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Etude de la stabilité aux petites perturbations dans les grands réseaux électriques: Optimisation de la régulation par une méthode metaheuristique

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par Hasan ALKHATIB
Université Paul Cézanne Aix Marseille III - Diplôme de Doctorat en Génie Electrique 2008
Dans la categorie: Sciences
  

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Chapitre I

Modélisation du système

de puissance

1.1- Introduction.

Un grand réseau électrique (appelé aussi système de puissance) se compose d'éléments (générateurs, transformateurs, lignes,...), plus ou moins nombreux selon la taille du réseau, interconnectés, formant un système complexe capable de générer, de transmettre et de distribuer l'énergie électrique à travers de vastes étendues géographiques, figure (1). Un modèle mathématique typique non-réduit d'un "grand" système peut contenir jusqu'à 15000, voire plus, variables d'état (Farmer, 2006). Ainsi, les systèmes de puissance modernes sont caractérisés par taille et complexité croissantes. Plus la dimension d'un système de puissance augmente, plus les processus dynamiques et l'analyse des phénomènes physiques sous-jacents sont complexes. Outre leur taille et leur complexité, les systèmes de puissance présentent un comportement non-linéaire et variant dans le temps. Les non-linéarités peuvent être introduites par des éléments à fonctionnement discontinu tels relais, thyristors, ..., par des éléments avec hystéré sis ou saturation,... . De nos jours, cette complexité structurelle impacte de plus en plus l'évolution des problèmes de stabilité et des phénomènes dynamiques dans les systèmes de puissance interconnectés.

Distri bution

Production

Transport

Charges

Figure 1. Les différents niveaux d'un système de puissance.

Les grandes composantes d'un système de puissance peuvent être représentées par un schéma blocs comme le montre la figure (2), (Sauer et al., 1998). Cette représentation ne montre pas toutes les interactions dynamiques entre les éléments et leurs contrôles, mais elle peut servir à une description générale pour les structures dynamiques.

L'étude de la performance dynamique d'un système de puissance est très importante pour les opérateurs du système (point de vue économique) et la société en général (point de vue de fiabilité). Une étape essentielle dans ce type d'étude est de comprendre physiquement et mathématiquement les phénomènes dynamiques d'intérêt. Ensuite, la modélisation et la simulation effectuées du système peuvent refléter son comportement critique.

Source
d'énergie

Contrôle de
la source
d'énergie

Signaux de contrôle de la
puissance de génération désirée

Système de la
force motrice

Régulateur
de fréquence

D'autres
générateurs

Générateur

Régulateur
de tension

Puissance de
génération

Système de contrôle central

V

Charges

Puissance
transmise

Fréquence du
système

Fréquence de
référence du
système

 

Programmation de puissance de transmission

Figure 2. Structure générale d'un système de puissance. 1.2- Les phénomènes dynamiques.

Dans un système de puissance une grande variété de phénomènes dynamiques différents est susceptible de se produire. Ces phénomènes dynamiques ont des caractéristiques et des origines physiques diverses et se produisent dans des gammes de temps différentes.

Un phénomène dynamique est généralement initié par une perturbation, une action d'un contrôleur, une manoeuvre de protection,... .

Selon le niveau de la perturbation d'origine, nous pouvons distinguer deux classes de phénomènes dynamiques :

- les "petites" perturbations. Il s'agit de fluctuations normales, de faible amplitude, des grandeurs électriques ou mécaniques ; (par exemple, variation continue de charge). Ces phénomènes se manifestent habituellement dans le système par de faibles oscillations transitoires souvent peu amorties.

- les "grandes" perturbations. Ce type de perturbation correspond, par exemple, à un court-circuit sur une ligne de transmission, à la perte d'un générateur,... . Elles exciteront par contre des oscillations importantes.

Afin de mieux comprendre les mécanismes d'instabilité des systèmes de puissance, les divers phénomènes dynamiques doivent être définis et classés. Si l'on tient compte de leurs

caractères physiques ainsi que de leurs plages de réponse temporelles, les phénomènes dynamiques sont habituellement divisés en quatre groupes (Machowski et al., 1998).

1.2.1- Les phénomènes de propagation.

Ils se produisent dans les lignes de transmission haute tension de grande longueur et correspondent à la propagation des ondes électromagnétiques provoquées par des coups de foudre ou des opérations de coupure/fermetures. La gamme de temps de la dynamique de ces phénomènes va de la microseconde à la milliseconde. Ils possèdent les dynamiques les plus rapides.

1.2.2- Les phénomènes électromagnétiques.

Ils ont lieu principalement dans les enroulements des générateurs et des moteurs (enroulements armatures et amortisseurs) et dans les dispositifs électroniques de puissance. Ils découlent d'une perturbation (tel un court-circuit), d'une opération d'un système de protection, d'une commutation (thyristors, ...), ou d'une interaction entre les machines électriques et le réseau.

Ces phénomènes génèrent des courants et des couples élevés à l'intérieur des générateurs, sur une échelle de temps typique de plusieurs millisecondes. Au-delà de ce laps de temps, les inerties de la turbine et du générateur sont suffisantes pour empêcher toute variation importante de vitesse de rotor.

1.2.3- Les phénomènes électromécaniques.

Les phénomènes électromécaniques impliquent principalement les champs de rotors, les enroulements amortisseurs et les inerties des rotors. Ils sont principalement dus aux mouvements des masses tournantes des générateurs et des moteurs. Ils se produisent à la suite d'une perturbation, d'une opération de commande sur le système de contrôle de tension ou sur le contrôle de la turbine. La gamme de temps de ces phénomènes s'étend environ d'une seconde à plusieurs secondes. Cette échelle de temps est considérée suffisamment grande pour que les phénomènes soient influencés par la turbine et les systèmes de commande de générateur. Dans cette gamme de temps, les variations de vitesse de rotor couplées aux variations électromagnétiques produisent alors des effets électromécaniques.

1.2.4- Les phénomènes thermodynamiques.

Les phénomènes thermodynamiques se développent dans les chaudières des centrales thermiques lors de la demande de commande automatique de génération, mise en application suite à une perturbation d'équilibre entre la production et la consommation de puissance. Ils s'étendent de quelques dizaines de secondes à quelques dizaines de minutes : ils présentent ainsi les dynamiques les plus lentes.

La figure (3) montre la classification des phénomènes dynamiques expliquée ci-dessus.

Une "bonne" compréhension physique et mathématique du système et des phénomènes associés permet de mieux comprendre la modélisation et la simulation du système à refléter les comportements critiques de ce dernier. Le paragraphe suivant définit le modèle mathématique utilisé et ses éléments.

Dynamiques de
propagation

Dynamiques
électromagnétiques

électromécaniques

Dynamiques

Dynamiques
thermodynamique

s

microsecondes millisecondes secondes minutes

Figure 3. Caractéristiques des phénomènes dynamiques rencontrés
dans les systèmes de puissance.

1.3- Le modèle général non-linéaire.

1.3.1- Introduction.

La première étape, lorsqu'on veut analyser et commander un système électrique de puissance, consiste à trouver un "bon" modèle mathématique. Généralement, un modèle, dans l'analyse des systèmes, est un ensemble d'équations ou de relations, qui décrit convenablement les interactions entre les différentes variables étudiées, dans la gamme de temps considérée et avec la précision désirée, pour un élément ou un système. Par conséquent selon le but de l'analyse, un élément ou un même système physique, peut donner lieu à des modèles différents.

Dans de nombreux cas, le choix du modèle correct est souvent la partie la plus difficile de l'étude. Le point essentiel est de trouver le "bon modèle" qui réalise un compromis entre la fidélité du comportement qualitatif et quantitatif et la simplicité de mise en oeuvre à des fins d'analyse et de synthèse. Les modèles complexes ont généralement besoin d'un nombre plus important de paramètres. En outre, l'obtention de valeurs fiables pour ces paramètres exige un travail important. Enfin si des méthodes trop complexes sont utilisées, l'analyse et les calculs sont inutilement "volumineux" et l'interprétation du résultat exige également un travail très important (Andersson, 2006).

Généralement, pour établir un modèle de réseau électrique pour les études dynamiques, on tient compte uniquement des équipements en activité pendant la plage temporelle du phénomène dynamique considéré. Le résultat est donc le modèle de connaissance complet du système : il se compose d'équations différentielles ordinaires non-linéaires et d'équations algébriques (Kundur, 1994).

Les modèles présentés dans ce chapitre concernent les éléments suivants :

- les unités de production : générateurs électriques, systèmes d'excitation, turbines et systèmes de contrôle associés.

- les transformateurs et les lignes de transmission du réseau de transport.

- les charges enfin pour la partie consommation.

1.3.2- Les éléments du modèle.
1.3.2.1- Modèle du générateur.

