UNIVERSITY OF FES, FACULTY OF SCIENCES DHAR
EL
MAHRAZ, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
MASTER MATHEMATIQUES,INFORMATIQUE
ET
APPLICATIONS
MEMOIRE DE FIN D'ETUDE
Les Différentes Notions D'Inversibilité et
Applications
Préparé par : Adil BOUHRARA
'
Encadré par : Pr.Abdelaziz TAJMOUATI
Soutenue le 06 /07/2012
Devant la Commission d'Examen
JURY
Pr. Mostapha ECH-CHERIF EL KETTANI Examinateur
Pr. Rachid AMEZIANE HASSANI Examinateur
Pr. Abdelaziz TAJMOUATI Examinateur
Année universitaire 2011-2012
Remerciement
Je tiens a` saluer ici toutes les personnes qui ont
contribué, de prés ou de loin, a` faire de ces deux
années de Master, une période extràemement riche
sur le plan personnel. Je remercie tous ceux qui ont eu la volonté , la
patience et parfois l'amitié de m'accompagner, de me conseiller dans
l'apprentissage des mathématiques.
En premier lieu, je tiens a` exprimer ma profonde
gratitude a` mon encadrant le responsable de Master Pr.Abdelaziz
TAJMOUATI qui a toujours su faire preuve, durant ces deux années, d'une
grande disponibilité, d'une écoute et d'une
générosité sans faille. Au dela de ses qualités
mathématiques bien connues de tous, il a été pour moi un
vrai plaisir d'effectuer mes débuts dans la recherche a` ses
càotés. Son implication a été la source
d'une motivation constante, sa rigueur et sa créativité resteront
pour moi un exemple.
J'exprime aussi mes vifs remerciements aux professeurs
Mostapha ECH-CHERIF EL KATTANI et Rachid AMEZIANE HASSANI membres de jury pour
m'avoir fait l'honneur d'accepter d'àetre dans cette
soutenance.
Merci a` ceux qui, autour d'un café, d'un
sandwich, ont toujours su introduire une bonne dose d'humour lors de nos
longues journées de préparation prouvant ainsi au jour le jour
que les mathématiques n'ont rien d'une science froide et
austère.
Il me serait très difficile, voir
malhonnàete, de passer sous silence le ràole
fondamental qu'ont joué mes collègues dans cette formation de
Master. Je tiens a` leur exprimer ici toute ma gratitude.
Je tiens enfin a` avoir une pensée
particulièrement affectueuse pour mes parents, mes frères et ma
soeur et ceux qui depuis de nombreuses années me couvent de leur amour
ou de leur amitié. A tous, sincèrement, je dis merci.
Table des matières
Notations iv
Introduction générale 1
I Généralités sur les
C*-algèbres 3
1 les C*-algèbres 3
1.1 Définitions 3
1.2 Adjonction de l'unité 3
1.3 Les C*-algèbres 4
1.4 Spectre d'un élément d'une algèbre
5
2 Rayon spectral 5
3 Elémént positif d'une
C*-algèbre 6
II Inverse généralisé dans une
algèbre 8
1 Inverse généralisé dans une algèbre
8
2 Moore-Penrose inverse dans C*-
algèbre 10
2.1 Définitions 10
2.2 Méthodes de calcul de l'inverse de Moore-Penrose dans
Mn,m(C) 13
3 Le produit et l'inverse de Moore-Penrose 14
4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments
hermitiens : 16
5 Caractérisation des éléments Moore-Penrose
hermitiens : 17
IIIInverse de Drazin 18
1 Inverse de Drazin 18
2 Points spectraux isolés 20
3 Applications 22
Table des matières
4 Les éléments quasi-polaires et polaires d'une
algèbre 22
5 Propriétés de l'inverse de Drazin 25
6 Représentations de l'inverse de Drazin 28
IV Continuité de l'inverse de Drazin et de
Moore-Penrose 36
1 Moore-Penrose inverse et Drazin inverse dans
C*-algèbre 36
2 Quasi-Polarité et Moore-Penrose inversibilité
37
3 Représentations de l'inverse de Moore-Penrose 39
4 Continuité de l'inverse de Drazin 41
V Eléments qui coummutent avec l'inverse de
Moore-Penrose 43
1 Préliminaire 43
2 Eléments qui commutent avec son inverse de Moore-Penrose
44
3 Produit des éléments qui commutent avec l'inverse
de Moore-Penrose 46
4 Continuité de Moore-Penrose 47
5 Applications 48
5.1 Inverse généralisé d'un opérateur
non borné 48
5.2 Inverse de Moore-Penrose pour les opérateurs
fermés bornés 49
5.3 Inverse de Drazin pour les opérateurs linéaires
fermés 50
6 Le coeur d'un opérateur Drazin inversible 53
6.1 Le gap de deux sous espaces fermés 53
6.2 Le gap et l'inverse de Drazin 56
Bibliographie 58
Notations
N(A) l'ensemble des éléments
nilpotents d'une algèbre A.
QN(A) l'ensemble des éléments
quasi nilpotent d'un anneau A.
comm(a) = {x E A : ax
= xa}.
comm2(a) = {x E A
: xy = yx pour tout y E
comm(a)}.
Inv(A) l'ensemble des éléments
inversibles de A.
Ab l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse généralsé .
Ad l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse généralsé de Drazin. AD
l'ensemble des éléments de A qui admettent un
inverse de Drazin.
A+ l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse de Moore-Penrose. H(Q) l'ensemble des
fonctions holomorphe sur 11.
acc(A) l'ensemble des points d'accumulation de
l'ensemble A.
iso(A) l'ensemble des points d'accumulation de
l'ensemble A.
p(a) l'ensemble résolvent de
a.
pA(a) l'application résolvente de
a.
Introduction générale
Beaucoup de problèmes dans la théorie des
algèbres ,contràole optimal,théorie spectrale ...
sont liés a` la notion d'inversibilité des
éléments d'une algèbres ou s'y ramènent.
C'est pourqoui certains Mathématiciens ont pensé
a` introduire des nouvelles notions d'inversibilité qui sont
utiles aux problèmes cités auparavant. Parmi ces
Mathématiciens nous retenons J.Von Neumann,I.Kaplansky, M.Z.Nached,
C.R.Cardus, J.J.Koliha ...et bien d'autres.
En 1936 J.Von Neumann a introduit la notion d'inverse
généralisé pour les éléments d'un anneau,
plus tard et plus précisément en 1948 I.Kaplansky, a donné
une extension de cette notion pour les algèbres, ensuite la notion
d'inverse de Moore-Penrose s'est traitée par Eliakim Hastings Moore et
Roger Penrose indépendamment, et en 1958 Drazin a` son tour a
donné une autre extension de la notion d'inverse
généralisé nommé par son nom "inverse de Drazin"
ceci a fait l'objet de plusieurs articles publiés récemment par
J.J.Koliha , Enrico Boasso et V.Rakocevic.
