I.2.3 Fonction d'autocorrélation
La fonction d'autocorrélation de retard h : p
(h) ; Vh E Z, d'un processus du second
ordre, faiblement stationnaire de moyenne p = E(X t
) et de variance Var(X t ) = y(0);
notée p(h) est définie par :
( , ) ( )
Cov X X h
h y
= = Vh E Z
t t h
-
p ( )
O O y (0)
X X
t t h
-
Il est facile de vérifier que la fonction
d'autocorrélation satisfait les deux propriétés suivantes,
qui découlent directement des deux propriétés
a) et b) de la fonction d'autocovariance.
Propriétés
1) p(-h)=p(h) ; VhE
Z..
Donc on peut dans la pratique se restreindre aux
autocorrélations pour h =0: p(0) =1 VhE
Z.
? Autocorrélation empirique
L'estimateur de la fonction d'autocorrélation,
pà(h) est obtenu en remplaçant, dans
l'expression de p (h), y (0) et y
(h) par leurs estimateurs yà(0)
etyà(h) , respectivement. En effet, on a :
à ( ) ( )
p
h y à h
= VhEZ.
( )
y à 0
Ce qui peut s'écrire, en tenant compte de la
définition de l'estimateur empirique de la fonction d'autocovariance,
sous la forme explicite suivante :
=
T T h
-
y $( )
h
p u( )
h = y $( )
0
( )( )
X X X X
t t h
- -
-
?
T
? ( )
X X
t -
2
Vh
cents
E
,
t
t h
-
1
t = 1
Fonction d' autocorrélation partielle
Elle mesure la corrélation entre X t
et Xt-h , l'influence des variables
Xt-h+ i , ayant été retirée.
Soit la matrice des corrélations symétriques formées des
(h-1) premières autocorrélations.
1
. P h
-
P1
.
hE .
P h
=
1 1
?
. P h 2
- ?
1 ]
P1
1
1
.
P P
h 1 h 2
- -
P h *
P hh = P h
La fonction d'autocorrélation partielle est donnée
par :
La fonction P h * est le déterminant de la
matrice P h * obtenue à partir de P h ,
en
remplaçant la dernière colonne de celle-ci par le
vecteur (P1,.. .,Ph) ainsi :
P*
h
? 1 ...
P P ?
1 1
? ?
P P
1 ...
? 1 2 ?
? . ?
? ?
.
? ?
? ?
? ?
? ?
? P P
...
h - 1 h ?
On peut se passer de ce calcul matriciel qui n'est souvent pas
facile à faire ; pour cela on a recours à une écriture
récurrente de Pii tel que :
? P si i = 1
1
? i - 1
? P P P
i i j i j
- ? - -
1 ,
Pii
= ? j = 1
i 1
i h
= 2 , ,
?
1
P P
i j j
- 1 ,
? - ?
j
? ? = 1
Avec P ij P i j P ii P i i j j
i
= - - - - = -
1 , 1 , , 1, . . . , 1 et i = 2,..., h .
Cet algorithme résolvant les équations de
Yule-Walker de manière récursive est appelé algorithme de
Durbin (1960).
Remarques
1. La représentation graphique de p (h)
est appelée : corrélogramme.
2. Si p(h) décroît rapidement
quand le nombre de retard augmente, cela signifie que la série est
stationnaire, sinon elle est sans doute non stationnaire ou de mémoire
longue.
I.2.5 Opérateurs
· Opérateurs retard
(Backward)
L'opérateur retard est un opérateur
linéaire noté B, tel que : BX t = X t
-1.
· Opérateurs avance (Forward)
Par analogie, l'opérateur d'avance, noté F est
tel que : F X t = X t ? 1.
Propriétés
1- Ces opérateurs sont inversibles tels que : -1 -1
F = B et B= F.
2- -
B X t = X t net FX t = X t
? n
n n
n n
3- () a B i
i
|
X a X _
= Cette égalité décrit l'action sur le
processus { Xt , t Ecents } d'un
t i t i
|
|
i i
= =
1 1
polynôme en B, on peut évidemment
déduire celui en F.
