4.1.4. Résolution du problème 8 standard par
Riccati [4]
Cette approche permet de résoudre le problème 8
standard définie plus haut, à partir de la
représentation d'état (4.13) du système augmenté .
Soit :
?( )
?( )
?( )
=
( )
( )
( )
(4.13)
Avec R ; R ; R ; R ; R .
Considérons les matrices symétriques = et Q = Q
ayant les mêmes dimensions que la
matrice . on note:
la solution symétrique définie positive, si elle
existe, de l'équation de Riccati :
+ - + = 0 (4.15)
de telle sorte que les valeurs singulières de ( - ) ont
une partie réelle strictement négative.
Le problème 8 standard a une solution si les
quatres hypothèses suivantes sont vérifiées :
H1) La paire ( , ) est stabilisable et ( , ) est
détectable : condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe
un régulateur ( ) stabilisant de manière interne le
système en boucle fermée. Elle implique notamment la
stabilité des pondérations fréquentielles ( ) (figure
(4.2)).
H2) ( ) = et ce sont des conditions suffisantes pour assurer que
la loi
de commande ( ) est propre.
, + : garantit que la matrice de transfert ( ) entre
H3)
les entrées de commandes ( ) et les sorties à
réguler ( ) n'a pas de zéros sur l'axe imaginaire.
, + : assure que la matrice de transfert ( ) n'a
H4)
pas de zéros sur l'axe imaginaire.
Le théorème suivant donne les conditions
nécessaires et suffisantes pour résoudre le problème 8
standard. Ces conditions correspondent à un cas simplifié
pour lequel les formules sont simples.
Théorème 4.1 : Sous les
hypothèses H1 à H4, le problème de
commande 8 a une solution si et seulement si les cinq conditions
suivantes sont remplies :
( ) La matrice Hamiltonienne 8 =
-
propre sur l'axe imaginaire.
n'a pas de valeur
-
( ) Il existe une matrice 8 = ( ) 0 ; telle que + +
) + = 0
( ) La matrice Hamiltonienne 8 =
-
- -
n'a pas de valeur propre
( ) Il existe une matrice , = ( ) 0 ; telle que + + -
65
= 0
( ) ( 8 8) < Où représente le module de
la valeur propre maximale (rayon spectral).
sur l'axe imaginaire.
Le théorème suivant permet, alors, de calculer la
solution du problème 8 standard:
Théorème 4.2 : Sous les conditions
du théorème 4.1, le régulateur ( ) stabilisant le
système et
satisfaisant ( , )?8 < est donné par:
c C
- 0
8
(4.16)
Où
= +
8 - 8 - c C
(4.17)
o = ( - C ) (4.18)
La mise en oeuvre de cette solution consiste donc à
utiliser tout à d'abord les résultats du théorème
4.1 de façons à estimer la valeur minimale du niveau
d'atténuation . Cela se fait en utilisant l'algorithme de dichotomie. On
calcule ensuite le régulateur central en utilisant le
théorème 4.2 et la valeur obtenue.
Remarques :
·
L'ordre du correcteur est de , c'est-à-dire
l'ordre de ( ) soit le système à commander ( ) augmenté
des différentes pondérations (éventuellement)
introduites.
·
On peut essayer de rechercher le plus petit , noté tel que
le problème 8 standard
admette une solution à
l'optimum.
? La valeur peut être approchée par dichotomie, en
suivant le processus :
a. Choix d'un niveau de tolérance et de
deux valeurs et telles que, pour
, le problème 8 problème admette une
solution et que, pour = , le
=
67
problème 8 standard n'admette pas de solution;
b. On test si pour = , le problème 8 standard
admet une solution. Si
oui alors = sinon
= ;
c. Si - lors retourner à b.
d. Calcul de la représentation
d'état de la loi de commande permettant d'obtenir la
norme 8 proche de .
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