1.6.2. Espace affine euclidien
Définition 1.25.
Un espace affine euclidien est un espace
affine associé à un espace vectoriel euclidien. On peut y
définir une distance, des notions d'angle géométrique et
on retrouve en particulier la propriété de Pythagore et sa
réciproque ainsi que celle de la somme des angles d'un triangle.
Remarque 1.15.
Les transformations fondamentales des espaces affines
euclidiens sont les isométries, transformations conservant les
distances, on démontre que ce sont des applications affines dont
l'application linéaire associée est un automorphisme
orthogonal.
Definition 1.26.
Un espace euclidien est un espace affine E de
dimension finie sur le corps des réels, tel que, sur l'espace vectoriel
associé X, on ait choisi un produit scalaire.
Si A, B, C, D sont quatre points de E, AB
et CDsont deux vecteurs de X dont le produit scalaire
est noté AB . CD.
Definition 1.27.
On appelle distance sur un ensemble E une application
d de E × E dans l'ensemble + des nombres
réels positifs ou nul qui a les propriétés suivantes :
d(A, B) = 0 équivaut à A = B
(1.31.)
d(A, B) = d (B, A) pour tous les
couples d'éléments A,B de E. (1.32.)
Quels que soient les trois points A, B, C de E
on a :
d ( A ,C ) = d( A
,B ) +dB ,C . (1.33.)
Cette inégalité est l'inégalité
triangulaire.
Definition 1.28.
Soit E un espace euclidien de dimension n.
O un point de E, (e1 , . . . ,
en une base de l'espace X associé à
E. Le repère { O ; e1
,...,en est dit orthonormé si (
e1 , ... , en est une base
orthonormée de X.
Definition 1.29.
Soient F et G deux sous-espaces affines propres
de l'espace euclidien E ; nous dirons
~ ~
que F et G sont orthogonaux si leurs
directions F et G sont deux sous-espaces
vectoriels
orthogonaux de l'espace vectoriel euclidien X
c'est-à-dire si, pour tout couple (A, B) de points de
F et tout couple (C, D) de points de G, les vecteurs
AB et CDsont orthogonaux. Definition
1.30.
On appelle isométrie d'un espace euclidien
E une application p de E dans lui-même qui conserve les
distances :
Quels que soient P E Q E d P Q d P Q
? , ? , ( ( ) , (
? ? = , ) .
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