4- Ces opérateurs ont des propriétés qui
permettent de les manipuler comme des séries entières
habituelles, en particulier, on peut les sommer ou les composer entre eux.
? Opérateur de différence
ordinaire
On note V opérateur de différence ordinaire
associé à un processus { Xt , tE
cents } tel que :
VX = X X = B X t
t t -
t -1 (1 - ) .
On définit le ème
dopérateur de différence ordinaire par : (1- )
V X t = B X t
d d
· Opérateur de différence
saisonnière On note VS l'opérateur de
différence saisonnière associé à un processus {
Xt , t E cents } tel que :
VX = B X t = X t X t s
(1 - ) - - .
S
S t
On définit le ème
D opérateur de différence
saisonnière par : (1 )
V S X t = -- B X t
D S D
I.3 Classe des modèles ARMA
I.3.1 Processus autorégressif d'ordre p AR
(p)
a- Définition
Le processus( t ) t
X satisfait à une représentation AR
d'ordre p, noté AR(p), s'il est solution
de l'équation aux différences stochastique suivante
:
p
e X ? X ?
t t j t j
= ??
j ? 1
Ou encore
e t =b(B)X t Avec
2
? B ? ? ? B ? ? B -- -- çb
p B et q5 p ?
( ) 1 1 2 ... pE .
Où qi (B) représente le
polynôme de retard et et est un bruit blanc de
moyenne nulle et de variance 2
c7e .
b- Théorème (condition de
stationnarité)
Une condition nécessaire et suffisante pour que le
processus autorégressif soit stationnaire du second ordre est que les
racines de l'équation caractéristique suivante
q(Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle
unitaire.
c- Caractéristiques d'un processus AR
(p)
- Le corrélogramme simple est caractérisé
par une décroissance géométrique de ses termes. - Le
corrélogramme partiel à ses seuls p premières termes
différents de zéro.
Remarque
On peut ajouter au modèle une constante qui ne modifie pas
ses caractéristiques stochastiques et qui peut être utile pour
expliquer quelques phénomènes économiques.
Cas particulier : soit le processus stationnaire
AR (1) : X t = ?X t ? 1 + e
t
Ce processus est dit processus de Markov car l'observation
Xt dépend seulement de l'observation
précédente Xt ? 1 .
d- Les équations de Yule-Walker
Soit le processus autorégressif stationnaire d'ordre p
suivant:
p
... (I), avec et bruit blanc de variance
notée 2
o-e .
X ? X -- e
t i t i t
= ? +
i = 1
En multipliant (I) par X t on obtient : 2
X t
mathématique, on aura :
p
et en prenant l'espérance
= ? +
q5 X -- X e X
i t i t t t
i = 1
p
E X y ? y i ? e
? ? = = ?
? ? ?
2 2
( ) ( )
0
t i
i = 1
D'où :
?e 2
y ( )
0
p
1 --?
? p
i
( )
i
i = 1
En multipliant maintenant (I) par X t -- h ,
h > 0 et prenant l'espérance, ensuite divisant par
p
y (0), on obtient :
En écrivant cette équation pour h =
1,...., p on
p h q5 p h i h
( ) ( ), 0.
= ? -- ? ?
i
i = 1
obtient les équations dites de Yule-Walker suivantes:
1 (1) (2) . . ( 1)
p p p p --
p p p p
(2) (1) 1 (1) . . ( 2)
? p --
. .
= ? .
? ?
p (1)
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
.
? ?
? ?
p ( )
p
?
? ?
1
?
. ?
?
. ?
?
?
? 2 ?
?
? ?
. . ?
? -- ? ?
? p ( p 1) . . . (1) 1 p
p ?
? ?
I.3.2 Processus moyenne mobile d'ordre q
(Moving Average) MA (q) a-
Définition
Le processus{ Xt , t cents }
satisfait à une représentation moyenne mobile d'ordre q,
noté : MA(q), s'il est solution de
l'équation aux différences stochastique suivante :
q
X e ? e --
t t j t j
= +?
j 1
En introduisant le polynôme de retard nous obtenons
X t =O(B) e t Où ( ) 1
1 et
? B O B O q B O J ?