Dans ce travail on s'intéresse a`
l'étude des différentes notions d'inversibilité en se
basant essentiellement sur les articles de J.J.Koliha puisque il a
redémontré presque tous les résultats de l'inverse de
Moore-Penrose en utilisant l'inverse de Drazin contrairement aux autres
chercheurs. Pour cela, on adoptera le plan suivant :
le chapitre I sera consacré aux différents
résultats qui seront utilisés dans les chapitres qui suivent.
le chapitre II sera réservé a` la notion
d'inverse généralisé en se basant sur l'article de
M.Z.Nached puis on introduit la notion d'inverse de Moore-Penrose.
le chapitre III a pour but d'introduire la notion d'inverse de
Drazin en étudiant les artciles de J.J.koliha.
le chapitre IV est
consacré a` l'étude des conditions sous lesquelles
l'inverse de Moore-Penrose ainsi
Introduction générale
que l'inverse de Drazin sont continues.
Dans le chapitre V, on applique les résultats
précédents aux opérateurs bornés , non
bornés et aux opérateurs fermés .
Chapitre I
Généralités sur les
C*-algèbres
1 les C*-algèbres
1.1 Définitions
Definition 1.1 Soit A un ensemble non vide,
on dit que (A, +, ., x) est une algèbre si
:
1. (A, +, .) est un C espace
vectoriel.
2. (A, +, x) est un anneau.
3. a(x x y) = (ax) x y
= x x (ay).
Pour tous x, y, z dans A et a dans C.
De plus :
on dit que A est unitaire si l'anneau (A,
+, x) est unitaire (unité par x). on dit que A est
commutative si l'anneau A est commutative.
on dit que A est normée si 11xy11 <
11x1111y11,Vx,y E A pour une certaine
norme 1111 ,et si A est complet
pour cette norme alors A est dite une algèbre de
Banach.
Definition 1.2 On dit que B est une sous
algèbre de A, si (B,+,.) est un sous espce
vectoriel de A et (B,+, x) est un sous anneau
de (A, +, x).
1.2 Adjonction de l'unité
Si l'algèbre A n'est pas unitaire, alors on lui
adjoint une unité de la façon suivante :
Posons Al = A x C.
On munit Al par les lois +,., et x
définis par VA E C,Va E C et Va, b E
A
1. A(a, a) = (Aa, Aa) E
Al
2. (a, a) + (b, 0) = (a + b,
a + 0).
3. (a, a) x (b, 0) = (a x b
+ ab + 0a, a0).
I.1 les C*-algèbres
Donc (A1, +, x) est une algèbre
sur C, unitaire d'unité (0, 1) = e, et on injecte
A dans A1 de la façon suivante :
A r? A1
a - (a,0)
on identifie donc A1 avec A x {0}.
1.3 Les C*-algèbres
Une application x -~ x d'une algèbre
A dans A est appelée une involution si les conditions
suivantes sont satifaites pour tout x, y E A :
- (x + y)* = x*
+ y*.
- (Ax)* =
Ax*.
- (xy)* =
y*x*.
- (x*)* = x.
Définition 1.3 Une algèbre
involutive A munie d'une norme vérifiant Ix* I
= Ix I est appelée une algèbre normée
involutive .
Proposition 1.1 Si A admet un
élément neutre e, alors e* = e.
Preuve:
En effet, on a : e =
(e*)* =
(e*e)* = e*e
= e*.
Exemple 1.1 1. Soit A l'algèbre de
Banach des fonctions bornées sur un ensemble S munie de la
norme Ix I = suptES
Ix(t)I.
On munit A de l'involution : A -+ A, x -+
x. Alors A est une algèbre de Banach involutive.
2. Soit H un espace de Hilbert sur C
et A = Lc = {u : H
- Hlineaire continue},d'après le
théorème de Riesz
Vu E A, ?!u* E A tel
que :< u(x),y >=<
x,u*(y) >,Vx,y E A et
Iu* I = Iu I, l'application A -~
A, u -~ u est une involution, et l'algèbre de Banach A est
involutive.
Définition 1.4 Une algèbre
de Banach munie d'une involuiton x - x de A dans A qui satisfait
: Ix*x I = Ix I2 pour
tout x E A est appelée une
C*-algèbre. Un élément x E A
est dit hemitien si x = x*.
Remarque 1.1 Toute C algèbre est une
algèbre involutive .
En effet, pour tout x E A non nul : Ix
I2 = Ix*x I Ix* I
Ix I = Ix I Ix* I.
et Ix I = I(x*)* I ~
Ix* I ,donc Ix* I = Ix I.
I.2 Rayon spectral
1.4 Spectre d'un élément d'une algèbre
.
Définition 1.5 Soient A une
C*-algèbre d'unité e et a E A, le
spectre de a est défini par cTA(a) =
{A E C : x - Ae ?6
Inv(A)}.
L'ensemble résolvant de a est défini par
p(a) = {A E C : x - Ae E
Inv(A)}. L'application résolvante de a
notée RA(a) = (Ae - a)-1,
avec A E p(a).
Proposition 1.2 Soit A une
C*-algèbre, alors pour tout élément x
auto adjoint on a : aA(x) C R.
Preuve: Soit (a + i/3) E
aA(x), avec a, /3 E R.
VA E R :a + l(A +
/3) E aA(x + Aie).
d'autre part :Ia + i(A + /3)1
= kx + AieI
= a2 + (A + /3)2
= Ix + AieI2 = Ix +
AiekIx* - AieI = Ixx*
+ A2eI = kxx*I +
A2 = IxI2 + A2.
Donc 2a/3 < IxI2 - a2 -
/32,VA E R.
ceci, n'est vraie que si /3 = 0, ainsi
o-A(x) C R pour tout élément auto adjoint.
Proposition 1.3 Soit A une algèbre de
Banach unitaire muni d'une involution,alors pour tout x E A et pour
tout A E C :
- a(Ae -- x) = A --
a(x).
- a(x*) =
ó(x).
- a(xy) U {0} = a(yx) U
{0}.
2 Rayon spectral
Définition 2.1 Le rayon spectral de a
est donné par :r(a) = sup{IA , A E
ó(a)}.
Th'eor`eme
2.1 r(a) = limn.~8kanI 1
n= infnEN kank n
1 .
Proposition 2.1 Soit x, y E A une
algèbre normée et a E C.
1. 0 < r(x) = kxI.
2. r(ax) =
IaIr(x).
3. r(xk) =
r(x)k, pour tout entier k non
nul.
4. r(xy) =
r(yx).
5. si xy = yx alors
- r(xy)
r(x)r(y).
- r(x + y) <
r(x) + r(y).
6. Si A est commutative, alors x -+
r(x) est une semi norme d'algèbre.
7. L'application x - r(x) est semi
continue superierement.
Définition 2.2 un
élément x E A o`u A une
C*-algèbre : - est normal si x*x
= xx*.
- est unitaire si x*x = xx
= e.
Proposition 2.2 Soit A une algèbre de
Banach unitaire, alors pour tout a E A. On a :
1. QA(a) est un compact de
C.
2. Le plus petit disque fermé de centre
0,contenant aA(a) a pour rayon
r(x).
Th'eor`eme 2.2
Soit A une algèbre de Banach unitaire et x E
A.
1. La série >n>0
Anxn (o`u A E C)
considérée comme série entière en A a`
coefficients dans A admet r(x) comme rayon de
convergence.
1
2. Si r(x) < 1,alors e -
x est inversible et on a : (e - x)-1 =
> n~0 xn.
3. L'ensemble Inv(A) est un ouvert de
A.
