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École Doctorale IAEM Nancy-Université,
Université Henri Poincaré
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Mémoire présenté en vue d'obtenir
le diplôme
d'HABILITATION À DIRIGER DES
RECHERCHES
Spécialité : Mathématiques.
CONTROLE DE sysTEMEs MfcANiQuEs ET QuANTiQuEs
pAR DEs
MfTHODEs GfoMfTRiQuEs
Mario SIGALOTTI
Rapporteurs : Pierre ROUCHON
Emmanuel TRÉLAT Enrique ZUAZUA
Soutenue le 5 février 2010 devant le Jury composé
de
Jean-Michel CORON Frédéric JEAN
Jean-Paul GAUTHIER Emmanuel TRÉLAT Marius
TUCSNAK
Man sieht diese Hunde nicht, aber man hört sie.
Mir
machen diese Hunde Angst.
Angst ist vielleicht nicht der richtige
Ausdruck,
sie bringen den Menschen um.
Diese Hunde bringen alles um.
Thomas Bernhard, Frost
Remerciements
Tirer un bilan des activités scientifiques qui m'ont
occupé après ma thèse signifie en premier lieu remercier
un certain nombre de personnes qui m'ont grandement aidé pendant ces
dernières années.
D'abord, je tiens à remercier Marius Tucsnak pour
m'avoir si chaleureusement accueilli au sein de son équipe, pour ses
encouragement et son soutien dans la prise de responsabilités et pour
avoir été une source continue de conseils et intuitions
mathématiques. Je lui suis reconnaissant aussi pour avoir toujours su
rendre paisibles ces années de travail à Nancy par son naturel
contagieusement joyaux. C'est sans oublier la gratitude que je lui dois pour
avoir accepté de faire partie de mon jury.
Un très grand merci va à mes amis-collaborateurs
Ugo Boscain et Yacine Chitour, sans lesquels je n'aurais probablement pas su me
résoudre à m'engager dans le parcours exigeant de la recherche :
je voudrais toutefois les décharger formellement de toute
responsabilité quant au résultat de leur soutien amical...
Je voudrais remercier Pierre Rouchon et Emmanuel Trélat
pour m'avoir honoré d'être rapporteurs de cette thèse
d'habilitation et pour avoir accepté de faire partie de ce jury. Enrique
Zuazua a aussi accepté d'être rapporteur et je lui en suis
vivement reconnaissant.
Je voudrais exprimer toute ma gratitude à Jean-Michel
Coron, Frédéric Jean et Jean-Paul Gauthier pour avoir
accepté de faire partie de ce jury. Leur présence m'honore et est
un grand plaisir.
Je remercie chaleureusement Andrei Agrachev, à qui je
dois scientifiquement tellement du peu que j'ai pu atteindre, pour avoir
accepté de faire partie de ce jury, avant qu'un empêchement nous
prive du plaisir de sa présence ici aujourd'hui.
Les résultats présentés dans les pages
qui suivent, ainsi que ceux qui ont occupé les mois qui se sont
écoulés depuis le commencement de la rédaction de cette
thèse d'habilitation, sont le fruit de la collaboration avec des
nombreux amis et collègues que je tiens à remercier vivement :
merci à María Barbero-Liñán, Grégoire
Charlot, Thomas Chambrion, Jamal Daafouz, Roberta Ghezzi, Paolo Mason, Yannick
Privat, Ulysse Serres, François Alouges, Karine Beauchard, Alexandre
Bombrun, Antoine Chaillet, Martin Gugat, Fouad El Hachemi, Falk Hante, Antonio
Loría, Jean-Baptiste Pomet, Pierre Riedinger, Dominique Sugny et
Jean-Claude Vivalda.
Je voudrais aussi exprimer ma gratitude aux coéquipiers
de MIAOU, APICS et CORIDA et en particulier à Bilal Atfeh, Juliette
Leblond, Karim Ramdani et Takéo Takahashi, pour leur écoute et
soutien, avec une mention particulière pour Bilal et Takéo, qui
m'ont eu comme copain de bureau et qui ont su stoïquement endurer mon
désordre débordant.
Pour terminer, je ne peux pas manquer de remercier ceux qui,
de manière directe ou indirecte, ont rendu possibles les travaux
présentés ici : ma famille chérie, bien sûr, ainsi
que les amis de Nancy, Nice, Udine ou ailleurs, et en particulier Natasha,
Marco, Ilaria, Francesca, Laura, Maurizio, Assia, Marius, Guillaume, Camille et
Justine. Merci.