L'énergie électrique est généralement produite par les machines synchrones. Ces dernières sont caractérisées par une vitesse de rotation de l'arbre de sortie de chaque machine égale à la vitesse de rotation du champ tournant. Pour obtenir un tel fonctionnement, un couple mécanique issu d'une énergie primaire source, comme l'énergie hydraulique, l'énergie nucléaire ou l'énergie chimique, est appliqué à l'axe de la machine synchrone via un lien mécanique intermédiaire, à savoir la turbine. Le champ magnétique rotorique est généré habituellement par un circuit d'excitation alimenté par courant continu. La position du champ magnétique rotorique est alors fixe par rapport au rotor : ceci impose en fonctionnement normal une vitesse de rotation identique entre le rotor et le champ tournant statorique. Ainsi, les enroulements du stator sont soumis à des champs magnétiques qui varient périodiquement. Une f. é.m. de courant alternatif est donc induite dans le stator.

Les générateurs synchrones participent de façon extrêmement importante aux phénomènes dynamiques et à la qualité globale de l'alimentation en énergie. Il est donc nécessaire de développer des modèles pratiques et réalistes des machines synchrones. Dans ce chapitre, nous présenterons et discuterons un modèle adapté à l'analyse de la stabilité dynamique.

1.3.2.1.1- Modèle de la machine synchrone dans le repère de Park.

Dans la machine idéale, le stator est muni de trois enroulements repérés a, b et c, décalés de 120 degrés. Le rotor comporte un certain nombre d'enroulements, répartis sur deux axes: l'axe-d, (axe direct) qui coïncide avec celui de l'enroulement d'excitation et l'axe-q (axe quadratique) situé en quadrature avance par rapport à l'axe direct (Custem, 2002, II).

Pour supprimer la non-linéarité entre les grandeurs du stator et celles du rotor, les enroulements de la machine doivent être ordonnés selon deux axes perpendiculaires, chaque machine est modélisée dans sa référence locale (d-q) tournant avec son rotor (Andersson, 2006). Pour formaliser le couplage entre les équations du système et établir les équations décrivant le comportement du système global, toutes les tensions et tous les courants doivent être représentés dans une seule référence commune à toutes les machines. Généralement, une référence tournant à la vitesse synchrone sert de référence commune. Une telle approche peut être réalisée par la transformation de Park. Le développement de cette transformation est donnée à l'annexe A.

La figure (4) montre schématiquement les enroulements et les sens des courants dans une machine synchrone. La figure (5) donne le modèle équivalent dans le repère de Park (d-q). Les différents enroulements dans les deux représentations sont les suivants :

- Les trois enroulements statoriques notés a, b et c, et leurs enroulements équivalents notés d5 et q5.

- L'axe direct comporte l'enroulement d'excitation noté f, et un enroulement amortisseur noté da.

- L'axe en quadrature comporte un enroulement amortisseur noté qa.

Notons enfin que l'enroulement d'excitation est soumis à une tension Vf tandis que les circuits da, qa sont court-circuités en permanence.

d

iD a

D

ia va

vb

ib

Q

f

vf

if

c

b

vc

iQ

ic

q

c

b

a

Figure 4. Modélisation de la machine synchrone idéalisée.

q

if

qh iqh vqh

qa iqa

f

vf

da

ida

idh

vdh

dh

d

Figure 5. Modèle de la machine synchrone dans le repère de Park.

1.3.2.1.2- Les hypothèses du modèle.

Le modèle du générateur et de ses contrôles se limite habituellement aux équations différentielles ordinaires couplées entre elles via les équations algébriques du réseau de transport. Chaque équation différentielle exprime la dérivée d'une variable d'état (tels l'angle de rotor, la tension d'excitation, ...) en fonction d'autres variables d'état et variables algébriques. Le nombre d'équations différentielles décrivant le modèle du générateur définit l'ordre du modèle. Il existe plusieurs modèles, allant du plus simple, le modèle classique représentant seulement les caractéristiques électromécaniques du générateur, au plus complexe, à savoir le modèle du huitième ordre tenant compte de tous les circuits de rotor, de stator, d'amortissement et de champ de saturation (Anderson et al., 2003). Dans les études des oscillations électromécaniques, le modèle du générateur doit représenter deux caractéristiques fondamentales : les caractéristiques électriques des enroulements d'excitation et les caractéristiques mécaniques de l'arbre du générateur.

Les hypothèses considérées pour établir ce modèle sont basées en négligeant l'influence : - des résistances rotoriques et statoriques.

- des enroulements amortisseurs.

- du champ de saturation.

- des phénomènes transitoires dans le stator.

- de la variation de vitesse dans les équations de tensions du stator (ainsi, ùr = ùo = 1 [p.u]), (cette supposition est faite pour compenser l'effet de l'annulation des phénomènes transitoires dans le stator).

Ce modèle néglige également l'amortissement produit par les courants de Foucault dans le corps du rotor (on suppose que la f. é.m. transitoire suivante l'axe d, à savoir E'd, est constante). Ainsi, comme il n'y a aucun enroulement sur l'axe en quadrature pour représenter le corps du rotor, nous aurons:

Ed ' = , X q = X q
0 '

E'd : f.é.m. du générateur induite suivante l'axe d, en p.u. X'q : réactance synchrone d'axe q, en p.u.

Xq : réactance transitoire d'axe q, en p.u.

Enfin, nous supposerons que l'angle de rotor ä (position angulaire du rotor par rapport à la référence tournante au synchronisme) coïncide avec l'angle de la tension interne du générateur.

Le modèle résultant est le modèle du troisième ordre. Il est décrit par les variables d'état suivants (Anderson et al., 2003) :

E'q : f.é.m. du générateur induite suivante l'axe q, en p.u.

ù : vitesse angulaire du rotor, en p.u.

ä : angle de rotor, en rad.

Ce modèle, bien adapté à l'étude de la stabilité dynamique, est le plus simple. Il est largement utilisé dans l'analyse des valeurs propres et le réglage des paramètres des stabilisateurs de puissance (Sauer et al., 1998).

1.3.2.1.3- Equations électriques.

Considérons une ième machine d'un réseau multimachines, nous allons déterminer dans de ce paragraphe les équations algébriques du stator de cette machine : à savoir les équations concernant les tensions suivant les axes d et q et les puissances électriques.

Les grandeurs électriques de cette machine sont représentées sur la figure (6). Avant de débuter le calcul, nous pouvons faire les remarques suivantes :

- le repère (di, qi) concerne la ième machine seule, alors que le repère (D, Q) est commun à toutes les machines du système.

- l'angle de couple äi, vu entre D et qi, représente la position du repère (d,q) de la ième machine par rapport au repère commun (D,Q) : il varie constamment dans le temps et peut être positif ou négatif (Yu, 1983).

Q

qi

Eqi jXqiIqi

'

jXdi Idi

Ii

Iqi

Idi

di

äi

Vi

ái

èi

D

Figure 6. Phaseurs relatifs à la ième machine d'un système multimachines.

D'après la figure (6), la tension terminale Vi de la ième machine du système peut se déterminer par l'équation suivante :

Vi = E ' qi - jX ' di Idi - jXqiIqi (1)

Notons, dans le repère commun (D-Q), les expressions suivantes :

E ' qi= E ' qi e ä

j i

Iqi I qi e ä

= , ( - 90 ° )

j i I di I di e ä

= j i

(2)

Vi i Ve j á i

=

En introduisant les relations (2) dans la relation (1), nous obtenons :

j á ä ä ä

i i i i

' ( 90 )

j j + °

V e E e X I e jX I e

= - -

j (3)

i qi di di qi qi

Qui devient après arrangement :

V e i i = E - X I - jX I

- ( ä - á ) '

j (4)

i qi di di qi qi

V jV E X I jX I (5)

i i i i i i qi di di qi qi

- - - = - -

'

cos( ä á ) sin( ä á )

En séparant partie réelle et partie imaginaire, nous obtenons les expressions de Vd et Vq suivantes :

ç ??

V X I

di qi qi

=

Vqi

' ' (6)

E X I

qi di di

-

En considérant les relations (2) et la relation suivante : Ii = Idi + Iqi, l'équation (1) peut être donc réécrite comme suit :

V E e jX I jX e jX I e

' ä - ' + ' ä - ä

j i i i

j j

i qi

= di i di qi qi

(7)

Pour n machines d'un système multimachines, l'équation (7) peut s'écrire sous la forme matricielle suivante :

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]

V E e j X I j X X I e

= - + -

' ' '

j ä j ä (8)

q d d q q

Dans cette dernière équation, les termes [V] , [ ' ]

Eq , [I] et [Iq ] sont des vecteurs colonnes

de dimension n et les coefficients [ ]

e, [ ' ]

X d et [ ' ]

X d - X q sont des matrices diagonales.

Les puissances électriques (apparente, active et réactive) de la ième machine sont données par :

)

S P jQ V I V j V I jI

*

i ei ei i i di qi di qi

= + = = + -

( ) (

(V di

- V di Iqi )

I V I j V I

di qi qi qi di

+ +

) (

? ??

??