Th'eor`eme
2.3 Soient A une C*-algèbre et x E
A.
1. Six est normal,alors r(x) =
IxI.
2. Si x est unitaire,alors a(x) = {A
E C : Al = 1}.
3. Six est auto adjoint,alors a(x) c
[--lxl, lxl].
3 Elémént positif d'une
C*-algèbre
Définition 3.1 Soient A une
algèbre de Banach munie d'une involution et x E A. On dit que x
est positif si x est auto adjoint et a(x) c [0, +oo[
; On écrit x > 0.
Lemme 3.1 Soit A une
C*-algèbre unitaire, alors
1. Un élément x E A est positif si et
seulement si e - x
kxkk = 1.
2. Si x = x* ,
lxl < 1 et le - xl < 1,
alors x est positif.
Th'eor`eme
3.1 Si A est une C*-algèbre unitaire et
B une sous C*-algèbre de A,alors :
p(a) est connexe = aA(x) =
cTB(x).
Proposition 3.1 Soient A une
C*- algèbre et B une sous C*-
algèbre de A , alors un élément x E B est
inversible dans A si, et seulement si, il est inversible dans B.
Th'eor`eme
3.2 Soient A une C*-algèbre et x E
A, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1. x est positif.
2. x = yy pour un y E A.
Th'eor`eme
3.3 Soit A une algèbre de Banach unitaire. Alors
1. Pour toute fonction f E
H(a(x)),
a(f(x)) =
f(a(x))
pour tout x E A.
2. Si de plus A est une
C*-algèbre et x est normal, alors
a(f(x)) = f(a(x)) pour
toute f E C(a(x)).
Th'eor`eme
3.4 [Fuglede] Soient a et b deux éléments
d'une C*-algèbre. Si a est normal et ab =
ba,alors a*b =
ba*.
Chapitre II
Inverse généralisé dans une
algèbre
1 Inverse généralisé dans une
algèbre
Définition 1.1 Soit A une
algèbre unitaire .
On dit que a E A est régulier si a E
aAa : c - a` - d il existe b E A tel que a
= aba, dans ce cas on dit que b est l'inverse
généralisé de a. On note par
Aà l'ensemble des éléments
de A qui admettent un inverse généralisé.
|
Exemple 1.1 Soit A = M2(C)
l'algèbre des matrices a` coefficients dans C et a
= Alors a admet un inverse généralisé a`
savoir a car a est idempotent.
|
!
1 1 .
0 0
|
Remarque 1.1 1. L'inverse
généralisé n'est pas unique, en effet : l'inverse a`
gauche ou a` droite
est un inverse généralisé.
2. L'inverse usuel est un inverse
généralisé.
3. Soit A une C*-algèbre, si a
est régulier d'inverse généralisé b alors
a* est régulier d'inverse
généralisé b*.
Proposition 1.1 Si b est l'inverse
généralisé de a, alors
1. ab et ba sont idempotents.
2. abA = aA ;
(e--ba)A=a-1(0) ; Aba
= Aa et A(e -- ab) = a_1(0).
o`u a-1(0) = {x E A : ax =
0} et a_1(0) = {x E A : xa =
0}.
Preuve:
1. On a : (ab)2 = abab = ab
et (ba)2 = baba = ba.
2. Si x E aA == ?y E A tel
que x = ay et puisque a = aba, alors x
= abay = abx == x E abA, or bA
C A car bA est un ideal de A.
Donc abA C aA d'o`u abA
= aA.
Idem Aba = Aa.
II.1 Inverse généralisé dans une
algèbre
3. Montrons que (e - ba)A =
a-1(0).
On a :Vx E A,ax = abax alors
a(e - ba)x = 0 == (e -
ba)x E a-1(0).
Donc (e - ba)A c
a-1(0).
Inversement,on a ax = 0 bax = 0.
car ax = 0 =' bax = 0 et bax = 0 =
abax = 0 donc ax = 0
alors six E A tel que ax = 0 donc
x = (e--ba)x, et donc x E
(e--ba)A donc a-1(0) C
(e--ba)A.
Remarque 1.2 Soient A une algèbre
normée et a E A. On associe a` a l'opérateur de
multiplication a` gauche
La : A -? A
x '-? ax
l'opérateur de multiplication a`
droite
Ra : A -? A
x '-? xa
les deux opérateurs La et Ra
sont continues car:
ILaI = kaI et
IRaI = kaI.
donc a-1(0) = L-1
a = {x E A : ax = 0} et
a_1(0) = R-1
a = {x E A : xa = 0} sont
fermés.
Proposition 1.2 Soient A une algèbre
normée et a E A. si a est régulier alors aA et Aa sont
fermés.
Preuve: Si a est régulier, alors
a = aba. On pose p = ba et q =
ab.
Alors aA = qA = (e -
q)-1(0) et Aa = (e - p)-1(0)
,comme les applications x '-? (e - q)x et
x F-? x(e - p) sont continues,donc aA
et Aa sont fermés.
Proposition 1.3 Soit A une algèbre
unitaire et a E A. Alors a est régulier, si et seulement si aba
- a est régulier pour un b E A.
Preuve: Si a est régulier,alors
il existe b E A tel que :aba - a =
0,d'o`u aba - a est
régulier car 0 l'est.
Inversement , si aba - a est régulier
alors il existe c E A tel que
(aba - a)c(aba - a)
= aba - a. On a donc :
a = aba - (aba -
a)c(aba - a) = a[ba --
(ba -- e)c(ab -- c)]a =
a(b -- c + bac + cab --
bacab)a.
d'o`u a est régulier.
Il est bien connu que si a, b E
Inv(A), alors (ab)-1 =
b-1a-1,voyons ce qui se passe pour
l'inverse généralisé.
Th'eor`eme
1.1 Soient A une algèbre et a, b deux
éléments réguliers de A d'inverses
généralisés respectifs a',
b'. Posons p = bb' et q =
a'a,alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. b'a' est un
inverse généralisé de ab.
2. a(pq -- qp)b =
0.
3. qp est idempotent.
Preuve:
1. 1 = 2].Remarquons que a = aq et b
= pb,donc :
abb'a'ab =
ab car b'a' est un inverse
généralisé de ab ,d'o`u apqb =
abb'a'ab = ab =
aqpb. Ainsi, apqb = aqpb , c-`a-d
a(pq - qp)b = 0.
2. 2 = 3] Si a(pq - qp)b =
0,alors a'a(pq -
qp)bb' = 0, ou encore q(pq -
qp)p = 0,donc qpqp -
q2p2 = 0.
Ainsi, (qp)2 = qp car p, q
sont idempotents.
3. 3 = 1] Si (qp)2 = qp. En
multipliant a` gauche par a et a` droite par
b, on obtient aqpqpb = aqpb. d'o`u,
aa'abb'b =
aa'abb'b, donc
abb'a'ab = ab , et
par suite b'a' est l'inverse
généralisé de ab.
Remarque 1.3 Dans le théorème
précédent la condition pq = qp est suffisant pour dire
que b'a' est l'inverse
généralisé de ab,mais pas nécessaire comme le
montre le contre exemple suivant :
Si A = M2(C). On
prend
a =
\ \
1 1 1 0
et b = ,
0 0 -1 0
alors a2 = a =
a' = q, b2 = b =
b' = p et ab = 0 = qp,
donc qp est idempotent, le théorème implique
que b'a' est un inverse
généralisé de ab, mais pq =6 pq.