= + + ...+ E
q
et est un bruit blanc de moyenne nulle et de
variance 2
ae .
Remarque
Le modèle moyenne mobile d'ordre q (MA (q)),
explique la valeur de la série à l'instant t par une moyenne
pondérée d'aléas et , jusqu'à
la qéme période qui sont
supposés être générés par un processus de
type bruit blanc.
b- Théorème (condition
d'inversibilité)
Une condition nécessaire et suffisante pour que le
processus moyenne mobile soit inversible est que les racines de
l'équation caractéristique suivante : o(Z) = 0
soient à l'extérieur du cercle unitaire.
Soit le processus MA(1) : X t = oe t ?
1 + e t
1 o Z 0
-- =
=:Z
Z
> =::
1
o < 1
1
= =
o
c- Caractéristiques d'un processus MA
(q)
Un processus moyenne mobile d'ordre q est toujours stationnaire,
car il est une combinaison linéaire finie d'un processus
stationnaire{et , tE cents }.
Pour le corrélogramme simple seuls ses q premiers termes
sont différents de zéro. La fonction d'autocorrélation est
dite tronquée au-delà du ié m e
qretard puisque la fonction
d'autocorrélation est définie par :
q
=
?
?
??
? ? ??
P o
k ?
0 pour k > q
?
qk?
i
?
0
i
?
o i o i k
+
0
i
2
pour k=0,...,q
Le corrélogramme partiel est caractérisé par
une décroissance exponentielle de ses termes.
Remarques
1- Un processus autorégressif est toujours inversible.
2- Il y a équivalence ente processus MA (1) et processus
AR (p) avec p infini. I.3.3 Processus autorégressif moyenne
mobile d'ordre (p, q) ARMA (p, q) a- Définition
Le processus ARMA (p, q) est généré
par une combinaison des valeurs passées et des erreurs passées et
présentes; on l'exprime par l'équation :
q5(B)X t = o (B) e t
Avec :
{et, t e T} : est un bruit
blanc de variance ae2 .
Et
0(B)=1+01B+02B2
+
·
·
· + 0qBq t
(B)=1 -- (1B -- t
2B2 --
·
·
·
-- t q
0i e , Vi=1,....,q et t
i e , Vi=1,...,p.
b- Théorème (condition de
stationnarité et d'inversibilité)
1)- Une condition nécessaire et suffisante pour que le
processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p, q) soit
stationnaire est que les racines de l'équation caractéristique
suivante : t (Z) = 0 soient à l'extérieur du
cercle unitaire.
2)- Une condition nécessaire et suffisante pour que le
processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p,q) soit
inversible est que les racine de l'équation caractéristique
suivante: 0(Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle
unitaire.
c- Caractéristique d'un processus ARMA (p,
q)
Les corrélogrammes : simple et partiel sont un
mélange des fonctions exponentielles et sinusoïdales amorties.
Cependant l'identification des paramètres p et q à partir de
l'étude des fonctions d'autocorrélations empiriques
s'avère plus délicate.
Remarques
1- Les processus AR, MA et ARMA ne sont représentatifs
que de séries stationnaires en tendance et corrigées des
variations saisonnières. De plus ces modèles ne tiennent pas
compte d'une éventuelle variable exogène.
2- dans un contexte ultérieur, nous allons exposer une
extension de la classe des modèles ARMA.
II. Processus aléatoire non
stationnaire
La plupart des résultats et méthodes
utilisés dans l'analyse des séries chronologiques sont
basés sur l'hypothèse de la stationnarité du second ordre,
lorsque cette hypothèse n'est pas satisfaite, ce qui est souvent
rencontré en pratique dans diverses disciplines de recherche, en
particulier, l'économie d'hydrologie, la
météorologie...des transformations sont appliquées
(différence ordinaire, différence
saisonnière, différence mixte, transformation de Box-Cox ...)
pour assurer la stationnarité du second ordre.
Pour que ces transformations soient adéquates il faut
à priori pouvoir détecter correctement la nature des variations
de la série. Pour répondre à ce besoin, plusieurs
techniques ont été mises au point afin de détecter la
tendance, la saisonnalité, la rupture,... .