Pei

Qei

V di

I V I

di qi qi

+

V qi I di - V di I qi (9)

Etant donné que les phénomènes transitoires dans le stator sont négligés, le couple électrique est dons égal à la puissance électrique active en per-unit. Ainsi Tei = Pei.

1.3.2.1.4- Equations mécaniques.

Les propriétés mécaniques des machines synchrones se modélisent généralement à l'aide de l'équation du mouvement basée sur le théorème du moment cinétique (Andersson, 2006). Cette équation présente une importance fondamentale dans l'étude des oscillations électromécaniques, car ces oscillations représentent un phénomène important dans la plupart des systèmes de puissance, en particulier ceux qui contiennent de lignes de transmission longues (Andersson, 2006). Dans le fonctionnement à l'état d'équilibre, toutes les machines synchrones du système tournent à la même vitesse angulaire électrique. Le couple mécanique

Tm est de même sens que le sens de la rotation de l'axe du générateur. Le couple électrique Te est de sens opposé à la rotation et ce couple équilibre le couple mécanique (Basler et al., 2005), figure (7). Lors d'une perturbation, un ou plusieurs générateurs peuvent être accélérés ou ralentis et il y a donc risque de perdre le synchronisme. Ceci peut avoir impact important sur la stabilité du système et les générateurs perdant le synchronisme doivent être débranchés, sinon ils pourraient être sévèrement endommagés.

Turbine

Rotor

Te

Tm ù

Pm

q

Pe d

Générateur

Figure 7. Couples mécanique et électrique agissant sur l'axe d'un générateur.

Pour un système multimachines, s'il y a un déséquilibre des couples agissants sur le rotor de la ième machine, cette dernière va accélérer ou ralentir selon l'équation du mouvement suivante :

Äù& =

i T T

2 H i

1

( )

mi ei

- (10)

Avec Hi constante d'inertie (en secondes) représentant l'inertie totale de toutes les masses tournantes connectées à l'arbre du générateur.

Pour des oscillations à faibles fréquences, le courant induit dans les enroulements amortisseurs est négligeable. Par conséquent les enroulements amortisseurs peuvent être complètement négligés dans la modélisation du système. Si les enroulements amortisseurs sont ignorés, le couple d'amortissement produit par ces enroulements amortisseurs est donc également négligeable. Pour tenir compte de la composante du couple négligée, on introduit dans l'équation du mouvement un terme de compensation D (nommé aussi coefficient d'amortissement) en p.u, (Sauer et al., 1998). Ce coefficient représente l'amortissement naturel du système : il empêche l'accroissement des oscillations, à moins qu'une source d'amortissement négatif soit introduite (tel le régulateur de tension du système d'excitation). L'équation du mouvement peut être donc réécrite comme suit :

ù& H ù

i T T D

1 ? ? Ä

Ä = ( (

mi ei i i

2 i

-1)) (11)

L'équation de l'angle de rotor de la ième machine est donné par :

ä& i = ù où i -1) (12)

Avec :

Äùi : déviation de la vitesse angulaire du rotor de la ième machine, en p.u. ùo : vitesse de synchronisme (vitesse de base), en rad/s.

(ùo = 2ðf , f : fréquence nominale, en Hz).

Tmi : couple mécanique fourni par la turbine, en p.u.

Tei : couple électromagnétique associée à la puissance électrique Pei produite du

générateur, (

T ei

P

= ), en p.u.

ei

ù i

Di : coefficient d'amortissement du générateur, en p.u. ä : angle de rotor, en rad.

1.3.2.1.5- Régulation du générateur.

Les machines synchrones du système doivent être capable de maintenir l'équilibre des puissances actives et des puissances réactives dans des conditions de fonctionnement diverses. Ainsi, des tensions sinusoïdales équilibrées sont garanties avec des amplitudes et des fréquences constantes.

Si l'équilibre des puissances actives n'est plus assuré, la fréquence de synchronisme dans le système sera changée, alors qu'un déséquilibre des puissances réactives entraînera une variation des tensions du système par rapport à leurs valeurs de référence (Andersson, 2006).

Pour assurer une génération satisfaisante d'énergie électrique, pour un grand nombre de points de fonctionnement, le couple mécanique Tm appliqué au rotor et la tension d'excitation Efd doivent être réglés systématiquement pour s'accommoder de toute variation du système.

Le système responsable de la génération du couple mécanique et ainsi de l'entraînement du rotor du générateur est appelé "système de force motrice". Le contrôle de la fréquence (ou contrôle de la puissance active) associé à ce système maintient la vitesse nominale des générateurs en assurant de ce fait une fréquence constante. Par ailleurs, le système d'excitation est responsable de la tension d'excitation fournie au générateur. Le régulateur de tension (ou régulateur de la puissance réactive) associé modifie les valeurs du système d'excitation pour enfin obtenir les tensions désirées aux bornes du générateur (Anderson et al., 2003).

Nous présentons par la suite successivement les principes généraux :

- de la génération de la puissance mécanique avec la régulation de fréquence

- du système d'excitation avec la régulation de tension et leurs modèles mathématiques.

1.3.2.1.5.1- Régulateur de fréquence et modèle de la turbine.

Un système de force motrice, figure (8), se compose de la source d'énergie primaire, de la turbine (équipé d'un servomoteur) et du régulateur de fréquence (gouverneur) (Farmer, 2006).

La turbine transforme l'énergie potentielle de la source en énergie de rotation de l'arbre (rotor) sur lequel est placé l'alternateur. L'alternateur convertit la puissance mécanique fournie par la turbine en puissance électrique de sortie. La vitesse de l'arbre de la turbine est mesurée précisément et comparée à la vitesse de référence. Le régulateur de fréquence (vitesse) agit ensuite sur le servomoteur pour ouvrir et fermer les vannes de contrôle et modifier par conséquent la vitesse du générateur. Ainsi, le rôle de la turbine est d'entraîner le rotor du générateur à la vitesse synchrone correspondant à la fréquence du système de puissance.

Source de
l'énergie
primaire

Valve de
contrôle

Conversion
de l'énergie

Turbine

Régulateur de
fréquence

Servo -
moteur

Capteur de
vitesse

Arbre de

transmission

Référence de
puissance

Générateur

Réseau de
transport, 3Ö

Figure 8. Structure générale d'un système de force motrice - générateur.

Les turbines à vapeur utilisées dans les centrales thermiques (charbon, gaz, pétrole, nucléaire) sont constituées d'un certain nombre de roues, successivement fixes et mobiles, portant des ailettes le long desquelles la vapeur se déplace. Au fur et à mesure que la vapeur progresse axialement dans la turbine, sa pression diminue et la taille des ailettes augmente. Ces différentes roues sont généralement groupées en plusieurs étages, particulièrement dans les centrales de grande puissance. La division de la turbine en étages permet de resurchauffer la vapeur entre les étages en assurant, par conséquent, un meilleur rendement au cycle thermique (Custem, 2002, I).

Le gouverneur forme une boucle de retour qui surveille la vitesse du rotor à chaque instant. Considérons par exemple une perturbation de l'équilibre des puissances actives. Dans les toutes premières secondes, l'énergie correspondante va être prélevée sur l'énergie cinétique des masses tournantes des unités de production. Ceci va entraîner une perturbation de la vitesse de rotation de ces unités. Cet écart de vitesse doit être détecté et corrigé automatiquement par les gouverneurs. Ces gouverneurs doivent changer l'admission de fluide (vapeur, gaz ou eau) dans les turbines de manière à ramener les vitesses et donc la fréquence du réseau, autour de leurs valeurs nominales.

Dans tout système de puissance, il très important de maintenir la fréquence dans une plage étroite autour de sa valeur nominale (50 ou 60 Hz). Le respect strict de cette valeur est non seulement nécessaire au fonctionnement correct des charges mais il est également l'indicateur d'équilibre entre puissances actives produites et consommées (Custem, 2002, I).

Dans l'analyse de la stabilité transitoire ou dynamique, la réponse temporelle du système de la force motrice à une perturbation est considérée comme plus lente que la plage d'étude de la stabilité concernée (typiquement entre 10 et 20 secondes). Ainsi, le modèle du système de la force motrice peut être extrêmement simplifié. Pour une analyse de stabilité transitoire d'une durée de quelques secondes, le modèle du système de la force motrice peut être supprimé en considérant que le couple mécanique de la turbine reste constant (Farmer, 2006). Sa faible influence sur le comportement des oscillations électromécaniques associées à la stabilité aux petites perturbations peut aussi être négligée. Ainsi, il n'est pas utilisé lors de l'établissement du modèle linéaire du système de puissance associé à ce type de stabilité.

Dans quelques cas, le modèle peut être employé pour calculer les fréquences naturelles de torsion du système de rotor. Il peut être également employé dans la simulation dynamique du

système de puissance pour obtenir des informations sur les couples de rotor se produisant lors d'un défaut (Machowski et al., 1998).

Le modèle de l'ensemble turbine à vapeur/gouverneur utilisé en simulation dynamique du modèle non-linéaire est représenté par la figure (9), (Milano, 2005).

T max

Tm

1

ùréf

1 +

KR

sT 4

1 3

+sT

+

1+

+

sT5

1+s TC

1+ sTS

ù

Tmin

Régulateur

Servomoteur

Réchauffeur

Figure 9. Modèle de la turbine et du gouverneur. 1.3.2.1.5.2- Régulateur de tension et modèle du système d'excitation.

Le système d'excitation est un système auxiliaire qui alimente les enroulements d'excitation de la machine synchrone afin que cette dernière puisse fournir le niveau de puissance demandé. En régime permanent, ce système fournit une tension et un courant continu mais il doit être capable également de faire varier rapidement la tension d'excitation en cas de perturbation sur le réseau (Custem, 2002, I).

Actuellement, des systèmes d'excitation variés sont employés. Trois principaux types peuvent être identifiés (IEEE, 2005) :

a)- Les systèmes d'excitation à courant continu -CC- :

Ils utilisent une génératrice à courant continu avec collecteur comme source de puissance du système d'excitation.

b)- Les systèmes d'excitation à courant alternatif -CA- :

Ils utilisent un alternateur et des redresseurs statiques ou tournants pour produire le courant continu nécessaire dans l'enroulement d'excitation de la machine synchrone.

c)- Les systèmes d'excitation statiques (systèmes ST) :

Dans ce cas, le courant d'excitation est fourni par un redresseur commandé. Sa puissance est fournie soit directement par le générateur à travers un transformateur donnant le niveau approprié de tension, soit par des enroulements auxiliaires montés dans le générateur.

Les systèmes d'excitation sont équipés de contrôleurs, appelés habituellement régulateurs de tension (Automatic Voltage Regulator : AVR), figure (10). Ces derniers sont très importants pour l'équilibre de la puissance réactive qui sera fournie ou absorbée selon les besoins des charges. En outre ces contrôleurs représentent un moyen très important pour assurer la stabilité transitoire du système de puissance. Le régulateur de tension agit sur le courant d'excitation de l'alternateur pour régler le flux magnétique dans la machine et "ramener" la tension de sortie de la machine aux valeurs souhaitées. Une caractéristique très importante d'un régulateur de tension est sa capacité à faire varier rapidement la tension d'excitation.

Vt

It

If

+

Système
d'excitation
statique

Vf

Vref

AVR

Turbin

Générateur

Source
auxiliaire

Figure 10. Structure générale d'un système d'excitation statique avec son AVR.

Le groupe IEEE task forces présente périodiquement des recommandations pour la modélisation des éléments d'un système de puissance dont les systèmes d'excitation. Plusieurs modèles sont suggérés pour chaque type de système d'excitation (IEEE, 2005). Les systèmes d'excitation statiques étant les plus installés actuellement, nous avons donc choisi dans notre étude d'utiliser le modèle du système IEEE-ST1A, modèle le plus utilisé dans la littérature. Ce type de système d'excitation se caractérise par sa rapidité et sa sensibilité (IEEE, 2003) :

- sa constante de temps Ta est faible, normalement de l'ordre de quelques millisecondes - son gain Ka est élevé, généralement entre 200 et 400 per-unit.

La figure suivante montre le modèle du système d'excitation et de son régulateur de tension utilisé dans notre étude.

Vt

Efd _ max

Vréf

+

+

K a

1+sT a

Efd

Efd _ min

VS

Figure 11. Modèle simplifié du système d'excitation IEEE-type ST1A.

La grandeur Vref, est la consigne de tension déterminée pour satisfaire les conditions de l'état équilibré. Le régulateur de tension compare le signal Vt (un signal continu proportionnel à la valeur efficace de la tension alternative du générateur) à la tension de consigne Vref .Un signal complémentaire VS peut être ajouté au noeud de comparaison : il s'agit d'un signal issu de certains dispositifs spécifiques de commande comme les stabilisateurs de puissance (PSS). Ensuite, le signal d'erreur est amplifié pour donner la tension d'excitation demandée Efd. La constante de temps et le gain de l'amplificateur sont respectivement Ta et Ka. Les valeurs extrémales de la tension d'excitation (Efd _max, Efd_min) sont fixées par un système de limitation.

E & = - + -

( ( ) )

K V V V E (13)

fd a réf t S fd

T a

La relation suivante décrit, tous calculs faits, le fonctionnement du modèle : 1

La relation entre la tension d'excitation Efd et la tension interne du générateur E'q est donnée comme suit :

1

E & ' = ( ( ) )

E X X I E

- - ' - '

q fd d d d q

T ' do

(14)

1.3.2.2- Réseau de transport.

Le réseau de transport relie toutes les centrales électriques dans un système de puissance et distribue la puissance aux différents consommateurs. Les éléments principaux du réseau sont les lignes aériennes à haute tension, les câbles souterrains, les transformateurs et les jeux de barres. Des éléments auxiliaires peuvent être trouvés : des condensateurs en série, des réactances shunts et des systèmes compensation, des systèmes de protection..., (Machowski et al., 1998).

Pour la modélisation de notre système de puissance, nous nous intéressons à établir le modèle de transformateurs et le modèle de lignes de transmission.

1. 3. 2. 2. 1- Modèle de transformateurs.

Le transformateur permet d'élever l'amplitude de la tension alternative disponible à la sortie de l'unité de production pour l'amener aux niveaux requis pour le transport. A l'autre extrémité de la chaîne, côté consommateurs, les transformateurs sont utilisés pour abaisser la tension et la ramener aux valeurs utilisées dans les réseaux de distribution -BT-.

Outre la transmission de l'énergie électrique avec modification des tensions, les transformateurs peuvent être utilisés pour contrôler les tensions de noeuds des réseaux (Custem, 2002, I). Ce contrôle de tension utilise la variation du nombre de spire des transformateurs. La figure (12) montre le schéma équivalent du transformateur (sans circuit magnétique) : il est doté de plusieurs prises (côté haute tension) permettant de modifier le nombre de spires du primaire. L'impédance ZT correspond à l'impédance équivalente totale vue du primaire.

Dans certains transformateurs, la modification de spires requiert de mettre l'appareil hors service et de changer manuellement les connexions. Plus généralement, cette modification peut être effectuée en charge c.-à-d. sans interrompre le courant qui parcourt l'enroulement dont on modifie le nombre de spires. Le dispositif correspondant, appelé régleur en charge, comporte un contacteur conçu pour éviter la formation d'arcs électriques (susceptibles d'endommager les contacts) et un moteur électrique pour entraîner ce contacteur.

V1 ZT N1 N2 V2

Figure 12. Modèle simplifié de transformateur.

Si N1 est le nombre de spires côté haute tension et N2 est le nombre de spires côté basse tension, le rapport de transformation M est défini par :

N

M = (15)

1

N 2

La relation entre la tension du côté primaire V1 et la tension du côté secondaire V2 à vide

est :

V V 1

2 = (16)

M

Si la tension du primaire diminue, la tension du secondaire peut être maintenue constante en diminuant le rapport M, c.-à-d. en effectuant un changement de prise du côté primaire. En charge, l'équation (15) n'est plus applicable à cause de l'impédance ramenée au primaire du transformateur ZT, mais le principe de fonctionnement reste le même (Andersson, 2006).

La figure (13) représente le schéma équivalent en ð du transformateur sans circuit magnétique (Milano, 2005). Dans notre étude, les régleurs en charge ne sont pas modélisés : ainsi le rapport de transformation reste fixe pendant les simulations dynamiques. Toutefois, nous en tenons compte lors du calcul d'écoulement de puissance, de manière à ce que les tensions restent dans leurs limites autorisées et que la convergence de l'algorithme de l'écoulement de puissance reste assurée (Tolba, 2005).

1. 3. 2. 2. 2- Modèle des lignes de transmission.

Les réseaux de transport assurent la liaison entre les centres de production et les zones de consommation. Ils permettent aussi d'échanger de la puissance à travers les lignes d'interconnexion, entre pays ou grandes zones relevant de gestionnaires de réseaux différents (Bornard et al., 2005).

Les modèles des lignes de transmission utilisés dans l'analyse dynamique des réseaux électriques sont habituellement classés en trois groupes, en fonction des longueurs des lignes, (longues, moyennes, courtes) (Sauer et al., 1998). Compte tenu des longueurs et de la fréquence de fonctionnement, typiquement 50-60 Hz, une ligne de transmission se caractérise par un modèle à constantes localisées (les phénomènes de propagation sont négligés car L << ë / 2ð, où ë est la longueur d'onde associée à la fréquence f). La structure la plus

employée pour ce modèle est le schéma équivalent en ð, figure (14). Il se caractérise par trois paramètres principaux (Kundur, 1994) :

- une résistance série R.

- une réactance constituée d'une inductance de série L due au couplage par champ magnétique entre les conducteurs.

- une capacité de shunt C due au couplage par champ électrique entre les conducteurs.

V1 Z / M V2

(1-M) / Z M (M-1) / Z

Figure 13. Modèle en ð du transformateur.
V1 R jX V2

B / 2 B / 2

Figure 14. Modèle en ð d'une ligne de transmission. 1.3.2.3- Modèle des charges.