2 Moore-Penrose inverse dans C"- algèbre
2.1 Définitions
Définition 2.1 Un
élément a E A d'une
C*-algèbre est Moore-Penrose inversible s'il existe
x E A tel que :
xax = x , axa = a,
(ax)* = ax, (xa)* =
xa. Remarque 2.1 Si A une
C*-algèbre d'unité e, alors
1. e+ = e
2. si a E Inv(A), alors
a+ = a-1.
Un tel élémnent x quand il existe il sera
noté par a+, l'ensemble des éléments
de A qui admettent un inverse de Moore-Penrose sera notée par
A+.
Proposition 2.1 Soit a, x deux
éléments d'une C*-algèbre A.
Alors
1. a = axa et (ax)* =
ax a = x*a*a.
2. a = axa et (xa)* =
xa a = aa*x*.
3. x = xax et (ax)* =
ax x = xx*a*.
4. x = xax et (xa)* =
xa x =
a*a*x.
Preuve:
1. =] On a : a = axa =
(ax)*a =
x*a*a.
2. =] Si a =
x*a*a, alors ax =
(ax)*(ax), ainsi
(ax)* =
(ax)*(ax),d0o`u
(ax) = (ax)*. On a : a =
x*a*a =
(ax)*a = (ax)a.
Idem pour 2,3,4.
Contrairement a` l'inverse
généralisé, l'inverse de Moore-Penrose quand il existe il
est unique.
Th'eor`eme 2.1
Si A une C*-algèbre, alors l'inverse de
Moore-Penrose est unique.
Preuve: Soient b,
b' deux inverses de Moore-Penrose de a.
Il suffit de montrer : b'a = ba
et ab' = ab car
b'ab' =
b'ab = bab,donc b' =
b.
On pose p = ba,q = ab, p' =
b'a et q' =
ab',
comme a = aba =
ab'a,alors p = p,
(p0)* = p0, q*
= q et (q0)* =
q'. Alors
p'p = b'aba
= b'a = p' et
pp' = bab'a = ba =
p.
de plus
p0 = (p0)* =
p0p =
p*(p0)* =
pp'.
donc
p0 = p'p =
pp' = p.
d'o`u b'a = ba. De
màeme,
q'p = abab' =
ab' = q' et q'q
= ab'ab = ab = q.
de plus
q' = (q0)* =
(q0)*q* =
q'q.
donc
q' = qq' =
q'q = q.
d'o`u ab' = ab.
Proposition 2.2 Soit a un
élément d'une C*-algèbre A,alors les
conditions suivantes sont équiva-
lentes :
1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.
2. a =
x*a*a et x =
a*x*x.
3. a =
aa*x* et x =
xx*a*.
Preuve: On applique la
proposition 2.1 [p.11] et la définition de l'inverse de
Moore-Penrose.
Proposition 2.3 Si a admet un
inverse de Moore-Penrose, alors
1. (a+)+ = a.
2. (a+)* =
(a*)+.
Preuve:
1. On remplace x par a+ et on applique
la définition une fois de plus.
2. On pose x =
(a+)*, alors
(a) a*xa* =
(aa+a)* = a*
(b) xa*x =
(a+aa+)* =
(a+)* = x
(c) (a*x)* =
x*a = a+a =
(a+a)* =
a*x
(d) (xa*)* =
aa+ = (aa+)* =
(a+)*a* =
xa*
donc x =
(a*)+.
Remarque 2.2 Les assertions
suivantes sont équivalentes
1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.
2. a* = a*ax et
x = x*xa.
3. a* = xaa* et
x = axx*.
Proposition 2.4 Soit a un
élément d'une C*-algèbre A, alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.
2. a* = xaa* et x
= xx*a*.
3. a =
aa*x* et x =
axx*.
4. a = a*ax et x =
a*x*x.
5. a =
x*a*a et x =
x*xa.
Preuve: La proposition 2.1[p.11] et
la remarque précédente.
Le théorème suivant va nous donner une
condition nécessaire et suffaisante pour qu'élément a
admet un inverse de Moore-Penrose.
Th'eor`eme
2.2 Un élément a dans une
C*-algèbre est Moore-Penrose inversible si et
seulement si a est régulier.
Preuve:
Si a est régulier,alors il existe b E A tel
que aba = a et bab = b.
Comme p = ba et q = ab sont auto
adjoints et idempotents (voir proposition 2.1 [p.38]) ,alors u =
p+p et v = qq+ existent.
Or ap = aba = a donc au = apu =
app+p = ap = a
d'o`u qa = a donc va = vqa
= qq+qa = qa = a et parsuite on
vérifie que l'élément x = ubv est l'inverse de
Moore-Penrose de a.
Reciproquement,chaque a E A+ est
régulier.
Th'eor`eme
2.3 Soit a un élément d'une
C*-algèbre unitaire A,les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. a admet un inverse de Moore-Penrose.
2. a est régulier.
3. aA est fermé. Preuve: 1 2 3
déj`a fait.
2.2 Méthodes de calcul de l'inverse de Moore-Penrose
dans Mn,m(C)
Soit A E
Mm,n(C),l'inverse
de Moore-Penrose de A est la matrice X telle que X E
Mn,m(C) vérifiant la
définition de Moore-Penrose .
Proposition 2.5 Soit x E
Cn. Alors x+ existe si et seulement
si x[*]x =6 0 (produit scalaire), dans ce
cas
x+ = 1
x[*]xx[*]
Preuve: 'Evidente.
Th'eor`eme
2.4 Soit A E
Mm,n(C). Alors
A+ existe si et seulement si, rg(A) =
rg(AA[*]) =
rg(A[*]A),o`u
A[*] = (At)*.
Preuve: On verra plus tard une
démonstration de ce théorème voir la Remarque
2.2[p.38].
Th'eor`eme
2.5 Soit A E
Mm,n(C) de
rg(A) = n. Alors A+ existe si et
seulement si, A[*]A est inversible,dans ce cas
A+ =
(A[*]A)-1A[*].
|
Exemple 2.1 Soit A =
|
?
? ? ?
|
1 0
0 1
1 1
|
?
" # " #
? 2 1 2 -1
?? , alors A[*]A = et
(A[*]A)-1 = 1 donc
A+ =
3
1 2 -1 2
|
" #
-1 2 1
2 -1 1
(A[*]A)-1A[*]
= 1
3
Th'eor`emee
2.6 Soit A E
Mm,n(C) de
rg(A) = m. Alors A+ existe si et
seulementt si,AA[*] est inversible, dans ce cas
A+ =
A[*](AA[*])-1..
Th'eor`emee
2.7 Soit A E
Mm,n(C)) et P(x) =
(-1)n(x +
-y1xn-1 +
-y2xn-22 + · · ·
+-yn-1xx + -yn))
le
polynàomee caractéristiquee de
AA*. Si =6 0 le plus grand entier tel que -y
=6 0,alors A+ est donnéee par
A+ =
--(-yk)-1A*[(AA*)k-11
-y1(AA*)k-22 +
·
·
· + -yk_2(AA*) +
-yk-1I]]
Exemple 2.2 Considéronss la
matrice A de l'exemple précédentt
?
