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Une description de differentes options exotiques à partir du modèle de Cox Ross et Rubinstein sur quelques periodes

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par Jean charles Richard
Université Bordeaux 4 - Master 2007
  

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UNIVERSITE MONTESQIEU BORDEAUX IV

Une description de différentes options

exotiques à partir du modèle de Cox

Ross et Rubinstein sur quelques

périodes.

MÉMOIRE

soutenu le 20 mai 2008
pour l'obtention du

Master 1 Mention Ingénierie Mathématique, Statistique et
Economique

(Ingénierie Economique)
par

Richard Jean-Charles

Composition du jury

Mme. Christine Marois

Melle. Benoite de Saporta

Remerciements

Je tiens à remercier Mme. Christine Marois, responsable de loption, pour mavoir conseillé et encadré tout au long de ce travail

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION 1

Partie I Introduction du modèle 4

CHAPITRE 1:

LE MODÈLE DE COX ROSS RUBINSTEIN

1 Les hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Le modèle sur une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Le modèle sur T périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Les options dans le modèle CRR . . . . . . 12

5 Un choix de u, d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Partie II Quelques options "path independent" 17

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS BINAIRES

1

L'option cash or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

 

1.1

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

 

1.2

Expression mathématique. . . . . . . . .

20

 

1.3

Convergence du modèle de Cox Ross Rubinstein

21

2

L'option asset or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

 

2.1

Exemple ....... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

 

2.2

Expression mathématique. . . . . . . . .

26

 

2.3

Convergence du modèle de Cox Ross et Rubinstein

28

3

La formule de Black et Scholes. . . . . . . . . . . . . .

30

CHAPITRE 2:

LES OPTIONS SUR OPTIONS 34

Partie III Quelques options path dependent 41

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS LOOKBACK

1 Le call lookback fixe européen . . . . . . . . . . .

2 Le call lookback flottant européen . . . . . . . . . .

3 Evaluation du call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . .

. . . . . . . . .

44

45

47

CHAPITRE 2:

LES OPTIONS BARRIÈRES

52

 

1 Evaluation par l'arbre binomial . . . . . . . . . . . . . . .

. .

54

CONCLUSION

60

 
 
 
 

BIBLIOGRAPHIE

61

 
 
 

iv

Table des figures

1

Arbre binomial à une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

Arbre binomial à trois périodes . . . . . . . . . . . . .

8

1

Exemple du payoff cash or nothing K=100, Q=10, T=1 an

18

2

Evaluation du call cash or nothing dans l'arbre binomial

19

3

Exemple du payoff asset or nothing K=100T=1 an

25

4

Evaluation du call asset or nothing dans l'arbre binomial

26

5

Exemple de payoff de l'option vanille K=80, T=1 an

30

6

Evaluation d'un call vanille . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

7

Convergence vers Black et Scholes . . .

33

1

Evaluation d'un call sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2

Evaluation d'un put sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3

Evaluation d'un call sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4

Evaluation d'un put sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1

payoff du call lookback fixe . . . . . . . . .

43

2

payoff du call lookback flottant . . . . . . .

43

3

arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice fixe

45

4

arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice flottant

46

5

Encadrement de la trajectoire de St . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6 Le principe de réflexion du brownien . . . . . . . . . . . 49

7 Call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 exemple de barrière up-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Le problème de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 encadrement de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 encadrement de la barrière sur un noeud . . . . . . . . . 57

5 Option up and out avant interpolation . . . . . . . . . . 58

6 Option up and out après interpolation . . . . . . . . . . . 59

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"I don't believe we shall ever have a good money again before we take the thing out of the hand of governments. We can't take it violently, out of the hands of governments, all we can do is by some sly roundabout way introduce something that they can't stop ..."   Friedrich Hayek (1899-1992) en 1984