La charge représente :

- soit une charge matérielle réelle

- soit l'impédance d'entrée équivalente d'un système de puissance, non explicitement représenté dans le modèle du système.

En conséquence, lorsque les systèmes de puissance sont analysés, seuls les réseaux et les sous-réseaux de transport sont modélisés, tandis que les réseaux de distribution ne le sont habituellement pas : ils sont simplement remplacés par des charges équivalentes. Pour l'analyse de la stabilité, chaque charge représente habituellement une partie relativement importante du système comportant typiquement des réseaux de distribution de basse et moyenne tension, de faibles sources d'énergie fonctionnant au niveau de la distribution, les régulateurs de tension de distribution, ... . Elle inclut également les différentes charges réelles tels les moteurs, les éclairages et les appareils électriques (Machowski et al., 1998).

Les caractéristiques des charges ont une influence importante sur la stabilité et la dynamique du système. En raison de la complexité et la variation continuelle des charges et de la difficulté d'obtenir des données précises sur leurs caractéristiques, une modélisation précise des charges est très difficile. Ainsi, des simplifications sont indispensables selon le but de l'étude demandée. Pour les études de stabilité dans lesquelles la gamme de temps considérée est de l'ordre de 10 secondes après la perturbation, les modèles de charges les plus utilisés sont généralement des modèles statiques. Le caractère statique est lié à la description de la charge par des équations purement algébriques (Andersson, 2004).

Soit un noeud de tension VL, auquel une charge consommant une puissance PL + jQL est reliée. Cette charge peut être représentée par des admittances statiques GL = PL/ VL2 et BL = QL/ VL 2 comme le montre la figure (15), (Custem, 2002, I).

VL

PL , QL

GL

- jBL

Figure 15. Modélisation d'une charge par son admittance équivalente.

L'admittance équivalente de charge est calculée après avoir déterminé les données nécessaires de l'étude de l'écoulement de puissance :

P Q

Y = - (17)

L L

L V

j

V 2 2

L L

1.3.2.4- Mise en équations du réseau de transport.

L'établissement du modèle généralisé du réseau de transport et des charges implique de déterminer les équations algébriques représentant les interconnexions entre les circuits des générateurs et l'ensemble des transformateurs, des lignes de transmission et des charges du

système. Le problème est ainsi de déterminer et de mettre en équations le fonctionnement du macro-modèle du réseau de transport. Le réseau électrique peut être décrit sous la forme matricielle suivante :

[I]=[Y]·[V] (18)

Où : [I] : le vecteur des courants injectés aux noeuds du réseau.

[V] : le vecteur des tensions aux noeuds du réseau.

[Y] : la matrice d'admittance du réseau de transport.

Les simplifications du réseau de transport permettent d'utiliser les modèles d'éléments du réseau précédent à savoir :

- les transformateurs, représentés par un schéma équivalent en ð.

- les lignes de transmission, représentés également par un schéma équivalent en ð.

Ces différents schémas en ð sont assemblés conformément à la topologie du réseau. A cet ensemble, nous ajoutons les admittances shunt représentant les charges ainsi que les réactances provenant des machines (Custem, 2002, II).

Commençons par la "construction" de la matrice admittance [Y]. Cette matrice se compose de termes diagonaux [Y] ii et des termes non-diagonaux [Y] ij , (Custem, 2002, I) :

- les termes [Y] ii , (self admittance), représentent la somme de toutes les admittances

connectées aux noeuds i.

- les termes [Y] ij , (l'admittance mutuelle), représentent la somme de toutes les

admittances joignant les noeuds i et j, au signe près.

Partant de l'idée que tous les noeuds du réseau sauf les noeuds internes des générateurs n'ont pas d'injection de courant, le principe de la méthode de Kron peut ainsi être appliqué pour la réduction du réseau (Arthur R. Bergen et al., 2000).

Sachant que la somme de tous les courants dans chaque noeud de charge vaut zéro, les noeuds des charges dans l'équation (18) peuvent donc être éliminés. L'équation (18) s'écrit alors comme suit (Yu, 1983) :

? ?

? ?

=

? ?

? ?

? ?

L

? ? ?

??

In

0

Y Y

nn nr

M

Yrn

L L L

M

Yrr

?

?

?

? ?

·

? ? ?

??

L

V n

Vr

? ? ?

? ?

(19)

Où : n : l'indice des noeuds de générateurs.
r : l'indice des noeuds restants.

m : l'indice de tous les noeuds du réseau.

En décomposant l'équation matricielle (19), nous obtenons le système d'équations suivant :

· [ V r ]

(20)

[ ] [ ] [ ] [ ]

I Y V Y

n nn n nr

= · +

·

[ ] [ ]

+

0

]

· [ V n

Y V

rr r

[ ]

Y rn

Ce système d'équations peut être reformulé comme suit :

[ ] [ ] [ ] [ ] 1 [ ]

Y bus = Y nn - Y nr · Y rr - · Y rn (22)

Où : [Ybus ] est la matrice d'admittance réduite du réseau électrique, car la dimension de cette matrice a été ramenée de m×m à n×n.

En introduisant l'équation (8) dans l'équation (21), nous obtenons :

[ ] [ ] [ [ ][ ] [ ][ ][ ]]

I Y E e j X X I e

= · + -

' '

j ä j ä (23)

m q d q q

Avec : [ ] 1

[ ] [ ] 1 [ ' ] -

Y m = Y bus - + j X d (24)

Où [ ] [ ] [ ]

Y m = Y m e représente la matrice de l'admittance totale du réseau électrique

réduit.

Le courant de la ième machine du réseau à n machines s'écrit dans le référentiel (D-Q) comme suit :

Ii

n

j â ij

?= Y e

mij

j 1

( )

' ä ( ' ) ä

j

E e j X X I e

j j

j

+ -

qj dj qj qj

(25)

y compris le terme j = i.

Dans le référentiel (d-q)i de la ième machine, cette dernière équation devient :

n

I I e Y e jE X X I

- - ° +

= = + -

j ä â ä

( 90 ) ( ) ' '

i ij ij

?= ( )

j

qj qj dj qj

( )

dqi i mij

j 1

(26)

Avec ä ij = ä j- ä i

En décomposant l'équation (26), nous obtenons les expressions du courant de la ième machine suivant les axes direct et en quadrature :

n

Idi

Y mij

?

Re( )

I dqi

1

j

n

Iqi

Y mij

?

Im( )

I dqi

1

j

( )

- + -

S E X X C I

' '

ij qj qj dj ij qj

(27)

( )

( )

C E X X S I

' '

ij qj qj dj ij qj

+ -

( )

= +

cos( )

â ä

ij ij

=

sin

(â ä ij ij

+

)

Avec :

C ij
S ij

(28)

L'ensemble de ces équations de courants complété par les équations de tension correspondantes (6) des machines, représente les équations de la partie algébrique du modèle d'état général présenté ultérieurement.

1.3.3- Les équations d'état généralisé du modèle.

Comme nous l'avons présenté dans la première partie de ce chapitre, un système de puissance est un système dynamique non-linéaire, qui peut être décrit par un ensemble d'équations différentielles ordinaires non-linéaires couplées du premier ordre et un ensemble

d'équations algébriques, où les formes générales de ces ensembles d'équations différentielles et algébriques peuvent être exprimées comme suit :

x i f i x x x n i n

& K K

= =

( 1 , 2 , , ) ; 1,2, ,(29)

0 ( 1 , 2 , , )

= K

h j x x x m

; 1,2, ,

j m

= K(30)

Les équations différentielles correspondent aux fonctionnements dynamiques des générateurs, des systèmes d'excitation et des autres éléments du système. Les équations algébriques correspondent aux équations des réseaux de transport et des stators des générateurs. La solution de ces deux groupes d'équations détermine l'état électromécanique du système à chaque instant.

Nous rappelons ci-dessous les équations décrivant le modèle déduit du système de puissance :

1

ù& i T T D

= ( ( 1))

mi - ei - i i -

ù (31)

2 H i

ä& i = ù0(ùi -1) (32)

E & = - - -

1 ' '

' ( ( ) )

E E X X I (33)

qi ' fdi qi di di di

T d i

0

E & = - + -

1 ( ( ) )

K V V U E (34)

fd a réf t S fd

T a

T = E ' I + ( X - X ' ) I I (35)

ei qi qi qi di di qi

V di = XqiIqi (36)

qi - X ' di I di (37)

'

V qi = E

V ti = V di +V qi (38)

2 2

?

Idi

))
C I

ij qj

· - ·

( S ij

E X X

' + - '

qj qj dj

(

· ·

n

j

n

1

(39)

· ' + - '

E X X

qj qj dj

(

ij qj

I qi ? · ( C ij j 1

· ·

La figure (16) représente les éléments du modèle du système de puissance avec leurs interactions.

