme suit:

· Vitesse de déformation : 10² ÷ 10⁴ S^-1. · Vitesse d'impact : Elle est fonction de la pression d'alimentation. · Encombrement max : 300×300×4000 mm³. · Utilisation des jauges extensométriques pour mesurer la propagation de l'onde de contrainte. · Instrumentation du dispositif, commande et traitement des données par PC.		· Délai du projet : Deux ans. · Réalisation à l'unité moule. · Pas de financement officiel.
· Utilisation facile · Montage et démontage aisés

IV.I.4 Variantes proposées

Notions supérieures	Variantes	1/ Lancement du projectile
1.1/ Propulseur mécanique à ressort 1.2/ Marteau électromécanique 1.3/ Canon à air comprimé 1.3.1 / A Robinet à boisseau sphérique 1.3.2 / A déclencheur à fil 1.3.3 / Assisté par électroaimant 1.3.4 / Assisté par électroaimant 1.3.5 / A cliquet 1.4/ Propulseur à explosif	2/ Mesure de la propagation de l'onde de contrainte
2.1 / Jauge extensométriques de déformation 2.2 / Capteur piézoélectrique 2.3 / Capteur piézorésistif	3/ Mesure de la vitesse d'impact
3.1 / Coupure de faisceaux lumineux 3.2 / Caméra ultra-rapide 3.3 / Capteurs inductifs ou capacitifs	4/ Guidage des barres
4.1/ Ensembles de trois roulements déphasés à 120° 4.2/ Douilles à billes 4.3/ Guidages en V 4.4/ Aéroglisseurs [2]

Mise au point du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD)