Annexe B : Démonstration des
inégalités
du chapitre 3
L'objectif de cette partie est de démontrer que
les termes
An-p(u),
Aij(u),
Bn-p,i(u),
Ci(u) et
Dj(u) sont toujours négatifs. Pour
cela, nous allons tenir compte des hypothèses et des
différents cas qui peuvent se présenter.
Démontrons que
An--p(u) <
0, p = 2,
·
·
· ,
k
un-1
Bn-p = 2 -- un
+ Fn-p(u)
un-pun
|
un-1
= 3 -- un --
|
un-p
|
< 0
|
|
|
|
d'après le corollaire (4.1).
|
un-pun
|
un-1
|
|
Cas 1 :
Bn--p,i(u),
Ci(u) et
Di(u) pour i < h
pour i < h ; on a
un-1
Bn-p,i(u) = 2 --
un
Fi(u),
un-1un
Fi(u), +
Fj(u),
Ci(u) = 1 --
ui
un-1
uj
Dj (u) = 1
un-1
|
où
|
ui+1
Fi(u) =
ui
|
+
|
ui
|
+
·
·
· +
|
uh
|
un-1
+
|
(h + 1 -- i)
|
|
|
|
|
|
ui-1
|
|
uh-1
|
uh
|
avec si h < n -- k. On obtient
Bn-p,i(u) = -- (
un 74+1+ ui +
·
·
· + +
un-1) (h + 3
-- i)
un-pun ui ui-1 uh-1
uh
|
et
|
Ci(u) =
|
( uiuh un-1)
+
·
·
· +
(h + 2 -- i)
un-1 ui
ui-1 uh-1 uh
|
Mémoire de DEA: Dany Pascal
MOUALEU c~, UYI 2008
qui sont négatif par le corollaire(4.1). Par
ailleurs,
+
un-1
uh
ui
ui
Di(u) =
un-1
+
+ · · · +
(h - i)
ui+1
+
uh-1
ui-1
uh
ui
est négatif par le lemme (4.2).
Cas 2 :
Bn-p,i(u),
Ci(u) et
Di(u) pour i =
h Lorsque i = h, on a
uh
Bn-p,h(u) = 3 -
un
un-1
,
un-1uh
un-1un
un-1
,
uk
Ch (u) = 2
uh
un-1
qui sont négatifs d'après le corollaire
(4.1). On a d'autre part
Dh(u) =
0.
Cas 3 :
Bn-p,i(u),
Ci(u) et
Di(u) pour h = i = n - k - 1
Dans ce cas, nous avons
Bn-p,i(u) = (i
+ 2 - k) - ( un +
un-1un uh+1
uh+2
ui + + + · · ·
+ ui-1)
un-1 uh+1
ui ,
Ci (u) = (i +
1 - h) -+ + + +
( ui
un-1 uh+1
uh+2
·
·
·
ui-1)
ui
.
v uh+1
Bn-p,i(u) et
Ci(u) sont négatifs d'après le
corollaire (4.1).
|
un-1
Di(u) =
-ui
d'après le Lemme (4.2).
|
un-1
+
uh+1
|
uh+1
+
uh+2
|
+ · · ·
+ui-1
ui
|
(i - h - 1) = 0
|
Cas 4 :
Bn-p,i(u),
Ci(u) et
Dj(u) pour i = n - p, p ?
{2, · · · , k} On
a
un-1
Bn-p,i(u) = 3 -
un
un-p
,
un-1
un-pun
|
Dn-p = 2
|
un-p
|
un-1
|
|
un-1
|
un-p
|
qui est négatif d'après (4.1) d'autre part,
on obtient
Cn-p = 0.
Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI
2008
Démontrons que Aij = 0
Cas 5 : i < j = h
Pour i = j = h, on a :
ui
ui+2
ui+1
uj
· · ·
ui+3
ui
uj-1
+ (j - i + 1) = 0
Aij =
uj
d'après corollaire (4.1).
Cas 6 : j < i = h
Pour j = i < h, on a, en utilisant le Lemme
(4.2)
ui
Aij = -uj
uj+1
+
uj
uj+3
+
uj+2
+ · · · +
(j - i + 1) =
ui
uj
1 = 0
ui
ui-1
+ ui
uj
Cas 7 : h < i < j < n - k
Pour h < i < j, on a d'après le Lemme
(4.2),
|
Aij =
|
ui
|
+
|
ui
|
ui+1
+
|
+ · · · +
|
uj-1
|
(j - i) =
0.
|
|
|
|
|
uj
|
|
ui+1
|
ui+2
|
|
uj
|
Cas 8 : h < j < i < n - k
Pour h < j = i, on obtient par le Lemme
(4.1),
|
ui
Aij = -
uj
|
uj
|
uj+1
- · · ·
uj+2
|
ui-1
|
+ (i - j + 1) =
0.
|
|
uj+1
|
ui
|
Cas 9 : i = h < j < n - k
Si i = h < j par Lemme (4), on a
|
Aij =
|
un-1
uj
|
+ (h + 1 - i) -
[ui + ui+1 + ·
· · + uh = 0.
uj uiuh-11
|
Cas 10 : i = h < j < n - k
Pour j < h < i, on a en utilisant le Lemme
(4.4),
|
Aij =
|
un-1
uj
|
+ (i - h + 1) - [ui + +
· · · + hu +1 +
un-11 =
0.
uj ui uh+2 uh+1
|
Cas 11 : i = n - p et j > n - p, p
= 2, · · · , k Dans
ce cas, on a
= 0.
An-p,j = 1 un-1
uj
car uj > un-1
Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008
Mémoire de DEA:
Cas 12 : i = h et j = n - p, p
= 2, · · · , k Dans ce cas, on
obtient
[ ui Ai,n-p = (h
+ 3 - i) - un-p +
un-p
un-1 + ui+1
ui + ui+2
= 0.
ui+1 + · · · +
uh
uh-1 + un-1
uh
D'après le corollaire (4.1).
Cas 13 : i > h et j = n - p,
p = 2, · · · , k
Dans ce cas, on obtient
|
[ ui Ai,n-p = (i
+ 2 - h) - un-p +
un-p
un-1 + un-1
uh+1 + uh+1
uh+2 + · · · +
ui-1 ui
|
~= 0.
|
D'après le corollaire (4.1).
Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI
2008
| 