L'approche finale de la modélisation du système de puissance implique une présentation de l'ensemble des équations de ce système sous forme d'équations d'état généralisées comme suit :

x & = f(x, u) (40)

y=g(x,u) (41)

Une telle forme représente un système invariant dans le temps (système autonome). Où :

,

? ? ? ? ? ?

?

1 ?

?

?

?

?

,

?

1 ?

2

n

2

m

&

x1

&

& 2

x

?

x = M

&

xn

? x
? x

x M

= ?

?

? ? x

? u ? f ?

1 ? 1

?u f 2 ? 2 = ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

u M

= , f M

? ? ? ?

? ur ? ? fn ?

? y
? y

y M

= ?

?

? ? y

? g
? g

2

?

1 ?

(42)

g M

= ?

?

m

? ? g

x : vecteur d'état du système de n variables.

x& : vecteur dérivé du vecteur x par rapport au temps.

u : vecteur de r signaux d'entrée du système.

f : vecteur de n fonctions non-linéaires reliant les variables d'état xi et les signaux d'entrée ui aux dérivées des variables d'état x& i .

y : vecteur de m signaux de sortie du système.

g : vecteur de m fonctions non-linéaires reliant les signaux d'entrée ui et les variables d'état xi aux variables de sortie yi.

Turbine &
Gouverneur

Pm

Fm

+

Fe
_

Fa

Efd

Equations de

circuit du rotor

d'excitation &

Equations du

mouvement

Systèm e

AVR

k&

ù&

ä&

k& fd

q

'

Vt

E'q

Equations
de circuit

du stator

Pe

Vd

Vq

Vt

E'q

Vq

Iq

Vd

Id

Equations de

réseau de
transport

ncluant les

charges
statiques

Id

Iq

Figure 16. Digramme de l'ensemble des blocs du système de puissance.

Les variables d'état permettent de décrire complètement l'évolution dynamique du système par n équations différentielles de premier ordre. L'état et la sortie du système peuvent ainsi être calculés, à tout instant, pour des conditions initiales quelconques.

Quand les dérivées des variables d'état x sont égales à zéro, (c.-à-d. x& = 0), le système est à l'équilibre. Ainsi, ce point d'équilibre est le point auquel toutes les variables d'état sont constantes et le fonctionnement du système autour de ce point est dit linéaire. La détermination de modèle linéaire fait l'objet du paragraphe suivant.

1.4- Le modèle linéaire.

1.4.1- Introduction : Linéarisation du modèle.

La quasi-totalité des systèmes dynamiques réels possède des caractéristiques non- linéaires. Le comportement dynamique d'un système de puissance peut être décrit par un ensemble d'équations différentielles et algébriques (EDA). Compte tenu que le système de puissance, évolue généralement autour d'un point de fonctionnement donné lors des petites perturbations, il est possible de linéariser ses équations EDA autour de ce point.

Comme nous l'avons vu précédemment, le point de fonctionnement normal du système se définit comme un point d'équilibre ou une condition initiale. Les dérivées des variables d'état en ce point sont donc égales à zéro. L'équation (40) devient ainsi :

x&0 =f(x0,u0)=0 (43)

Où : x0 est le vecteur des variables d'état correspondantes au point d'équilibre. u0 est le vecteur d'entrée correspondant au point d'équilibre.

Si une petite perturbation se superpose aux valeurs d'équilibre, l'équation (43) s'écrit : x x x f x x u u

& = & + Ä & = + Ä + Ä

0 ( 0 , 0 ) (44)

Puisque ces perturbations sont petites, l'équation (44) peut être développée en série de Taylor limitée aux termes de premier ordre.

Alors, nous obtenons pour chaque variable d'état :

? f f ? i i

(45)

r

?

i i

? f f

x x x f x u

& & & L L

= + Ä = +

0 ( 0 , 0 ) ? Ä + +

x ? Ä +

x ? Ä + +

u ? Ä u

x 1

x n

i i i i 1 n 1

u 1

? ? ? ? u r

Avec : i = 1,2, K , n .

Etant donné que, x & i 0 = f i ( x 0 , u 0 ) = 0 , l'équation précédente peut être mise sous la forme suivante :

? f ? f

i f i ? i i

? f

Ä =

x & L L

? Ä + +

x ? Ä +

x ? Ä + +

u ? Ä u (46)

x x

1 n

i 1 n 1 r

1

u r

? ? ? u ?

? g

?

?

?

Nous pouvons appliquer les mêmes étapes de linéarisation sur l'équation de la sortie (41) :

r (47)

j j

g g j j

g

Ä =

y ? Ä + +

x L 1 L

x

j 1 n

? ? ? ?

x u

1 n 1

u

? Ä +

x ? Ä + +

u ? Ä u

r

Avec : j = 1,2, K , m

Si le système fonctionne avec de petites perturbations au voisinage du point d'équilibre,

? f i

nous pouvons supposer que toutes les dérivées premières (,...) sont constantes dans le

? x i

domaine de fonctionnement.

Par conséquent, le système linéarisé peut être représenté par les deux équations suivantes:

Ä = ? Ä + + ? Ä + ? Ä + + ? Ä =

x a x a x b u b u i n

& L L K (48)

i i in n i ir r

1 1 1 1 , 1,2, ,

Ä = ? Ä + + ? Ä + ? Ä + + ? Ä =

y c x c x d u d u j m

j j jn n j jr r

1 1 1 1 , 1,2, , (49)

L L K

En écrivant ces deux équations sous forme matricielle, nous obtenons le modèle d'état linéaire final suivant :

Äx&=AÄx+BÄu (50)

Äy=CÄx+DÄu (51)

Avec:

1

L

1

1 L

? f ? f

1 1

L

r

? u

?u

M

1

L

M

? f n n

? f

L

r

m m

?g

,

,

? g
? u

M

? u r

?u

1

? u?u

r

A

C

Où:

? f 1 ? f 1

?

?

?

M ?

?

?

? ?

L

? x n

?x1

M L

? f n n

? f

? x

n

L

? x 1

? g 1 1

L ? g

? x ? x 1 n

M

L

M

? g m m

1

? x?x

n

?g

? ? ? ? ? ?

??

B

D

?g

?u

M

?g

?

?

?

?

?

?

??

?

1 ?

?

?

?

?

??

(52)

(53)

A: matrice d'état (n×n).

B : matrice d'entrée (n× r).

C : matrice de sortie (m× n).

D : matrice de contrôle (m× r).

- Le nombre des variables d'état n définit la longueur du vecteur d'état Äx, le nombre de lignes et de colonnes de la matrice A, le nombre de lignes de la matrice B et le nombre des colonnes de la matrice C.

- Le nombre r des variables d'entrées choisies définit la longueur du vecteur d'entrée Äu et le nombre de colonnes des matrices B et D.

- Le nombre des variables de sorties choisies m définit la longueur du vecteur de sortie Äy et le nombre de lignes des matrices C et D.

- La matrice A est appelée matrice d'état ou matrice d'évolution, car elle contient la description du comportement dynamique du système. Elle rend compte aussi de l'évolution du système en régime libre, c.-à-d. à commande nulle.

- La matrice B est appelée matrice de commande ou matrice d'entrée. Elle rend compte du comportement dynamique du système en réponse à une commande.

- La matrice C est appelée matrice d'observation. Elle permet de relier la sortie à l'état.

- La matrice D est enfin appelée matrice d'action directe qui relie directement la

commande à la sortie. Elle est en général nulle dans les systèmes physiques ; le

système est dit "strictement propre" (Allenbach et al., 2005, II).

1.4.2- Application au système de puissance.

Lorsque le système de puissance est soumis aux petites perturbations, les variables d'état du système restent au voisinage de leurs valeurs initiales et la linéarisation du système peut être aisément appliquée (CIGRE, 1999).

Les variables d'état proposées pour notre système de puissance de n machines, représenté par l'ensemble des équations (31) à (34), sont :

x E E

[ , , ' , ] T

Ä = Ä ù Ä ä Ä Ä

i i i qi fdi

, 1, ,

i n

= K

(54)

Le développement du modèle linéaire de notre système, explicité dans l'annexe B, nous donne l'ensemble des équations suivantes :

? n n

1 ? 1

? D K K E '

ù& ù 1 ä

Ä = ? Ä ? ? = Ä ? ? = Ä T (55)

i i i ij j

( ) ( ) ? + Ä

2 ij qj mi

2 H 2 H

i ? j 1 j 1 ? i

Ä ä i = ùù i

& (56)

? ?

'

& 1 ä

n n 1

Ä = ? ? = Ä ? ? = Ä + Ä

E ' ?? ( ) ( E E

K ) ??

qi ' 4 ij j qj fdi

T K

doi ? j 1 3

j 1 ij ?