Table des matières
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1
2
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Travaux de recherche 8
Introduction 11
Commandabilité et commande des systèmes non
linéaires de dimension finie 15
1.1 Problème de
Dubins sur des surfaces à courbure négative [MS.10] 15
1.2 Suivi de trajectoire pour un sous-marin dont le mouvement est
régi par les lois
de Kirchhoff [MS.7] 17
1.3 Propriétés de commandabilité d'une
classe de systèmes modélisant la nage de
micro-organismes [MS.3] 19
Contrôle quantique et propriétés
génériques de l'équation de Schrödinger
23
|
|
2.1
|
Commandabilité de l'équation de Schrödinger
bilinéaire à spectre discret [MS.5] .
|
23
|
|
2.2
|
Commandabilité de la rotation d'une molécule
quantique [MS.20]
|
26
|
|
2.3
|
Généricité des propriétés des
fonctions et valeurs propres de l'équation de Laplace-
|
|
|
|
Dirichlet [MS.4]
|
27
|
|
2.4
|
Généricité par rapport aux potentiels de la
commandabilité de l'équation de Schrö-
|
|
|
|
dinger bilinéaire à spectre discret [MS.1]
|
29
|
|
3
|
Stabilité et stabilisation des systèmes
hybrides
|
33
|
|
3.1
|
Stabilité des systèmes à commutations non
linéaires sur le plan [MS.9]
|
33
|
|
3.2
|
Systèmes soumis à une condition d'excitation
persistante [MS.6,23]
|
35
|
|
3.3
|
Analyse de stabilité des systèmes linéaires
à commutations à temps discret par le
|
|
|
|
biais de fonctions de Liapounov quadratiques [MS.27]
|
37
|
|
4
|
Géométrie presque riemannienne
[MS.2,8,15]
|
39
|
|
Perspectives de recherche
|
47
|
Travaux de recherche
Résumé
|
Type de publication
|
#
|
|
Revues internationales
|
14
|
|
Revues nationales
|
4
|
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Conférences internationales
|
16
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|
Rapports de recherche soumis à publication
|
4
|
Articles parus dans des revues internationales avec
comité de lecture
[MS.1] P. MASON ET M. S., Generic controllability properties
for the bilinear Schrödinger equation, Communications in Partial
Differential Equations, à paraître.
[MS.2] A. A. AGRAcHEV, U. BOScAIN, G. CHARLOT, R. GHEZZI ET M.
S., Two-dimensional almost-Riemannian structures with tangency points,
Annales de l'Institut Henri Poincaré (C) Analyse Non Linéaire,
à paraître.
[MS.3] M. S. ET J.-C. VIVALDA, Controllability properties
of a class of systems modeling swimming microscopic organisms, ESAIM :
Control, Optimisation and Calculus of Variations, à paraître.
[MS.4] Y. PRIVAT ET M. S., The squares of the
Laplacian-Dirichlet eigenfunctions are generically linearly independent,
ESAIM : Control, Optimisation and Calculus of Variations, à
paraître.
[MS.5] T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET U. BOScAIN,
Controllability of the discrete-spectrum Schrödinger equation driven
by an external field, Annales de l'Institut Henri Poincaré (C)
Analyse Non Linéaire, 26 (2009), pages 329-349.
[MS.6] A. CHAILLET, Y. CHITOUR, A. LORIA ET M. S., Uniform
stabilization for linear systems with persistency of excitation. The neutrally
stable and the double integrator cases, Mathematics of Control, Signals,
and Systems, 20 (2008), pages 135-156.
[MS.7] T. CHAMBRION ET M. S., Tracking control for an
ellipsoidal submarine driven by Kir-
chhoff's laws, IEEE
Transactions on Automatic Control, 53 (2008), pages 339349.
[MS.8] A. A. AGRAcHEV, U. BOScAIN ET M. S., A
Gauss-Bonnet-like formula on two-dimensional almost-Riemannian manifolds,
Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A, 20 (2008), pages 801822.
[MS.9] U. BOScAIN, G. CHARLOT ET M. S., Stability of planar
nonlinear switched systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems
Series A, 15 (2006), pages 415432.
[MS.10] M. S. ET Y. CHITOUR, Dubins' problem on surfaces II :
Nonpositive curvature, SIAM Journal on Control and Optimization, 45
(2006), pages 457482.
[MS.11] Y. CHITOUR ET M. S., Dubins' problem on surfaces. I.
Non-negative curvature, Journal of Geometrical Analysis, 15 (2005), pages
565587.
[MS.12] M. S., Local regularity of optimal trajectories for
control problems with general boundary conditions, Journal of Dynamical
and Control Systems, 11 (2005), pages 91-123.
[MS.13] A. A. AGRAcHEV ET M. S., On the local structure of
control functions corresponding to time-optimal trajectories in
R3, SIAM Journal on Control and Optimization, 42 (2003), pages
513-531.
[MS.14] G. ALESSANDRINI ET M. S., Geometric properties of
solutions to the anisotropic p-Laplace equation in
dimension two, Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ.