II.1 Composantes des séries
temporelles
Avant le traitement d'une série chronologique, il
convient d'en étudier ses caractéristiques stochastiques (son
espérance et sa variance), si elles se trouvent modifiées dans le
temps la série est considérée non stationnaire.
L'analyse des séries temporelles des
phénomènes économiques permet de distinguer quatre types
d'évolution des séries dans le temps appelées «
composantes de la série temporelle » qui sont :
(a) Tendance
C'est un mouvement persistant dans un sens
déterminé pendant un intervalle de temps assez long, il traduit
l'allure globale du phénomène, qu'il soit à la baisse ou
à la hausse, ce mouvement est fonction du temps.
(b) Saisonnalité
Elle se manifeste à travers des fluctuations
périodiques plus au moins régulières (sous réserve
de la variabilité du nombre de jours dans le mois, du nombre de jours
fériés dans la semaine). Ce mouvement est donc une fonction du
temps et est indépendant de la tendance.
Néanmoins, l'explication de ce mouvement se trouve dans
des déterminismes extérieurs à l'activité
économique elle-même (particularités du temps astronomique,
rythme des saisons, rythme des activités sociales dont les
caractères institutionnels s'imposent à l'activité
économique).
(c) Cycle
Cette composante décrit un mouvement à moyen terme
caractérisé à la fois par la périodicité et
par la cyclicité, c'est-à-dire par la régularité de
son amplitude comportant une phase croissante et une autre
décroissante.
II.2 Méthode graphique
La représentation graphique de la chronique permet de
détecter la présence d'une tendance, d'un cycle, d'une
saisonnalité ou d'une modification de structure (rupture).
Aussi, l'étude de la fonction d'autocorrélation
(corrélogramme) : qui consiste à analyser le corrélogramme
simple permet de détecter si :
- Des pics marquants apparaissent aux retards S, 2S, 3S..., ce
qui fait penser de la présence d'une saisonnalité de
période S.
- La fonction d'autocorrélation ne décroît
pas d'une manière rapide vers zéro, ce qui fait croire à
la présence d'une tendance.
II.3 Méthodes analytiques
II.3.1 Analyse de la tendance
Certaines variables économiques peuvent avoir des
évolutions analogues, dont il peut exister une corrélation entre
ces variables sans que celle-ci exprime une quelconque liaison à
caractère explicatif, donc il convient d'enlever cette tendance et voir
si une telle liaison existe. En analyse des séries chronologiques, on
distingue deux types de tendances : déterministe et stochastique. Dans
cette optique, Nelson et Plosser (1982), ont développé deux
sortes de processus non stationnaire : TS (Trend Stationnary) et DS (Differency
Stationnary).
a- Processus TS
(Trend
Stationnary)
Il arrive que les valeurs prises par les variables d'un
processus stochastique décrivent une allure déterministe qui peut
être représentée à travers une fonction polynomiale
(linéaire ou non linéaire) du temps, de la façon suivante
:
X t =ft+U t .
avec ft : Fonction polynomiale par rapport au temps.
Ut : Processus stationnaire.
Un exemple simple est : X t = a + bt
+ U t
Avec : 2
Var ( X t ) = ?? et
cov(X t , X s ) = 0, s ~
t.
Dans ce cas Xt est dit : un
processus non stationnaire de type déterministe. Cela veut dire
que l'effet produit par un choc (ou par plusieurs chocs aléatoires)
à un instant t est transitoire, la chronique retrouve son mouvement de
long terme dicté par les valeurs de la fonction ft.
- Pour rendre stationnaire un tel processus, on doit estimer
d'abord a et b par la méthode des moindres carrés
ordinaires (MCO), puis retrancher de Xt la valeur
estiméea$+ b $ t .
b- Processus DS
(Differency
Stationnary)
C'est un processus non stationnaire de type aléatoire,
dont un choc à un instant donné se répercute à
l'infini sur les valeurs de la série, l'effet choc est donc permanent et
va en décroissance. La stationnarisation de ce type de processus est
réalisée par l'utilisation d'un
filtre au différence d'ordre d : ( )d
1 -- L X t = fi + ? t
avec /3: constante réelle.
et : Processus stationnaire
d'espérance nulle.
