Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

Analyse globale d'une classe de modèles

épidémiologiques avec différentes infectivités

MÉMOIRE

Présenté et soutenu le 24 Décembre 2008 en vue de

l'obtention du

diplôme d'étude approfondie (DEA)
Option: Analyse Numérique

Par:

Dany Pascal MOUALEU-NGANGUE

Maître ès sciences

Devant un Jury constitué de

Pr Norbert Noutchéguémé (Président)

Dr Boulchard Mewoli (Examinateur)

Dr. Yves Emvudu (Rapporteur)

A l' Université de Yaoundé I

Dédicaces

Je dédie ce travail à :

~ Dieu tout puissant pour son amour, sa bonté et sa grâce plus que jamais présent dans ma vie.

~ Mes parents Mr NGANGUE DEUTOU Frédéric et Mme NGANGUE née TCHAMENI Jeanne.

~ A monsieur et madame TOKO.

~ A la famille TAPTUE.

Résumé

Les travaux présenté dans ce mémoire portent sur la modélisation et l'analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec differents infectivités pouvant décrire la propagation des maladies infectieuses telles que la tuberculose, le VIH-SIDA, le paludisme, etc. Une particularité de cette classe de modèles épidémiologiques est qu'elle prend en compte la distribution de latence, les stades de progression, les perdus de vues et une dimension arbitraire. On montre que l'existence et l'unicité d'es points d'équilibre dépendent d'un paramètre de seuil R0. La stabilité asymptotique globale des points d'équilibre est étudiée en utilisant la théorie de Lyapunov. Enfin, une étude numérique de quelques modèles décrivant la dynamique de la tuberculose est donnée pour valider les résultats analytiques.

Keywords : Fonctions de Lyapunov, Action de masse, Stabilité asymptotique globale, Tuberculose, VIH-SIDA, Paludisme, Perdus de vues, Stade de progression.

Abstract

The works presented in this dissertation on global analysis of a class of epidemiological model with different infectivity that can describe the propagation of infectious diseases such as tuberculosis, malaria, dengue, HIV-AIDS, etc. A particularity of this class of epidemiological is that it care into account the distribution of latency time, staged progression, lost, and dimension arbitrary. We show that the existence and uniqueness depend on a treshold parameter R0. We also presented some numerical results to validate the analytical results.

Keywords: Lyapunov functions, Mass action, Global asymptotic stability, Tuberculosis, HIV-AIDS, malaria, Loses, Staged of progression

Table des matières

Dédicaces i

Résumé ii

Abstract iii

Remerciements vii

Introduction générale 1

1 Préliminaires mathématiques 4

1.1 Notations 4

1.2 Quelques définitions et propriétés liées aux matrices 4

1.3 Stabilité asymptotique locale et globale des systèmes dynamiques 6

1.3.1 Quelques définitions 6

1.3.2 Les systèmes autonomes 7

1.3.3 Éléments sur la stabilité au sens de Lyapunov 8

1.3.4 Principe d'invariance de LaSalle 9

conclusion 10

2 Présentation de la Classe de modèles épidémiologiques 11

2.1 Classe de modèles épidémiologiques 11

2.2 Interprétations épidémiologiques des équations 12

2.3 Quelques exemples de modèles épidémiologiques 13

2.3.1 Modèles de la tuberculose 14

2.3.2 Modèle intra-hôte du paludisme 22

2.3.3 Modèles du VIH 24

2.4 Conclusion 27

3 Analyse globale de la classe de modèles épidémiologiques 28

Introduction 28

3.1 Invariance positive de l'orthant positif 28

3.2 Existence et unicité des points d'équilibre 28

3.3 Taux de reproduction de base 30

3.4 Stabilité des points d'équilibre 31

3.4.1 Recherche des coefficients des fonctions de Lyapunov 32

3.4.2 Stabilité du Disease free equilibrium 35

3.4.3 Stabilité globale du point d'équilibre endémique 36

3.5 Etude numérique 41

3.6 Conclusion 43

Conclusion générale 44

4 Annexe A : Inégalités utiles 46

Annexe B : Démonstration des inégalité du chapitre 3 48

Bibliographie 52

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

Table des figures

2.1 Diagramme de transmission de la tuberculose avec double infectivité 17

2.2 Diagramme de transmission pour un modèle à n classes d'infectés 18

2.3 Diagramme de transmission pour un modèle à m classes d'infectés et k classe de malades 20 2.4 Diagramme de transmission pour un modèle du VIH-SIDA 27