? ? .
?-
?
1 0?
A = ? ? 0 1
1 1
Alors le polynàomee caractéristiquee
de AA* est P(x) =
(-1)3(x3 -- 4x2 +
3x),donc k = 2 et -y2 = 3,par
conséquentt
"
# 211 1
111A++==
13A4[AAA* -4I]]==
3
1 2 1 3 Le produit et l'inverse de Moore-Penrose
Th'eor`emee
3.1 Soit A une C*-algèbree et a, b deux
élémentss régulierss de A.tel que ab est régulier..
Posons p = bb+ , q =
a+a+** , r =
bb* et s = a+a.. Alors les
conditions suivantes sont equivalentes :
1. (ab)+ =
b+a+,,
2. a(pq -- qp)b+*
= 0 et a(rs -- sr)b+* =
0.
3. spqp = qp et srsp = sr.
Preuve: 1 = 2] Remarquons
que p, q, r et s sont des éléments hermitiens de A. En tenant
compte de la troisième assertion la proposition 2.4 [p12] on aura
:
a = aa*a+*
, b = bb*b+* , ab =
ab(ab)*(ab)+*,
a+*
= aa+a+* , b+*
= bb+b+* ,
(ab)+* =
ab(ab)+(ab)+*.
En utilisant encore la troisième assertion de la
proposition 2.4[p.12] on aura :
a = as,a+* = aq,b =
rb+*,b+* =
pb+*.
Supposons que (ab)+ =
b+a+. Alors, de
(ab)* = b*a*
et (ab)+* =
(b+a+)* =
a+*b+*, on obtient
ab =
abb*a*a+*b+*
et a+*b+* =
abb+a+a+*b+*,
d'o`u
asrb+* = arsb+* et
aqpb+* = apqb+*,
ainsi,
a(pq -- qp)b+* = 0 et
a(rs -- sr)b+* = 0.
d'o`u 2.
2 = 3] On a :
a+apqb+*b*
= a+aqpb+*b* ,
a+arsb+*b* =
a+asrb+*b*.
En tenant compte de la troisième assertion de la
proposition 2.4[p.12] du fait s = s* et p
= p* on aura :
spqp =
a+(aa+a+*)b(b+b+*b*)
= a+a+*bb+ =
qp.
srsp =
(a+aa*)a+*)a+*(bb*b+*b*
= a*a+*bb* =
sr.
3 = 1] De s = s* et p =
p* on aura :
a+abb+a+a+*b+*b*
=
aa+*bb+,
a+abb*a*a+*b+*b*
=
a*a+*bb*,
d'o`u
(aa+a)bb+a+a+*(b+*b*b+*)
=
(aa+a+*)(bb+b+*),
(aa+a)bb*a*a+*(b+*b*b+*)
=
(aa*a+*)(bb*b+*),
En utilisant encore la troisième assertion de la
proposition 2.4[p.12] et du fait a+,b+
sont les inverses de Moore-Penrose de a, b respectivement on aura :
ab(b+a+)(b+a+)*
=
(b+a+)*,
ab(ab)*(b+a+)*
= ab,
II.4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments
hermitiens :
En utilisant encore la troisième assertion de la
proposition 2.4[p.12],on obtient
(ab)+ =
b+a+.
Th'eor`eme
3.2 Sous les notations du théorème 3.1,les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. (ab)+ =
b+a+,
2. b+(qp _
pq)a* = 0 et b+(sr _
rs)a* = 0.
3. pqps = pq et psrs = rs.
Preuve: La preuve est similaire du
théorème 3.1.
Th'eor`eme
3.3 Sous les notations du théorème 3.1,les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. (ab)+ =
b+a+,
2. b*(q+p -
pq+)a+ = 0 et
b*(sr+ -
r+s)a+ = 0.
3. pq+ps =
pq+ et psr+s =
r+s.
Preuve: la preuve est similaire du
théorème 3.1.
Th'eor`eme
3.4 Sous les notations du théorème 3.1, les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. (ab)+ =
b+a+,
2. a+*(pq+ -
q+p)b = 0 et
a+*(r+s -
sr+)b = 0.
3. spq+p =
q+p et sr+sp =
sr+.
Preuve: La preuve est similaire du
théorème 3.1.
4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments
hermitiens :
Définition 4.1 Un
élément d'une C*-algèbre est dit
Moore-Penrose hermitien si a+ = a. Proposition 4.1
Soit A une C -algèbre. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes
1. a est Moore-Penrose hermitien si, et seulement si, a
= a3 et (a2)*
= a2.
2. si a est Moore-Penrose hermitien, alors a l'est, pour n
E N.
3. a est Moore-Penrose hermitien si, et seulement si
a* l'est.
4. si a est Moore-Penrose hermitien, alors
a(a) C {0, --1, 1}.
Preuve:
Pour 1 on utilise définition 4.1 et la
définition de Moore-Penrose. Pour 2 on utlise 1. Pour
3 est évidente.Pour 4 on utilise le fait que p =
a2 est hermitien et idempotent.
II.5 Caractérisation des éléments
Moore-Penrose hermitiens :
5 Caractérisation des éléments
Moore-Penrose hermitiens :
Th'eor`eme
5.1 Soit A une C algèbre. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
1. a est Moore-Penrose hermitien.
2. aA = a*A ,
a-1(0) = a*_1(0) , A = aA
a-1(0), et si L = La|aA : aA
- aA et L = La*|aA :
aA - aA,alors L2 =
L2 = I,avec I
l'identité sur aA.
Preuve:
Supposons que a est Moore-Penrose hermitien,
considérons l'application La2 : aA - aA.
Comme a2 est idempotent,La2 est une projection sur
A,donc A = R(La2)
N(La2), or a est Moore-Penrose hermitien,
alors R(La2) = aA et
N(La2) = a-1(0).
on a :L2 = I car
La2 est une projection.
En utilisant la troisième assertion de la
proposition 2.4 [p.12], a* est Moore-Penrose hermitien, et
par la 5 ème assertion de la proposition 2.4,a =
a*a*a et a* =
aaa*, donc aA = a*A,
d'o`u par la 3 ème assertion de la
proposition 2.4 [p.12], a =
aa*a* et a* =
a*aa, et donc a*_1 =
a-1(0), et comme a2 est hermetin, alors
L2 = L2 = I.
Inversement, on a : La = L3 a et
L2 a* = L2
a, donc a = a3 et
(a2)* = a2, c
- a` - d a est Moore-Penrose hermitien.
Chapitre III
Inverse de Drazin
1 Inverse de Drazin
Définition 1.1 Un
élément a d'une algèbre A est quasi-nilpotent si,pour tout
x qui commute avec a on a :
e - ax E Inv(A).
L'ensemble des éléments de A quasi nilpotents
sera notée par QN(A).
Remarque 1.1 N(A) C
QN(A),
o`u N(A) est l'ensemble des
éléments-nilpotents. En effet, Soit a un élément
nilpotent d'indice k, pour tout x E A qui commute avec a on a
:
(e - ax)-1 = jk-1
i=0 xiai.
Lemme 1.1 Soit a E A,alors a E
QN(A) IanI 1 n-~ 0 a -
Ae E Inv(A) pour tout complexe
)t =6 0.
Définition 1.2 Soient a, b deux
éléments d'une algèbre A. On dit que b est l'inverse
généralisé de Drazin de a,si
ab = ba, ab2 = b,
a2b - a E QN(A)
On note par ad l'inverse de
généralisé de Drazin de a.
Remarque 1.2 Si a2b
- a E N(A), alors b sera appelé
l'inverse de Drazin de a et a sera dite Drazin inversible.
On note par aD l'inverse de Drazin de a.
Exemple 1.1 Soit a E A.
1. Si a est inversible,alors aD =
a-1.
2. Si a est idempotent,alors aD =
a.
III.1 Inverse de Drazin
3. Si a est quasi-nilpotent (en particulier si a est
nilpotent),alors aD = 0.
Remarque 1.3 Il est bien conuu que
l'ensemble Inv(A) des éléments inversibles
d'une algèbre A est ouverte, ce résultat est faux pour L'ensemble
AD de A qui admettent un inverse de Drazin .
En effet :
Soit A l'algèbre des fonctions continues sur
[0,1] munie de la norme de convergence uniforme.Alors 0 admet 0 pour
inverse de Drazin. Cependant pour tout € > 0 l'intervalle
centré en 0 contient un élément x(t)
= et. De o-(x) =
x([0,1]) = [0, €],donc 0 El
isoa(x) et par suite xD n'existe pas voir le
théorème 4.2 [p.24]..
Définition 1.3 1. Soit a E A
on définit l'index de a par :
|
i(a) =
|
{
|
0 si a est inversible.
k si a est non inversible et a2b
-- a est nilpotent d'indice k. co ailleurs.
|
o`u b est l'inverse de Drazin de a.
2. Si i(a) < 1,on note par atl
= aD, et atl est dite le groupe inverse de a.
Remarque 1.4 Soit a E A,
alors a est Drazin inversible d'index k <=> a`
1. ab = ba.
2. bab = b.
3. akba = ak.
En effet : Comme ab est idempotent donc
(e--ab) est aussi idempotent et commute avec a et
(a2b--a)k = 0,
alors ak(ab -- e)k =
0 donc akba = ak.
La Remarque 1.4 permet de calculer l'inverse de Drazin pour les
matrices,en utilisant :
Th'eor`eme
1.1 Si A est une matrice de
Mn(C) d'indice k,alors
AD =
lima--0(Ak+1 +
a2I)-1Ak
!
Exemple 1.2 Déterminons
l'inverse de Drazin de la matrice a = 0 1 . a est idempotente
donc
0 1
déj`a on sait que aD =
a. Vérifions-le par utilisation du théorème. En effet : on
a k = 1 donc (a2 +
1 + 0 a a2
,2 --1 )
a2I)-1 a2(1+a2)
croit (a2 +
a2I)-1a =
(1+1a2) a. On fait tendre a vers 0 on
trouve
que aD = a.
La question qui se pose de façon naturelle
est comment déterminé l'indice k ? On aura donc
a` introduire la définition suivante.
Definition 1.4 Soit a E
A,on définit l'index spectral de a par:
|
ind(a) =
Proposition 1.1 On a :
|
?
???
???
|
0 si a est inversible.
k si 0 est un pàole d'ordre k de
(Ae - a)-1. 00 ailleurs.
|
ind(a) = i(a)
Lemme 1.2 Un élément a E
A admet un inverse de Drazin aD si et seulement s'il existe un
idempotent p tel que :
ap = pa, ap E QN(A), a
+ p E Inv(A). Dans ce cas aD est
unique et donné par:
aD = (a + p)-1(e
-- p).
On notera un tel p par a = e -
aDa = e - aaD.
Preuve:
1. =] Posons b = (a +
p)-1(e -- p). Alors ab =
ba,car ((a(a + p)-1 = (a
+ p)-1a) et (p(a +
p)-1 = (a + p)-1p))
et
ab = a(a +
p)-1(e -- p) = (a +
p)(a + p)-1(e -- p) =
e -- p.
et ab2 = (ab)b = (e
- p)b = b(e - p) = b
car(bp = 0). Enfi a - a2b =
a(e - ab) = ap E
QN(A).
2. =] Si b est l'inverse de Drazin de a.
Posons p = e - ab. Comme (ab)2 =
a(ab2) = ab, alors p est un
idempotent qui commute avec a, et
(b + p)(a + p) = (a
+ p)(b + p) = ab + ap +
bp + p = e + ap E
Inv(A)
comme ap E QN(A) , alors a +
p E Inv(A). Or (a + p)b =
e -- p alors b = (a +
p)-1(e -- p), ainsi on vient de prouver
l'unicité de b.
2 Points spectraux isolés
Soit A une algèbre de Banach unitaire et jt
un nombre complexe. Lemme 2.1 Soit
p1,p2 . . . pn des
idempotents de A vérifiant
p2 i = pi,pipj = 0(i =6
j),p1 + p2 + · · · +
pn = e.
Si u1, u2 . . . un sont des
éléments inversibles et commutent avec chaque pi,alors
(Eni=1 uipi)-1 =
Pn i=1 u-1
i pi.
Th'eor`eme
2.1 Supposons que a,p E A telle que :
p2 = p =6 0,ap =
pa,(a -- pe)p E
QN(A).
Définissons
c = c(î) = îp
+ a (pour î =6 0)
Alors
a(c) U = a(a) U +
î},
et
n
f (a) = f (c)(e
-p)+ En=00 0 fn
(r) (a pe)np pour toute
fonction holomorphe sur un voisinage de a(a) U +
î}.
Preuve:
Soit w = (a -- pe)p,
alors w est quasi-nilpotent et
(Ae -- a) = (Ae --
c)(e -- p) + ((A -- u)e
-- w)p.
Si A cl a(c) U {u}, alors
(Ae -- c),((A -- u)e --
w) sont inversibles, par conséquent (Ae -- a)
l'est, avec
(Ae -- a)-1 = (Ae --
c)-1(e -- p) + ((A --
u)e -- w)--1p.(lemme 2.1[p.20])
donc a(a) C a(c) U Oil. De
màeme
(Ae -- c) = (Ae --
a)(e -- p) + ((A -- -- î)e
-- w)p.
Si A cl a(a) U +
î},alors (Ae -- a), ((A -- u
-- )e -- w) sont inversibles, ainsi (Ae --
c) est inversible.
Donc a(c) c a(a) U +
î}. Il reste donc a` montrer que u E
a(a) et + E Q(c).
Supposons que u a(a). De (a --
pe)p = w E QN(A) et de la
commutativité on obtient (a --
pe)--1c = p E QN(A). Ce qui
contredit le fait suivant r(p) = limn?8
1p1 n = 1. De màeme (c --
(u + )e)p = w implique + E
a(c).
Pour la dernière relation on utilise :(Ae
-- a)-1 = (Ae --
c)-1(e -- p) + ((A --
u)e -- c)--1p en
l'intégrant et on utilise le développement de série de
Laurent de ((A -- u)e --
c)--1p en tenant compte de la qausi nilpotence de
w.