- En pratique on utilise souvent la différence d'ordre 1 :
VX t =/3+e t ? X t =X t
? 1+/3+e t
On obtient, par substitution successive :
t
X X /3t e
t = + +?
0 i
i ? 1
Le processus n'est pas stationnaire car on a :
2
Var X t
( ) .
ae
=
t
cov( , ) min( , ) , .
X X s t s t
= ?
2 t s t
a
En fait, on distingue deux types de processus
(a) Si /3 = 0 alors le processus est dit sans
dérive, il s'écrit sous la forme suivante :
X t = X t ? 1 + e t
Comme et est un bruit blanc, le modèle
porte le non de marche aléatoire (random walk Model), il est
fréquemment utilisé en analyse de l'efficience des marchés
financiers. Test de racine unitaire (test de Dickey-Fuller
1979)
Le choix d'un processus DS ou TS comme structure de la chronique
n'est pas neutre; pour cela les tests de Dickey et Fuller permettent non
seulement de détecter l'existence d'une tendance (racine unitaire,
unit root test) mais aussi de déterminer son type et par
conséquent la bonne manière de stationnariser la chronique.
Les modèles servant de base à la construction de
ces tests qu'on estime par la méthode des moindres carrés
ordinaires sont les suivants :
Modèle [1] : X t = pX t _1 +
et. modèle autorégressif d'ordre 1.
Modèle [2] : X t = pX t ? 1 + c
+ et. modèle autorégressif d'ordre 1
avec constante.
Modèle [3] : X t = pX t ? 1
+c+bt+e t .modèle
autorégressif d'ordre 1 avec tendance et constante.
Avec 2
e t -* iid(0, a
e ) (bruit blanc).
- Les hypothèses de test sont :
p ? 1
H : p = 1 contre H 1 :
0
- Si dans l'un des trois modèles cités ci dessus
l'hypothèse nulle est vérifiée, le processus est
alors non stationnaire (le processus suit une marche
aléatoire). Les observations présentes et passées ont la
même importance, on détermine dans ce cas l'ordre
d'intégration d.
- Sinon, la série est stationnaire (le processus est
asymptotiquement stationnaire), i.e., l'observation présente est plus
importante que les observations passées.
|
- Si p
|
>1 alors la série n'est pas stationnaire la variance
augmente de façon exponentielle
|
avec le temps, les observations passées ont un effet
persistant sur les observations présentes et futures, dans ce cas le
processus est dit explosif.
Donc Dickey et Fuller ont tabulé, à l'aide de
simulation de Monte Carlo, les valeurs critiques pour des échantillons
de différentes tailles7.
Ce qui ne pose aucun problème puisqu'il est
équivalent de tester comme hypothèse nulle:
H0 : p = 1 ou u
u H 0 : p - 1 = 0.
Le déroulement de test
On estimation par la méthode des moindres carrés
ordinaires le paramètre pu et l'écart type
p u 1
?
pour chaque modèle, ce qui fournit t p u avec u
t =
p ? à ?
- Si t u t tabulée
p > alors H0 est acceptée,
c'est à dire, il existe une racine unitaire et le
processus n'est pas stationnaire.
Test de Dickey-Fuller Augmenté (1981)
(ADF)
Dans les tests de Dickey-Fuller simples les résidus
sont supposés être des bruits blancs et donc non
corrélés, ce qui n'est pas forcément le cas. Pour cela
Dickey-Fuller (1981) ont proposé une généralisation de
cette approche en considérant une représentation AR (p) de
Xt .
7 Les valeurs théoriques sont données
par les plupart des logiciels économétriques en particulier par
(E VIE WS).
Après transformation des modèles de base, les tests
ADF sont fondés, sous l'hypothèse
|
alternative p suivants :
|
<1, sur l'estimation par la méthode des moindres
carrés ordinaires des modèles
|
|
p
Modèle [4] : $ $
? ? -- ?
X ? X ? ? X _ +
t t j t j
1 1
|
+ modèle autorégressif d'ordre p.
e t
|
|
j ?
|
1
|
|
p
Modèle [5] : $ $
? ? -- ?
