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Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration d'une table de mortalité

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par ALLADE Emile - DALI Yves Gérarard Yassi
ENSEA Abidjan - Ingénieur Statisticien Economiste 2009
  

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II. Revue de littérature

A. Présentation des principaux concepts étudiés

Suivant la nomenclature proposée par l'Insee, une table de mortalité se définit de la façon suivante : «Une table de mortalité annuelle suit le cheminement d'une génération fictive de 100 000 nouveau-nés à qui l'on fait subir aux divers âges les conditions de mortalité observées sur les diverses générations réelles, durant l'année étudiée.» La table de mortalité donne donc, pour la suite des anniversaires x, le nombre de survivants Sx à ces anniversaires, le nombre de décès Dx entre deux anniversaires successifs et le quotient annuel de mortalité (s'interprétant comme une probabilité de décès) Qx à l'âge x. Ces tables sont alors très utiles notamment pour les assureurs, qui les utilisent pour déterminer leurs primes d'assurance.

Lorsqu'on construit une table de mortalité, on cherche à obtenir des résultats sur les probabilités de survie des individus. Une formalisation mathématique est donc nécessaire, et la partie qui suit se propose de présenter les principaux outils mathématiques qui sont utilisés.

A.1. Outils principaux des modèles de durée

A.1.a) Probabilités de survie et de décès

Considérons à une époque 0 origine des temps, un individu d'âge x. Désignons par Tx sa durée de vie résiduelle à partir de cet instant. Ainsi, cet individu décèdera à l'âge de x + Tx. La durée de vie résiduelle Tx constitue une variable aléatoire. Nous caractérisons la loi de probabilité de Tx par la fonction de survie pxt = P[Tx > t] où t est un réel positif. Inversement, on désigne par qt/ t'x la probabilité de décès entre t et t + t' d'un individu pris en observation à l'âge x et qxt la probabilité de décès avant la date t d'un individu pris en observation à l'âge x. Notons que qxt = 1 - pxt.

La probabilité de décès s'exprime alors en fonction de la probabilité de survie :

qt/t'x = P[t < Tx < t + t'] = P[t < Tx] - P[t + t' < Tx]

A.1.b) Loi de survie

Considérons à l'intérieur d'un groupe homogène, à un instant pris comme origine, l'ensemble des individus d'âge x en nombre Lx. Nous allons supposer qu'ils décèdent indépendamment les uns des autres. Dans ce cas, on peut attacher à chaque élément du groupe une variable aléatoire Xi(t) que nous appellerons indicateur de survie et qui prend la valeur 1 si l'individu est vivant et la valeur 0 s'il est mort à la date t. Les variables Xi(t) sont alors en nombre égal à Lx et on suppose de plus que les décès sont indépendants. Donc :

E(Xi(t)) = 1 * pxt + 0* qxt = pxt

V (Xi(t)) = E(Xi(t)2) - [E(Xi(t))]2 = pxt - (pxt)2 = pxt * qxt

A l'époque t le nombre de survivants du groupe initialement composé de Lx individus est :

Lx+t =

D'où, E(Lx+t) = Lx * pxt

Et, comme les variables Xi(t) sont indépendantes, on a :

V (Lx+t) = Lx * pxt * qxt

On appelle nombre probable de vivants3(*) à l'âge x + t et on le désigne par lx+t la quantité :

E(Lx+t) = Lx * pxt

Et on obtient notamment en faisant tendre t vers 0 l'égalité :

Lx = E(Lx) = Lx

Remarquons qu'on obtient ainsi l'égalité pxt = lx+t / lx On peut alors à partir d'une constante de proportionnalité Lx = lx calculer le nombre probable de vivants pour toutes les périodes : l'ensemble des valeurs obtenues constitue alors une loi de survie.

* 3 _ Si la population est suffisamment grande, alors le nombre probable de vivants à l'âge x + t est une bonne estimation du nombre de survivants du groupe initial à l'âge x + t

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"Il faut répondre au mal par la rectitude, au bien par le bien."   Confucius