(57)

? n n ? ai

Ä = ? ? = Ä ? ? = Ä ? Ä

& 1 ä K

? K K K K E E

'

E ? + Ä U (58)

fdi ai ij j

( 5 ) ( )

ai ij qj

6 fdi Si

T T

ai ? j 1 j 1 ? ai

Les constantes de linéarisation K1ij...K6ij sont des matrices carrées d'ordre n. Les valeurs de ces constantes dépendent des paramètres des générateurs, du réseau de transport et des conditions initiales du système. Les éléments diagonaux des matrices des constantes déterminent les propriétés dynamiques des machines, tandis que les éléments non-diagonaux représentent les interactions dynamiques entre les machines (Yu, 1983).

L'ensemble d'équations ci-dessus peut être représenté sous la forme de modèle linéaire correspondant à l'équation (50).

Ce modèle d'état linéaire sera donc utilisé pour analyser la stabilité du système.

1.4.3- Analyse du modèle linéaire. 1.4.3.1- Introduction.

L'analyse des valeurs propres et l'analyse modale du système de puissance linéarisé sont des outils "puissants" pour étudier les propriétés dynamiques du système. L'évaluation précise de la fréquence des oscillations électromécaniques et de l'amortissement de ces oscillations peut être déterminée à partir de l'analyse des valeurs propres ; l'analyse modale permet quant à elle d'obtenir des informations supplémentaires plus approfondies telle la nature des modes (dominants ou non, ...).

1.4.3.2- Valeurs propres.

Après avoir établi le modèle d'état linéaire correspondant à l'équation (47), la caractérisation de la stabilité du système peut se faire à partir de la matrice dynamique A et de ses valeurs propres (première méthode de Lyapunov).

Considérons un système linéaire défini par le modèle d'état (50), (51). En appliquant la transformation de Laplace à ces équations, nous obtenons l'ensemble d'équations suivant dans le domaine fréquentiel complexe :

sÄx(s) = AÄx(s) + BÄu(s) (59)

Äy(s) = CÄx(s) + DÄu(s) (60)

La solution explicite de cet ensemble d'équations est donnée comme suit :

Ä = ? ? Ä + Ä (61)

y ( s ) C ( sI A ) 1 B u ( s ) D u ( s ) Où : I est la matrice d'identité.

Ainsi, la réponse dynamique du système est déterminée par l'équation caractéristique de la matrice d'état A définie par :

det(ë·I-A)=0 (62)

Les valeurs ë qui satisfont l'équation précédente sont appelées les valeurs propres du système. Une valeur propre définit le mouvement du système lié à une fréquence propre.

Une valeur propre -un mode- est caractérisée par une fréquence d'oscillation et un amortissement. Elle est représentée généralement par le nombre complexe suivant :

ë=ó#177; (63)

Cette relation est équivalente à la relation définissant les valeurs propres d'un système du deuxième ordre (Brogan et al., 2000). Par suite :

ë=-ù n æ #177;n 1 - æ (64)

2

Où : ó est la partie réelle de la valeur propre (abscisse de convergence). ù est la pulsation propre d'oscillation (rad/s).

ùn est la pulsation naturelle d'oscillation (rad/s).

æ est le facteur d'amortissement d'oscillation.

Une matrice d'état de dimension n× n est associée à n valeurs propres.

L'analyse des valeurs propres permet d'obtenir tout d'abord la fréquence d'oscillation et le facteur d'amortissement.

La fréquence naturelle d'oscillation est donnée par la relation suivante :

ù

f = (65)

2 ð

Le facteur d'amortissement détermine la décroissance de l'amplitude d'oscillation. Il est donné par :

ó

-

=

(66)

ó 2 ù 2
+

æ

Dans un modèle linéaire, la solution des équations linéaires du système décrit l'évolution exponentielle au cours du temps de la perturbation. Ainsi, cette solution peut être représentée par une combinaison de fonctions d'exponentielles eëit représentant les caractéristiques

temporelles associées à chaque valeur propre ëi. Les constantes de temps ô = 1/ói caractérisent de façon générale l'amortissement du système.

L'interprétation physique des signaux correspondants aux fonctions de la forme eëit est simple. Elle est illustrée par la figure (17) qui représente dans le plan complexe l'allure des variations de tels signaux en fonction du temps, suivant la position du point représentatif de ëi.

t

t

t

t

ó

t

t

Figure 17. Analyse par lieu des pôles de la stabilité d'un système.

- Une valeur propre réelle correspond un mode non-oscillatoire. Si la valeur propre réelle est négative, les exponentielles apparaissant dans la réponse temporelle sont des fonctions décroissantes du temps. La rapidité de décroissance est liée à la constante de temps d'amortissement. Plus la valeur de l'abscisse de convergence ó est grande, plus la constante de temps est faible et l'amortissement rapide.

- Par contre, si la valeur propre réelle est positive, le mode présente une instabilité apériodique.

- En revanche, les valeurs propres complexes, en paires conjuguées, correspondent aux modes oscillatoires. Le mode oscillatoire peut être divergent, c.-à-d. instable, si la partie réelle de la valeur propre est positive, il est au contraire amorti, c.-à-d. stable, si la partie réelle est négative.

Cette analyse révèle qu'il est possible de déterminer la nature (stable ou instable) d'un système linéaire à partir d'une "inspection" de la position des pôles de la fonction de transfert du système dans le plan complexe. En outre, la connaissance de la position des pôles peut fournir des renseignements sur le comportement du système lors de régimes transitoires typiques tels que la réponse à une impulsion, à un échelon, ... .

Des modes instables ou mal amortis peuvent être dominants : leurs contributions déterminent alors l'allure de la réponse temporelle globale du système.

Dans les réseaux électriques, il est évidemment nécessaire que tous les modes du système soient stables c.-à-d. placés dans la partie gauche du plan complexe.

1.4.3.3- Analyse modale.

Comme nous l'avons vu, les valeurs propres du système déterminent les caractéristiques dynamiques du système (fréquences et facteurs d'amortissement) ainsi que l'état de stabilité du système.

L'analyse des vecteurs propres, qui découle de l'analyse des valeurs propres, peut aussi fournir d'autres informations importantes.

Lorsqu'une instabilité ou un mode mal amorti prend naissance dans un système de puissance, il est très intéressant d'examiner les points suivants (Custem, 2002, I; Breulmann et al., 2000) :

- les variables d'état liées aux modes dominants.

- les éléments du système permettant d'agir efficacement pour le stabiliser. - les groupes cohérents de générateurs présentant des oscillations couplées. - les signaux les plus efficaces à appliquer aux contrôleurs.

- les paramètres des contrôleurs réalisant un "meilleur" amortissement.

L'analyse modale présentée par la suite concerne les vecteurs propres, les facteurs de participation et les résidus.

1.4.3.3.1- Vecteurs propres.

Le modèle linéaire d'un système de puissance peut être représenté, comme nous l'avons déjà expliqué, par un modèle d'état décrit par l'équation (50). Les vecteurs propres, à droite et à gauche, de la matrice d'état du système peuvent être calculés par les équations suivantes :

A? i = i ë? i (67)

ø i A= i ëø i (68)

Où : ëi est une ième valeur propre (toutes les valeurs propres étant supposées distinctes). öi est le ième vecteur propre à droite associé à ëi.

øi est le ième vecteur propre à gauche associé à ëi.

Pour une matrice d'état de dimension nx n, le vecteur propre à droite est un vecteur colonne de dimension nx 1, tandis que le vecteur propre à gauche est un vecteur ligne de dimension 1x n. Les deux vecteurs sont définis comme suit :

? ?1i

? ? ?2i

? M

=

i ?

? ? ?ni

?

?

?

?

?

?

, øi = [ø1i ø2i L ø n i ] (69)

La relation caractéristique entre les vecteurs propres à droite et à gauche est déterminée par leur produit matriciel. Le produit matriciel entre deux vecteurs propres, à droite et à

gauche, associés à deux valeurs propres différentes vaut zéro. Par contre, lorsque les deux vecteurs propres correspondent à la même valeur propre, leur produit matriciel normalisé vaut 1. Ces propriétés peuvent se résumer de la façon suivante :

?? 0 ; i j

?

ø ? (70)

i j 1 ;

= i j

? =

L'ensemble des vecteurs propres à droite du système forme la matrice modale à droite, donnée comme suit :

Ö = [ ? 1 L ? i L? n ] (71)

De même, la matrice modale à gauche est formée des vecteurs propres à gauche :

Ø = ø 1 T L ø L ø

[ ]T

T T

i n (72)

Le vecteur propre à droite, q'i, montre l'influence relative de chaque variable d'état dans un mode excité donné. Ainsi, pour un vecteur propre à droite complexe, l'amplitude relative des éléments du vecteur indique le degré de participation des variables d'état au mode considéré. Quant à la phase des éléments du vecteur, elle donne le déphasage des variables d'état dans le mode donné.

En ce qui concerne le vecteur propre à gauche, Ji, il détermine l'ensemble des variables d'état participant relativement à la composition du ième mode. Il indique également la contribution de chaque variable d'état dans l'évolution du mode considéré.