X ? X ? ? X ? ?
t t j t j
1 1
|
+ + modèle autorégressif d'ordre p avec
c e t
|
|
j ?
|
1
|
|
constante
p
Modèle [6] : $ $
? ? -- ?
X ? X ? ? X ? ?
t t j t j
1 1
|
+ + + modèle autorégressif d'ordre p avec
bt c e t
|
|
j ?
|
1
|
tendance et constante.
Où 2
e t ? iid (0, ? e ) (bruit
blanc).
Le déroulement des tests est identique au cas
Dickey-Fuller sur les modèles [4], [5] et [6], seules les tables
statistiques de Dickey-Fuller diffèrent8.
Remarque :
Les retards X t ? j (j = 1,...,
p) participent dans l'explication du dynamisme du processus ce qui
implique la baisse, en valeur absolue, des
autocorrélations résiduelles, donc le nombre de retard p est
choisi suffisamment grand pour éliminer les autocorrélations des
résidus, pour se faire, on commence par estimer les modèles pour
les premiers ordres de j et on l'augmente au fur et à mesure
jusqu'à l'obtention des résidus qui forment un bruit
blanc9.
On note que le test ADF ne permet pas de tester directement si
les résidus forment un bruit blanc, donc il convient de faire une
estimation des modèles pour pouvoir observer les résidus et
éventuellement les tester.
V. Analyse de la saisonnalité
Analyse de la variance et test de Fisher (test
d'ANOVA)
Il s'agit de s'assurer que l'effet régulier que manifeste
la série n'est pas une coïncidence due au seul fait du hasard, et
qu'il ne s'agit pas aussi, d'oscillations plus au moins
régulières d'un effet parasite dû à l'existence de
corrélation non nulle entre les valeurs successives du processus (effet
de Yule (1921), Slutsky (1937)).
Afin de ne pas se tromper dans l'interprétation de cette
régularité un test dit d'ANOVA, basé (comme son nom
l'indique) sur l'analyse de la variance des résidus a été
mis au point.
8 On utilise le test « Portemanteau »
habituel pour tester si les résidus sont blanchis.
9 Voir GOURIEROUX : « séries temporelles
et modèles dynamiques »
- Soit une série chronologique mensuelle, trimestrielle,
journalière, ... , brute telle que :T = N×P : la taille de la
série
Où
N : le nombre d'années.
P : le nombre d'observations dans l'année appelées
période.
xij : l'observation de la série pour la
ième année et la jème
période, avec : i = 1...N et j = 1...P. On suppose que la chronique est
sans tendance ou la tendance a été retirée.
Le modèle s'écrit xij = ai + bj + eij où
: ai : l'effet de la ième année ; bj : l'effet de la jème
période ;
eij : résidus indépendants avec eij?
N(0,ó2).
Principe du test
On test deux effets absents (par exemple : mois, année)
contre deux effets significativement présents.
Si l'effet périodique (mois par exemple) est significatif
alors la série est saisonnière, par
contre si l'effet année est significatif, alors soit que
la chronique n'a pas été transformée et de ce fait, elle
possède des paliers horizontaux, ou bien la chronique a
été transformée ce qui implique la présence de
changements de tendance.
Déroulement du test
- Le calcul de la somme totale des carrés ajustées
ST :
|
N P _ _ N P
1
S x x x x
2
T ij
= - = ?
?? ??
( ) avec ij
i j
= = N P
1 1 i j
= =
1 1
|
(La moyenne totale)
|
- Le calcul de la somme des carrés annuelle SA :
N
p
( ?2 1
S p x x x x
A i
= - = ?
avec i ij
i = p
1 j = 1
(La moyenne de de la i ème année)
- Le calcul de la somme des carrés périodique SP
:
(La moyenne de la j ème période)
N _ N
1
S N x x x x
2
P j i ij
= ? -- = ?
( ) avec
= N
. .
j 1 j = 1
Le calcul de la somme des carrés résiduels SR :
NP
_
2
S x x x x
R ij j i
= ?? - - -
( )
. .
i j
=
SA
1
VarA
N
= =
1 1
Le calcul de la variance année :
S
- Le calcul de la variance périodique : P
Var =
P P - 1
|
- Le calcul de la variance résidu :
|
VarR
|
SR
|
|
( 1)( 1)
P N
- -
|
Le test de saisonnalité
Ce test est basé sur l'influence du facteur période
et est construit à partir des hypothèses
suivantes: 0
?