III.3 Applications
Th'eor`eme
2.2 Un complexe 1u est un point isolé de
o-(a) si et seulement si il existe p E A tel que :
p2 = p =6 0, ap = pa, (a -
1ae)p E QN(A). (III.1)
Et
îp + a - 1ae E
Inv(A)( =6 0). (III.2)
Un tel p sera appelé l'idempotent de a correspondant
a` u.
Preuve: Supposons que est un point isolé
de a(a). Par théorème 4.2[p.24] et la
proposition 1.3[p.5] (on fait un changement de variable) on aura le
résultat voulu.
Inversement, soit =6 0 et définissons c =
p+ a, par le théorème 2.1[p.21] ,jt
sera dans a(a) et si III.2 est vérifiée
alors jt 6 a(c) et jt est un point
isolé de a(a)(le voisinage ouvert de jt est
(O.(c)c).
3 Applications
Exemple 3.1 Si jt est un point
isolé de a(a) et p est l'idempotent correspondant
a` 1t, alors w =
(a - 1ae)p est quasi
nilpotent et b = p+ a - jie E
Inv(A) est inversible d'après le
théorème 2.1. Il existe
r > 0 et pour tout Al
> 0 avec 0 < A - ji 1<
r,(A - 1a)e - w et (A -
1a)e - b sont inversibles , et donc
(Ae - a)-1 = ((A -
jt)e - w)-1p + ((A -
1a)e - b)-1(e -- p)
X8 (A -
ji)-nwn-1p
+ X8 (A -
u)nb-n-1(e -
p) n=1 n=0
X8
(A--ji)-n(a--jie)n-1p--
X8 (A -
t)ngn+1
n=1 n=0
avec g = (p + a -
itte)-1(e -- p) =
b-1(e -- p) est l'inverse
généralisé de Drazin de (a -
itte). Exemple 3.2 [7] (itt =
1, = --1) Soit a E A les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. (an) converge dans A.
2. a = p + c,avec p est idempotent,cp
= pc et cn - 0.
3. a(a) C D U {1},avec D le
disque unité ouvert, et ji = 1 est un point résolvent ou
un pàole simple de pë(a).
4 Les éléments quasi-polaires et polaires
d'une algèbre
Définition 4.1 Un
élément a d'une algèbre A est quasi-polaire s'il existe un
idempotent p E A vérifiant
p E comm2(a), ap
E QN(A), a + p E
Inv(A)
Si, de plus ap est nilpotent d'indice de nilpotence k >
1, alors a est dit polaire d'ordre k. Si k = 1,alors a est
dit simplement-polaire.
Remarque 4.1 Soit a E A.
1. L'idempotent p est unique, car s'il exite q
vérifiant la définition alors
e--(e--p)q=
e--(e--p)(a+p)-1(a+p)q
= e --
(e--p)(a+p)-1aq
= e--b(aq)
avec b = (a
+p)-1a,comme p E
comm2(a) ; Alors aq E
QN(A) implique e - b(aq) E
Inv(A),d'o`u
e --
(e -- p)q = e -- (e --
p)2q2 = (e -
(e--p)q)(e+ (e --
p)q).
Mais (e - (e - p)q)
est inversible, donc (e - p)q = 0 c
- a` - d q = pq, de màeme on
démontre que p = qp = pq,donc p = q.
2. Par le lemme 1.2 [p.20] a E A est quasi-polaire
si et seulement si a est Drazin inversible.
3. a est polaire d'orde k si,et seulement si
aka = 0 et a est simplement polaire si et seulement si
aa = 0.
Proposition 4.1 Soit A une
C*-algèbre, alors a est quasi polaire si et
seulement si a* est quasipolaire,dans ce cas
(a*) = (að)* et
et (a*)D =
(aD)*.
Preuve: Comme a + a E
Inv(A) et aa = aða,alors
a* + (að)* E
Inv(A) et
a*(að)* =
(að)*a* E
QN(A) et par l'unicité de l'idempotent
p,alors a* est quasi-polaire et
(a*) = (að)*.
pour (a*)D =
(aD)*,on utilise la relation
aD = (a +
að)-1(e -
að) et (a*) =
(að)*.
Le théorème suivant permet de donner une condition
suffisante pour que le produit ab de deux éléments a
et b admet un inverse de Drazin .
Th'eor`eme
4.1 Soit a et b deux éléments de A avec ab =
ba,aD et bD existent. Alors
(ab)D existe
et
(ab)D =
aDbD.
Preuve:
Les éléments a ,b ,
aD et bD commutent, donc
ab(aDbD)2 =
a(aD)2b(bD)2
= aDbD.
De plus,
ab --
(ab)2aDbD = (a
-- a2aD)(b --
b2bD) +
a2aD(b --
b2bD) +
b2bD(a --
a2aD)
et r(ab --
(ab)2aDbD) = 0,donc
ab -- (ab)2aDbD E
QN(A). Voir proposition 5[p.5]
Corollaire 4.1 L'inverse de Drazin d'un
élément normal ( resp auto adjoint) est normal ( resp auto
adjoint).
Preuve: On applique le théorème
4.1[p.23] et la proposition précédente. Lemme
4.1 Un élément a E A normal qausipolaire
est simplement polaire.
Preuve: Supposons que a qausipolaire
et soit p = e -- aaD l'idempotent de
a correspondant a` 0, alors p est normale par le
théorème 4.1 [p.23],et parsuite le spectre de p est
réel, p est en fait auto adjoint et ap = pa
est normale. Comme ap E QN(A) alors
Ilap11= r(ap) = 0,donc ap = 0 ,
d'o`u a est simplement polaire.
Th'eor`eme
4.2 Soit a E A. Alors 0
acca(a) si et seulement il existe un idempotent p E
A qui commute avec a tel que :
ap E QN(A), p + a
E Inv(A).
De plus, 0 E isoa(a) si et
seulement p est l'idempotent de a corrsepondant a` u =
0.
Preuve:
a E A est inversible si et seulement si il
existe p = 0 tel que a + p E
Inv(A). Soit 0 E isoa(a), alors
l'idempotent p est défini par : p =
f(a) avec f E H(a) et
(
f (A) = 1 sur un voisinage de de 0.
0 sur un voisinage de a(a) \ {0}.
d'o`u p2
= p =6 0, p commute avec a et ap =
h(a) avec h(A) = Af(A) ;
Comme a(ap) = a(h(a)) =
h(a(a)) = {0} 3.3[p.7] , donc ap E
QN(A). La fonction g(A) =
f(A) + A est dans H(a) et non nul sur
le spectre de a ; Ainsi g(a) = p +
a est inversible.
Inversement, supposons qu'il existe un idempotent p qui
commute avec a, alors pour tout A
Ae -- a = (Ae --
ap)p + (Ae -- (a + p))(e
-- p).
il existe r > 0 (par exemple r =
11(a + p)-111-1) tel que Ae --
(a + p) E Inv(A) si 0 <
IAl < r. Comme ap E
QN(A),Ae -- (a + p) E
Inv(A) pour A =6 0,donc
Ae -- a = A(e --
ap)--1p + (Ae -- (a +
p))-1(e -- p).(lemme 2.1[p.20])
lorsque
0 <I A I< 0. De p =6 0,0 E
isoa(a). Montrons que p est l'idempotent de a
correspondant a` 0.
(
1 sur un voisinage de de 0.
