|
Ces dernières années, les séries
financières sont caractérisées par des faits
stylisés tels que la non normalité des rendements des actifs
financiers et l'asymétrie négative à cause de
l'accroissement de la volatilité. De ce fait, la complexité du
marché financier et son comportement imprévisible amènent
les investisseurs à quitter la bourse pour investir sur d'autres
marchés plus stables. Afin de mettre des limites aux pertes
catastrophiques, des modèles récents de choix de portefeuille ont
été émis pour réintégrer ces agents dans le
marché boursier.
Le modèle Moyenne-Variance de Markowitz (1952) est la
base de théorie moderne de choix de portefeuille. L'idée
fondamentale de Markowitz étant que les investisseurs choisissent de
façon optimale les portefeuilles efficients en minimisant le risque,
mesuré par la variance, pour un niveau de rendement
espéré.
En pratique, ce modèle est intensivement utilisé
pour contrôler le risque et évaluer les portefeuilles. Cependant,
le champ d'application du critère Moyenne-Variance est limité
parce qu'elle est basée sur la variance comme mesure de risque. En
effet, cette dernière n'est pas constante au cours de temps puisqu'elle
est fondée sur les taux de rendement qui sont plus élevé
au moment des crises et faible lorsque le marché boursier est immobile.
Aussi, elle ne donne pas importance aux valeurs négatives des taux
rendement parce qu'elle analyse les pertes et les gains de la même
manière et n'est valable que dans un univers gaussien. Or comme la loi
normale est caractérisée par une queue fine, l'approche classique
ne tient pas compte des valeurs extrêmes situées au niveau des
queues.
Des études récentes ont montré que les
pertes sévères ne sont pas rares puisque les distributions des
taux de rendement d'actifs financiers sont asymétriques à queue
épaisse (l'hypothèse de normalité est rejetée). De
ce fait, des scénarios indésirables et des pertes catastrophiques
ne peuvent pas être prise en compte seulement par la variance. Ainsi, des
nouvelles mesures des risques sont prises en compte lors des choix des
portefeuilles. Du point de vue statistique, une innovation importante apparue
est l'attention prêtée à la partie du risque des queues.
Dès 1963, Mandelbrot a montré qu'il y a une
nécessité d'employer une mesure de risque de chute du cours
à la place de mesure classique pour le choix de portefeuille. Parmi ces
mesures, la Value-at-Risk (VaR) et l'Expected Shortfall (ES). La
propriété de ces concepts
étant de mesurer le comportement d'un processus pour des
niveaux exceptionnellement grands ou petits.
C'est à la fin des années quatre-vingt, que la
Value-at-Risk a marquée sa présence pour la première fois
sur le marché financier aux Etat Unis par la banque «Bankers
Trust», aussitôt, cette mesure devient de plus en plus populaire
notamment grâce à la banque Américaine «J P.
Morgan» en 1994 et son système « Riskmetrics ».
D'une manière générale, la VaR est une
mesure de la perte potentielle maximale que peut subir un portefeuille dont les
rendements suivent une loi spécifiée, pour une probabilité
donnée sur une période de détention fixée en cas
d'évolution défavorable des facteurs du marché.
Ainsi, Rockafellar et Uryasev (2000) ont proposé la
mesure ES de perte comme solution pour l'insuffisance du VaR lors de choix du
portefeuille. Comparée à la VaR, la CVaR est une mesure
cohérente plus générale puisqu'elle mesure les risques au
delà de la Value-at-Risk. A cet instar, on peut définir
l'Expected Shortfall comme le quantile correspondant à la perte
potentielle qui peut subir un titre ou un portefeuille suite à des
mouvements défavorables des prix de marché avec un seuil de
confiance á donné sachant que cette perte dépasse au moins
la VaR.
Nous essayerons dans notre mémoire de présenter
les critères de choix de portefeuille en ajoutant une contrainte de type
VaR ou CVaR au modèle classique de Markowitz afin de tenir compte des
asymétries des distributions des rendements. Le but de l'ajout de cette
contrainte est de limiter la perte à un niveau fixé par
l'investisseur lui-même. Contrairement aux études
antérieures, le risque de portefeuille est contrôlé par
deux mesures ; la variance et la VaR ou CVaR.
En conséquence l'objectif de ce travail est :
d'examiner l'impact d'ajouter une contrainte VaR ou CVaR au modèle
Moyenne-Variance de Markowitz, étudier l'effet d'augmenter le niveau de
confiance á et/ou l'intervalle de variation de
deuxième contraint (VaR ou CVaR) sur la réduction de perte ainsi
analyser la capacité de cette approche à réduire le risque
dans le choix des portefeuilles.
Pour atteindre ces objectifs, nous étudierons les
hypothèses suivantes ; tout d'abord, les concepts des mesures de
risque et de risque de perte, ainsi l'aversion au risque et
l'aversion aux pertes. Ensuite, nous concéderons la
généralisation de l'approche
Moyenne-Variance de Markowitz en incorporant une
deuxième contrainte Value-at-Risk ou Expected Shortfall.