?
H : Pas de saisonnalité.
?
|
H : Il ex iste u n e s aiso n n a lité.
1
|
On calcule la valeur de Fisher empirique p
F Var
? = que l'on compare à la valeur de
Var
R
Fisher tabulée F? 1 2
y y avec y1 =P- 1, y 2 =(N- 1 )(P- 1)
degré de liberté.
|
SiSi* á
F>Fv1,v2 * á
F <F v1,v2
|
on rejette l'hypothèse H0, la
série est saisonnière.
on rejette l'hypothèse H1, la
série n'est pas saisonnière.
|
Méthode de désaisonnalisation
Pour stationnariser une série affectée d'une
saisonnalité, on procède à la désaisonnalisation de
la série par une différentiation.
Application de la différence
saisonnière
Cette méthode consiste à considérer la
série différenciée d'ordre S (S : période de la
saisonnalité).
? s X t = X t- X t -
s III. Extension des modèles ARMA
L'objectif de cette extension est de tenir compte des effets
(tendance, saisonnalité) dans la modélisation de la chronique,
sans avoir recours aux méthodes exposées ci-dessus (pour rendre
la série stationnaire).
III.1 Processus autorégressif moyenne mobile
intégré d'ordre (p,d,q)
Ce sont des modèles ARMA intégrés
notés ARIMA. Ils sont issus des séries stationnaires par
l'application du filtre aux différences et ceci, bien entendu dans le
cas des processus DS détectés par le test de Dicky-Fuller.
Le processus Xt suit un ARIMA (p,d,q),
c'est-à-dire qu'il est solution d'une équation aux
différences stochastique du type :
0(B)(1 -- B)d =
-=ye:`(B)e t.
III.2 Processus autorégressif moyenne mobile
intégré saisonnier
Il est possible de trouver que certaines séries
chronologiques peuvent être caractérisées par une allure
graphique périodique, pour cela il est important de les analyser en
tenant compte de l'effet saisonnier. Box et Jenkins (1970) ont proposé
une classe particulière de modèles appelée : classe de
modèles ARIMA saisonniers.
III.3 Modèles saisonniers mixtes
SARIMA
Ce sont des extensions des modèles ARMA et ARIMA. Ils
représentent généralement des séries
marquées par une saisonnalité comme c'est le plus souvent le cas
pour des séries économiques voire financières. Ces
séries peuvent mieux s'ajuster par des modèles saisonniers. Ce
sont les SARIMA (p, d, q)(P,D,Q) qui répondent à la formulation
:
tP(B) tPs (if
)(1--B)d
(1--Bs)D Xt =
0 (B)0s (Blet où
: tP (B) = 1-- t'AB --
tP2B2 --
·
·
·
-- tPpBp : Polynôme autorégressif
non saisonnier d'ordre p. tP (B) = 1 --
eAsB --
tP2sB2s
--
·
·
· -- tPpsBps :
Polynôme autorégressif saisonnier d'ordre P.
0(B) =1+01B +
02B2 +
·
·
·
+ 0qBq : Polynôme moyenne mobile non
saisonnier d'ordre q.
0(B)=1+01sB+02sB2s
+
·
·
·+0Qs--Qs
is : Polynôme moyenne mobile saisonnier d'ordre Q.
(1-- B)d : Opérateur de différence
d'ordre d.
(1-- Bs )D :
Opérateur de différence saisonnière d'ordre D. s :
correspond à la saisonnalité.et --> BB(0,
6E) .
Modèles saisonniers purs (SARMA)
Un processus stochastique { Xt , t E
T} est dit processus autorégressif moyenne mobile
intégré saisonnier pur d'ordre (P, D, Q)(p, 0, q), si son
évolution satisfait la forme suivante :
çb B çb B _ B X t = O B O
s B e t
( ) ( )( 1 ) D ( ) ( )
s s s
s
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