Mathematica, 21 (2001), pages 249-266.
Articles parus dans des revues nationales
[MS.15] U. BOScAIN ET M. S., High-order angles in
almost-Riemannian geometry, Actes de Séminaire de Théorie
Spectrale et Géométrie, 25 (2008), pages 41-54.
[MS.16] A.A. AGRAcHEV, U. BOScAIN ET M. S., Two-dimensional
almost-Riemannian manifolds, Lecture notes of Seminario Interdisciplinare
di Matematica, 6 (2007), pages 17-31.
[MS.17] M. S., Regularity properties of optimal trajectories
of single-input control systems in dimension three, Journal of
Mathematical Sciences, 126 (2005), pages 1561-1573.
[MS.18] A. BRAIDES, M. S. GELLI ET M. S., The passage from
non-convex discrete systems to variational problems in Sobolev spaces : the
one-dimensional case, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,
236 (2002), pages 395-414.
Articles pour des conférences internationales avec
comité de lecture
[MS.19] F. ALOuGES, K. BEAucHARD ET M. S., Magnetization
switching in small ferromagnetic ellipsoidal samples, Proceedings of the
48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.
[MS.20] U. V. BOScAIN, T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET D.
SuGNY, Controllability of the rotation of a quantum planar molecule,
Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai,
Chine, 2009.
[MS.21] T. CHAMBRION ET M. S., Simultaneous approximate
tracking of density matrices for a system of Schrödinger equations,
Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai,
Chine, 2009.
[MS.22] M. S., P. MASON, U. V. BOScAIN ET T. CHAMBRION,
Generic controllability properties for the bilinear Schrödinger
equation, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control,
Shanghai, Chine, 2009.
[MS.23] Y. CHITOuR ET M. S., On the stabilization of
permanently excited linear systems, Proceedings of the 48th IEEE
Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.
[MS.24] A. A. AGRAcHEV, U. V. BOScAIN, G. CHARLOT, R. GHEZZI
ET M. S., Two-dimensional almost-Riemannian structures with tangency
points, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control,
Shanghai, Chine, 2009.
[MS.25] P. RIEDINGER, M. S. ET J. DAAFOuZ, On the
observability of the flying capacitor converter, Proceedings of the 10th
European Control Conference, Budapest, Hongrie, 2009.
[MS.26] T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET U. V. BOScAIN,
Controllability properties of discrete-spectrum Schrödinger
equations, Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and
Control, Cancun, Mexique, 2008.
[MS.27] P. MasoN, M. S. ET J. Daafouz, On stability
analysis of linear discrete-time switched systems using quadratic Lyapunov
functions, Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and
Control, Nouvelle Orléans, USA, 2007, pages. 5629-5633.
[MS.28] A. ChaillET, Y. ChiTour, A. Loria ET M. S.,
Towards uniform linear time-invariant stabilization of systems with
persistency of excitation, Proceedings of the 46th IEEE Conference on
Decision and Control, Nouvelle Orléans, USA, 2007, pages 6394-6399.
[MS.29] M. GugaT, M. S. ET M. TucsNak, Robustness analysis
for the boundary control of the string equation, Proceedings of the 9th
European Control Conference, Kos, Grèce, 2007.
[MS.30] T. ChambrioN ET M. S., Controllability and output
tracking for an ellipsoidal submarine driven by Kirchhoff's laws, 32nd
Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society (IECON-2006),
pages 567-572.
[MS.31] Y. ChiTour ET M. S., Controllability of the Dubins
Problem on Surfaces, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision
and Control, Séville, Espagne, 2005, pages 1439- 1444.
[MS.32] U. V. BoscaiN, G. CharloT ET M. S., Stability of
Nonlinear Switched Systems on the Plane, Proceedings of the 44rd IEEE
Conference on Decision and Control, Séville, Espagne, 2005, pages
3285-3290.
[MS.33] A. BombruN, J.-B. PomET ET M. S., Mechanical
Systems and Rendez-Vous Controllability, Proceedings of the 44rd IEEE
Conference on Decision and Control, Séville, Espagne, 2005, pages
8271-8275.
[MS.34] Y. ChiTour ET M. S., On the controllability of the
Dubins' problem for surfaces, in Proceedings of SSSC04 - Second IFAC
Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca, Mexique, 2004, pages
614-616.
Rapports de recherche soumis à
publication
[MS.35] Y. ChiTour ET M. S., On the stabilization of
persistently excited linear systems.
[MS.36] P. RiEdiNgEr, M. S. ET J. Daafouz, On the
characterization of invariant sets of switched linear systems.
[MS.37] M. GugaT ET M. S., Star-shaped string networks :
Switching boundary feedback stabilization.
[MS.38] M. BarbEro-LiñáN ET M. S., High order
sufficient conditions for tracking.
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