Introduction à la géométrie non-euclidienne

CONCLUSION

Nous voici arrivé au terme de notre expédition dans l'univers de la géométrie noneuclidienne. On l'aura constaté, c'est un domaine très vaste et qui reste encore à explorer. Néanmoins, le but de notre travail était d'essayer de comprendre pourquoi et comment les mathématiciens, dans leurs recherches, en sont arrivés à la géométrie non-euclidienne.

Pour ce faire, nous sommes partis de l'héritage nous léguer par Euclide à travers ses Eléments où il formalisa toute sa théorie avec diverses définitions et cinq postulats fondamentaux. Parmi ces postulats, il en est un qui fit couler beaucoup d'encre. C'est le cinquième, celui connu sous le nom de postulat des parallèles. Le fait qu'il n'était pas accepté et donc modifié engendra de nombreuses années après Euclide ce que nous appelons aujourd'hui les géométries courbes. Ces géométries sont tout aussi cohérentes que celle d'Euclide. Elles ne sont pas nées pour supprimer la géométrie euclidienne mais plutôt pour la compléter.

Ce qu'on appelle alors géométrie riemannienne (géométrie non-euclidienne) est une généralisation, à des espaces de dimensions quelconques, de la notion de courbure introduite par Gauss, des géométries de Gauss, Bolyai, Lobatchevski et même celle d'Euclide. Celles-ci ne devenant que des exemples particuliers de géométries riemanniennes.

Nos recherches personnelles sur Internet nous ont conduit à la découverte du logiciel NonEuclid. Celui-ci nous a permis de représenter les droites telles que vues dans l'espace courbe de la géométrie hyperbolique.

Au cours de l'élaboration de sa géométrie, Riemann eut l'intuition que « puisqu'elle était plus vaste et générale que celle d'Euclide, elle était peut-être, malgré les apparences, plus en accord avec le monde réel¹». C'est ainsi que la géométrie non-euclidienne a donné une impulsion considérable à de grandes théories comme celle de la relativité générale et a permis plusieurs avancées dans différents domaines tels que la physique, l'astrophysique, l'astronomie, l'aviation, la navigation, etc.

La géométrie n'est donc pas quelque chose de figer il y a 3000 ans en Grèce. C'est un champ de recherche actif et actuel. Voilà pourquoi les efforts fournis dans ce travail pour comprendre la géométrie non-euclidienne laissent les portes grandes ouvertes à quiconque voudrait aller plus loin.

¹ Article lu sur http://www.futura-sciences.com/fr/comprendre/dossiers/doc/t/physique/d/relativite-generalecomment-lespace-temps-devint-dynamique_510/c3/221/p5/

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