3.1 Résultats des simulations numériques. 42

Remerciements

La réalisation d'un travail de recherche ne peut connaître son aboutissement que grâce aux efforts conjugués des uns et des autres. Ceci m'amène à penser à ceux qui m'ont soutenu dans mes travaux de recherches, quelque soit la manière ou le type d'aide apporté. Ainsi, je tiens à remercier sincèrement :

- Dieu le Père Tout Puissant pour ses merveilles et sa Miséricorde dans ma vie et pour toute les Grâces dont il me comble jour après jour.

- Dr. Yves EMVUDU WONO et Dr. Samuel BOWONG, respectivement enseignant à l'Université de Yaoundé I et à l'Université de Douala, qui ont bien voulu accepter de diriger ce mémoire et qui, malgré leurs occupations, ont soutenu mes efforts jusqu'au bout. Ils se sont révélés réellement présent et précieux aussi bien lorsque étant ici ou en mission à l'extérieur et n'ont ménagé aucun effort pour que ce travail puisse être effectué dans les temps.

- Le staff administratif et le corps enseignant de la Faculté des Sciences de l'Université de Yaoundé I. En particulier, je veux remercier tous les enseignants du Département de Mathématiques qui ont donné le meilleur d'eux mêmes, pour que nous ayons la formation qu'il faut.

- Le personnel enseignant du Département de Mathématiques et Informatiques de la faculté des sciences de l'Université de Douala. Ils m'ont véritablement soutenu pendant tout mon passage dans cet Université et même lors de mes passages pour les travaux avec l'encadreur.

- Les familles TOKO et TAPTUE, pour la grande attention qu'elles m'accordent. Le Seigneur seul connaît la récompense qu'il convient aux hommes et femmes de grands coeurs.

- Mes parents, Mr NGANGUE DEUTOU Frédéric et Mme NGANGUE Née TCHAMENI Jeanne qui malgré les difficultés, continues à me soutenir dans tous les plans et subviennent aux moindres de mes besoins.

- Tous mes frères, soeurs, oncles, cousins et tantes qui m'ont sans cesse soutenu tant moralement que financièrement et qui ont su être là quand j'avais besoin d'eux. Il s'agit de Serge DEUTOU, DEUTOU née MONKAM Chantal, Eric, Marie, Dido, Hilaire, Michou, Clarisse, Olivier, Anne Michelle, Joël, Derrick, Michel, Stève, Raoul, Fidel, Eden, Maman Claire, Maman Yvonne et Papa Camille.

- Mes ami(e)s Diane, Corine, Vidal et Lyz, Armel, Michel, Nicolas, Serge, Eugène, Inès, Miriole et tout les Jeunes du Service "Parole de Dieu" de la paroisse St Marc de Biyem-assi et du Centre Catholique Universitaire (CCU). Ils ont toujours

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

été une famille pour moi depuis mon arrivée à Yaoundé.

- Toutes les Mamans du service "Parole de Dieu" de la paroisse St Marc en particulier et de la zone de Yaoundé en général. En particulier, Maman Gisèle, maman Marie Louise, Maman Marie Christine, Maman Mélanie, Maman Félicité etc.

- Tous mes camarades de classe, pour leur soutient et l'esprit de solidarité qu'ils ont eu à mon égard, même dans les moments les plus difficiles. En particulier,je veux remercier Hervé, Marcelin, Eric et Cyril.

- Enfin, tous mes neveux et nièces : Stéphane, Sabine, Raphaèl, Ornéla, Austin, Frédy, Moukam, Jessie, Joys et Yvan pour m'avoir permis de travailler.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008