Dans le plan complexe, le diagramme représentant les composantes d'un vecteur propre à droite, q'i, relatives aux différentes variables d'état est appelé le "mode shape" (Custem, 2002, II). Dans un système de puissance multimachines, le mode shape indique la façon dont les générateurs oscillent les uns par rapport aux autres, les deux cas limites étant les oscillations cohérentes et les oscillations en opposition de phase (Bragasson, 2005). Ainsi, les modes shapes du système peuvent identifier les groupes cohérents des générateurs. En outre, le mode shape peut confirmer le type de chaque mode. (Local ou interrégional).

1. 4.3. 3.2- Facteur de participation.

L'approche standard, habituellement employée pour évaluer la participation d'une variable d'état xk dans le ième mode, étudie les éléments correspondants du vecteur propre à droite q'i. Bien que cette méthode soit simple à employer, elle présente un défaut très sérieux, à savoir les valeurs numériques des éléments des vecteurs propres à droite dépendent des unités des variables d'état correspondantes. Il est donc difficile de comparer les valeurs obtenues pour des variables d'état différentes. Par conséquent cette méthode est seulement exploitable pour des variables d'état ayant les mêmes unités et jouant les mêmes rôles (PérezArriaga, 1981).

Rappelons qu'un vecteur propre à droite q'i mesure l'influence relative de chaque variable d'état xk dans un ième mode et qu'un vecteur propre à gauche Ji indique la contribution de l'activité de xk dans le ième mode. Par conséquent, une "quantité" caractéristique d'un mode donné peut être obtenue par produit, élément par élément, d'un vecteur propre à droite et d'un vecteur propre à gauche correspondant. Cette quantité, appelée le facteur de participation, est calculée par la relation suivante :

Ainsi, le facteur de participation peut fournir des informations fines sur le problème : il représente une mesure relative de la participation de la kème variable d'état dans le ième mode, et vice versa (Hsu et al., 1987; Kundur, 1994).

Etant donné que les matrices modales, à droite et à gauche, Ö et Ø sont inverses, le facteur de participation est donc une grandeur sans dimension. Ceci veut dire que le facteur de participation, au contraire du vecteur propre à droite, est indépendant des unités des variables d'état.

Les facteurs de participation peuvent être regroupés dans une matrice, appelée matrice de participation P telle que :

Ñ = [ p 1p2 L pi L p n ] (74)

Avec :

M

ö ø

ni in

M ?

?

?

p1 i

Ñi

p2 i

pni

ö1

ö2

ø ii

ø ii

?

1 ?

2

(75)

?

?

?

?

Dans la matrice de participation P, comme le montre l'équation (76), la jème colonne indique comment un jème mode participe relativement à l'évolution des variables d'état du système tandis que la ième ligne indique comment les différents modes participent relativement à l'évolution de la ième variable d'état (Custem, 2002, II).

p1

m

x1

M

M (76)

?

?

?

?

?

?

M

p11

L L

O

O

M

Ñi

O

O

M

M

p p

n nm

L L

1

xn

ë L L 1

ëm

Une autre propriété intéressante du facteur de participation pij s'interprète souvent comme la sensibilité du jème mode aux changements des termes diagonaux aii de la matrice d'état du système A, (Van Ness et al., 1994).

Pour les études de stabilité aux petites perturbations, l'influence d'une source d'amortissement appliqué à un générateur peut être déterminée par les facteurs de participation, comme suit (Rogers, 2000) :

- si, pour n'importe quel mode, le facteur de participation correspondant à la vitesse du générateur est nul, l'introduction d'une source d'amortissement au générateur n'aura aucun effet sur le mode.

- si le facteur de participation est réel positif, l'ajout d'amortissement à ce générateur augmentera l'amortissement du mode.

- en revanche, si le facteur de participation est réel négatif, l'amortissement ajouté au générateur réduira l'amortissement du mode.

En outre, les facteurs de participation, par leur propriété de pouvoir déterminer les variables d'état responsables des modes indésirables, peuvent être employés pour trouver les points les plus efficaces pour installer des contrôleurs de stabilisation.

La matrice de participation peut montrer aisément les variables d'état les plus impliquées dans le mode indésirable : les termes de la matrice P de plus grande amplitude de la colonne relative au mode considéré indiqueront la participation en question.

1.4.3.3.3- Résidus.

L'efficacité du signal d'entrée d'un contrôleur de stabilisation ou l'emplacement optimal de ce dernier dans un système de puissance multimachines peuvent être identifiés par la méthode des résidus. Cette méthode est dérivée de la relation entre la fonction de transfert et le modèle d'état.

Le modèle d'état d'un système représente à la fois les propriétés d'entrée/sortie du système et le comportement interne du système. A l'inverse, la fonction de transfert du système ne concerne que la relation entrée-sortie du système.

Pour déterminer la relation entre la fonction de transfert et le modèle d'état, nous prenons les équations (50) et (51) pour un système monovariable (Single Input- Single Output system), et nous considérons la fonction de transfert entre les variables y et u.

Supposons que D = 0, les équations d'état s'écrivent comme suit :

Äx&=AÄx+BÄu (77)

Äy=CÄx (78)

y s

La fonction de transfert Ä s'écrit de la façon suivante :

( )

Ä u s

( )

(79)

( ) -

Ä y s

( )

G s C sI A B

1

= = -

( )

Ä u s

( )

Pour un système en boucle ouverte, la fonction G(s) peut être décomposée en éléments simples comme suit :

n n

R R R R R

1 2 n i

G s

( ) = + + +

L = ? ?

i = (80)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s s

- s s

- s s

- = = -

s s

-

n i i i ë i

s

1 2 1 1

Où :

s : l'opérateur de Laplace.

s1, s2, ...,sn : les pôles de G(s) - les valeurs propres du système-. Ri : le résidu de G(s) au pôle si.

Le résidu peut s'exprimer par la relation suivante (Kundur, 1994):

R i =C Ö i Ø i B (81)

D'après cette relation, nous remarquons que le résidu Ri pour un mode ëi donné mesure la sensibilité de ce mode à un signal de contre-réaction sortie-entrée. Ainsi, les résidus peuvent déterminer les modes les plus affectés par un signal de retour.

La figure (18) montre un système G(s) équipé d'un contrôleur en contre-réaction de fonction de transfert H(s).

Système

u(s) +

-

G(s)

H(s)

Régulateur

y(s)

Figure 18. L'ensemble système-contrôleur en boucle fermée.

Lorsqu'on ferme la boucle par un régulateur H(s), les valeurs propres du système initial G(s) vont se déplacer. Le déplacement de ces valeurs propres peut être calculé par l'équation suivante (Aboul-Ela et al., 1996) :

Äë i = RiH(ë i ) (82)

Cette équation montre que le déplacement des valeurs propres, créé par le contrôleur, est proportionnel aux amplitudes des résidus correspondants.

Pour un système multivariables, l'influence du même contrôleur H(s), (sans se soucier de sa structure et de ses paramètres) peut être étudiée en différents emplacements. Si le résidu, associé à un mode ëi donné, est calculé pour chaque emplacement, le résidu le plus élevé indique donc l'emplacement le plus efficace du contrôleur (Pagola et al., 1989). De même, en changeant le signal d'entrée du contrôleur, différentes valeurs des résidus vont être obtenues. Par conséquent, le résidu le plus élevé indique le signal d'entrée le plus efficace.

1.5- Conclusion.

Dans ce chapitre, nous avons présenté la modélisation du système de puissance pour les études de la stabilité aux petites perturbations. Nous avons aussi présenté la linéarisation du système avec l'analyse modale du modèle linéaire du système. Les points d'étude principaux de ce chapitre sont présentés ci-dessous :

- Le modèle choisi pour chaque machine synchrone du système est du troisième ordre. Les équations différentielles de la machine sont décrites par les trois variables d'état : ä, ù et E'q. Ce modèle convient bien pour les études de stabilité angulaire aux petites perturbations.

- Le système d'excitation et la turbine et leurs régulateurs sont aussi modélisés.

- Le modèle généralisé du réseau de transport et des charges est déterminé. Dans ce modèle, les circuits de stators des machines, les transformateurs, les lignes de transmission et les charges sont représentées sous forme d'équations algébriques.

- le système est représenté par un ensemble d'équations, couplées, différentielles et algébriques. Ce modèle décrit le comportement non-linéaire du système de puissance.

- Le système de puissance est souvent soumis à des petites perturbations qui se produisent continuellement sous l'influence de faibles variations de charges et des sources. Ces perturbations sont considérées comme suffisamment petites pour permettre de linéariser les équations du modèle général du système. La représentation d'état du système est ensuite déduite.

- La stabilité du système est uniquement définie par le lieu des pôles, dans le plan complexe, de sa fonction de transfert.

- L'analyse modale du système donne des informations importantes concernant les caractéristiques des modes d'oscillations, les variables d'état participant à l'évolution de ces modes, ... .

Après avoir enfin présenté les modèles linéaire et non-linéaire du système, nous présentons dans le chapitre suivant les différents types de stabilité du système de puissance et plus particulièrement la stabilité angulaire aux petites perturbations objet de notre travail.

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