De ce fait, nous commencerons l'étude théorique
par le premier chapitre où nous traiterons dans une première
cellule, la notion de la fonction d'utilité et la différence
entre l'aversion au risque et l'aversion aux pertes. La deuxième sera
consacrée au concept de la diversification et la théorie de choix
du portefeuille définie par Markowitz.
Dans Le deuxième chapitre, nous
analyserons les mesures de risque simples telles que les mesures de Downside et
les mesures de dispersion. Cependant, ces mesures restent une simple estimation
de risque et ne peuvent pas être une vraie représentation de
risque. Pour cela les investisseurs averses au risque ont recherché des
nouvelles stratégies pour assurer leurs portefeuilles. Parmi ces
approches, nous mentionnerons la théorie de Safety-First de Roy (1952).
À la fin de ce chapitre, nous citerons les mesures de risque de perte
telle que la Valueat-Risk et l'Expected Shortfall.
La partie empirique sert à étudier quatre
approches de choix des portefeuilles. Après avoir présenter
l'échantillon de l'étude, nous étudierons l'approche
classique. Puis, nous calculerons la VaR paramétrique et la VaR
historique. Ainsi, nous traiterons l'approche Moyenne-VaR. Dans la suite, nous
étudierons le troisième modèle de sélection de
portefeuille, l'approche Moyenne-Variance-VaR. A la fin de cette partie, nous
analyserons les implications de choix de portefeuille résultant
d'imposer une contrainte de type CVaR au modèle classique
Moyenne-Variance.
Introduction
«La théorie moderne du portefeuille»,
introduite par Markowitz en (1952) présente les concepts de
référence en matière du choix de portefeuille et constitue
le point de départ d'autre méthodes dites plus complet.
L'objectif de tout investisseur rationnel est de trouver la
combinaison optimale d'actifs financiers, composant son portefeuille, qui
procure le meilleur rendement possible pour une certaine quantité de
risque. Or la réalisation de cet objectif passe par un ensemble des
objectifs secondaires classés suivant une méthodologie logique
qu'on développera ci-après.
La théorie de l'utilité espérée a
dominé l'analyse de la prise de décision sous le risque. Elle a
été courante comme modèle normatif du choix raisonnable
(Keeney et Raiffa 1976) et largement appliquée comme modèle
descriptif du comportement économique (Friedman et Savage 1948). Ainsi,
on le suppose que toutes les personnes raisonnables souhaiteraient obéir
les axiomes de la théorie du Neumann et Morgenstern (1944) et que la
plupart des personnes font réellement, le plus souvent, autrement dit
tous les investisseurs sont averse au risque et agirent de tel sorte qu'ils
maximiseront leurs utilités espérés.
Ce chapitre s'organise de la façon suivante : la
première section nous amène à mieux comprendre certaines
notions fondamentales sur la rentabilité et ces différentes
classes. Une deuxième section sera consacrée sur le comportement
d'investisseur face au risque au sein du quelle nous développerons la
notion de la fonction d'utilité et l'aversion aux pertes. La
troisième section de ce chapitre se concentre sur le concept de la
diversification. Enfin dans la dernière section nous examinerons en
profondeur la théorie de choix du portefeuille définie par
Markowitz.
I.1 Notion du taux de rentabilité
De nombreux modèles financiers utilisent le taux de
rentabilité historique pour estimer les cours futures des actifs
financiers et par suite prendre la décision adéquate. On
distingue deux types de taux de rentabilité : d'une part, le taux de
rentabilité discret dont le flux monétaire procuré par le
titre est versé une seule fois à la fin du période, et
d'autre part, le taux de rentabilité continue où l'actif
financier pourvoit des flux monétaires en continue.
Ce deux taux permettent d'estimer les propriétés
stochastiques des rentabilités correspondantes telles que la
rentabilité moyenne et la variance.
Pour la rentabilité moyenne on peut mentionner la
moyenne arithmétique de taux de rentabilité où n'y a pas
une capitalisation des revenus intermédiaires et la moyenne
géométrique de taux de rentabilité dont lequel les revenus
intermédiaires réinvestissent après chaque versement.
Notation :
Ri, t : taux de rentabilité de l'actif financier i
à la date t.
Ci, t-1 : cours de l'actif à la date t-1.
Ci, t : cours de l'actif à la date t.
Di, t : les flux monétaires procuré l'actif sur la
période t-1 et t (comme le dividende, des intérêts...).
ri, t : taux de rendement de la titre i à la date t.
Q : nombre de fois de distribution de flux monétaire
pendant une période donnée. n : nombre des périodes.
Xi : proportion de l'actif i investie dans un portefeuille.
ói : Volatilité associé
au titre i.
| 
