Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

2.2.2 Donnée dans S(I1N)

Theoreme 2.2.2 Si g E 5¹(11e), alors la solution u du probleme (1.1) appartient a C^°°(R, S(118^N)), et elle est donnée par la formule

u(t, x) = (27)^-Ni e^i4-itz2§(~)ck (1.8)

R^N

Demonstration. Par (1.2) on a ut = (e^-ite§), et comme g E S(118^N) on aura g^{^} E S(R^N) et e^-it1.12§E S(R^N), d'ofi ut E S(R^N).

Montrons que ut vérifie (1.8), on a

rat = F (C^ite §) = (27)-N i ei4e-ite §()4 = (27) N i e §()ck

R^N R^N

D'autre part l'application (t, x) 7--! ut(x) = u(t, x) est C^°° sur R x R^N, on a Va, ~ E N^N, Vx E R^N

x^aDlu(t, x) = (27)^-N xa i 11¹³ e^j4e^-ite§()d

R^N

= (27)^-Ni D ~(eⁱ⁴)e^-ite 11 §()ck

RN

= (27)^-Ni eix~ (--N) [ C^ite 11¹³ §()]ck

RN

i= eⁱ⁴1³_0,0(t, )e^itjj2§()c

R^N

On /³₀,s est un polynome en (t, ). D'apres le théoreme de la convergence dominée; Si

to --> to, alors sup xER

x^aD1 (u(tn, x) -- u(to,x))1 --p 0. On montre de la même maniere

que pour tout k 2 N, Oⁱ_t^'u 2 C^° (R,S(R^N)).

Par conséquent, ut 2 C^""(R, (11e)).

2.2.3 Donnée dans Hs(RN)

Theoreme 2.2.3 Soit s 2 R, si g 2 H^s(R^N) alors la solution u du probleme (1.1) appartient a C^°(R_; 1⁸(1^N)), Vk 2 N,

(u^(k)

t ) 2 C^°([, H^8-2k(R^N))

de plus

{

IlUtI1H.(RN) = kgkH^s(R^N ) , Vt 2 R

M^ulk)M

(1.9)

< ) ,Vt 2 R, Vk 2 N^*

H.-²k(RN)

Demonstration. Montrons d'abord (1.9). D'apres la formule (1.2) , on a

rat=e ~itj~j2^g; pour tout t 2 R. Comme g 2 H⁸(1R^N), g est une fonction mesurable, donc fit l'est aussi.

112 IlUtIlHs(RN) = I R^N

(1 + 11^2)^8 e-ite ()r =I R^N

(1 + 11^2)^8 1^ ()1^2 ck

Ilut11²H.(RN) = Mg11²H.(RN) , pour tout t 2 R

D'autre part ul^k) = F ((^--i0^k e^-ite , donc 9 ck > 0 tel que

~ ~ I 2 ~u ~ (k) ~ ~ = ^tH^s-2k(R^N) RN

(1 + 112)8-2k (-i~)2k ()^2 ck

< Ck I (1 + 11²)⁸j^{^}g ()j² d = kgk2 H^s(R^N )

R^N

D'on (1.9) est vérifiée.

Soit t_o une suite qui converge vers to dans R, on a

- UtiiHs (RN) = I (1 + 11²)^.9e^-ztnl~^l2-- e-ihe 2 I9 ()1² d

R^N

D'apres le théoreme de la convergence dominée on aura Ilut_n - ut11²_/N_RN) -> 0 lorsque t_n -> to.

c.a.d u 2 0(118,1/⁸(118^N)).

de meme

~ ~ulk)21,8_2k(RN) .1 (1 + ₁₁2₎.9-2k (--io2k - e-ito10 ₂ 1§ (012 d

RN

~ ~ 2

~

Donc _~u^(k) ~ _u(k) ~ ~ ! 0 lorsque t_n ! t0_; ce qui implique

t_n t

Hs 2k(RN)

(u^(k) t ) 2 C^°(118, B^8-2k(R^N)), Vk 2 N.