Pour ce faire soit f E H(a) telle
que f(A) = donc
0 sur un voisinage de a(a) \ {0}.
no
f(a) =
2w1
f),(Ae a)--1dA =
2/r1 i
f),(Ae--ap)-1pdA+
2w1 (Ae
(a+p))-1(e--p)dA =
Enl
A--n--1anp+ 2ði
ã
0 = p, o`u -y = {A : 0 <
'AI< r}.
Corollaire 4.2 Un élément a
E A est quasipolaire si et seulement si 0 E6
acca(a).
Corollaire 4.3 Soit a E A les
conditions suivantes sont équivalentes :
1. 0 E6 acca(a)
2. il existe un idempotent tel que :
ap = pa , ap E QN(A) , a
+ p E Inv(A).
3. a admet un inverse de Drazin unique, avec
aD = (a + p)-1(e -
p). avec p l'idempotent de a correspondant a` 0.
Preuve: On applique les résultats
précédents.
Th'eor`eme
4.3 Si 0 E isoa(a), alors
aD = f(a),
avec f E H(a) tel que f = 0
sur un voisinage de 0 et f(A) =
ë-1 sur un voisinage de a(a) \
{0}.Et
cr(aD) \ {0} =
{A-1 : A E a(a) \
{0}}.
Preuve:
On sait que l'idempotent p de a correspondant
a` 0 s'écrit sous la forme p = g(a)
avec g E H(a), g = 1 sur un voisinage de 0
, g = 0 sur un voisinage de a(a) \ {0}, et posons
f(A) = (A +
g(A))-1(1 - g(A)).
Alors f vérifie les hypothèses du
théorème 4.2 [p.24] et par le théorème 3.3[p.7] on
aura le résultat voulu.
Remarque 4.2 Par le théorème
précedent aD commute avec tout élément qui
commute avec a.
5 Propriétés de l'inverse de Drazin
Nous commençons par le théorème suivant
qui est similaire au théorème de serie de
Laurent.
Th'eor`eme
5.1 Si 0 E isoa(a) et b l'inverse de
Drazin de a. Alors sur un disque pointé 0 <
|A| < r,
.
(Ae - a)-1 = Pn=8
n=1
)cnan-1(e
- ab) - Pn=8
n=0 Anbn+1
Preuve: Soit p l'idempotent de
a correspondant a` A = 0; Alors b = (a
+ p)-1(e -- p). Sur le disque 0
< IA I < r,Ae -- (a +
p) est inversible et ap est quasi-nilpotent,donc
(Ae -- a)-1 = (Ae --
ap)--1p + (Ae -- (a +
p))-1(e -- p)
n
|
n=oE
n=1
|
A--nan-1p --
|
n=oE
n=0
|
An(a +
p)-n-1(e -- p)
|
|
n
|
n=oE
n=1
|
A-nan-1(e
-- ab) --
|
n=oE
n=0
|
Anbn+1
|
Th'eor`eme
5.2 Si b est l'inverse de Drazin de a avec a cl
Inv(A). Alors ind(b)=1.
Preuve: L'élément p =
e -- ab est l'idempotent de a correspondant
a` A = 0 avec ap E QN(A) et a
+ p E Inv(A),
d0o`u.
bp = b(e -- ab) =
b -- ab2 = 0,
et
(a + p)(b + p) =
ab + ap + p = e + ap E
Inv(A),
Ainsi, (b+p) E Inv(A) car
((a+p)(b+p) =
(b+p)(a+p)) et d'après le
théorème 4.1 [p.23],0 E isoa(b)
dont p l'idempotent .De bp = 0 A = 0 est un
pàole simple de (Ae -- b)-1.
Contrairement a` l'inverse de Moore-Penrose, l'inverse
de Drazin ne satsifait pas en général :
(aD)D = a le
théorème suivant permet de donner une condition nécessaire
et suffisante pour l'avoir.
Th'eor`eme
5.3 Soit a cl Inv(A). Alors
(aD)D = a si et seulement si
ind(a)=1.
Preuve: Supposons que b =
aD et 0 un pàole simple de (Ae --
a)-1 dont l'idempotent correspondant est p. Alors
a -- a2b = a(e --
ab) = ap = 0, et
ab = ba , b --
ab2 = 0 , a -- a2b =
0.
ce qui prouve que bD = a.
Inversement si bD = a et b
= aD, les équations ab =
ba,b -- ab2 = 0,a --
a2b = 0 montrent que 0 est un pàole
simple de (Ae -- a)-1.
En utilisant ce qui précédent alors on a le
théorème suivant :
Th'eor`eme
5.4 Supposons que a E A admet un inverse de Drazin
aD et p l'idempotent de a correspondant a` A = 0.
Alors
1. (an)D =
(aD)n pour tout n E N.
2. (aD)D = a2aD =
a(e -- p),
3. ((aD)D)D = aD,
4.
aD(aD)D =
aaD = e _ p.
Th'eor`eme
5.5 Si aD existe , b E QN(A)
et ab = ba, alors (a +
b)D existe et
(a + b)D = (a +
b + p)-1(e -- p),
avec p l'idempotent de a correspondant a` A =
0.
Preuve: Soit p l'idempotent de a
correspondant a` A = 0; L'ensemble {a, b, p}
commutent et a + p E Inv(A) et ap
E QN(A). Donc
a + b + p = (a +
p) + b E Inv(A),(a +
b)p = ap + bp E QN(A)
Donc 0 ?6 acco-(a + b) et
d'après le théorème 4.1[p.23] (a +
b)D existe, la formule s'obtient par la relation
xD = (x + p)-1(e --
p).
Remarque 5.1 Le théorème
précédent montre que si 0 E isoa(a),b
E QN(A) et ab = ba, alors 0 E
isoa(a + b).
Th'eor`eme
5.6 Si aD et bD existent et ab = ba
= 0, alors (a + b)D
existe et
(a + b)D =
aD + bD
Preuve: Remarquons que a, b, aD,
bD commutent et abD =
ab(bD)2 = 0 et aDb
= ab(aD)2 = 0. D'o`u
(a + b)(aD +
bD)2 =
a(aD)2 +
b(bD)2 = aD +
bD,
et
(a + b) - (a +
b)2(aD + bD) =
(a - a2aD) + (b -
b2bD) E QN(A), ce qui
prouve que (a + b)D =
aD + bD.
Pour tout p E C et K c C compact on
définit d(p, K) = inf{IA - p| :
A E K} et d(p, 0) = 0
.
Th'eor`eme
5.7 Soit a un élément Drazin inversible dans une
algèbre A dont le rayon spectral r(a) > 0.
Alors
d(0,a(a)\{0}) =
(r(aD))_1.
Preuve: On a : aD =
f(a) pour une fonction holomorphe f.
D'o`u VA E a(a)\{0},
1A-11 = If(A)I
r(f(a)) = r(aD),
c--`a--d Al >
(r(aD))_1,et d(0,
a(a)\{0}) > (r(aD))_1.
D'après le théorème 3.3[p.7] et par compacité de
a(a)\{0}) (a(a)\{0}) est compact car a
est Drazin inversible,donc 0 ?6 acca(a)), il existe
p ? ó(a)\{0}) tel que |p| =
r(aD))_1,
d'o`u le résultat.
6 Représentations de l'inverse de Drazin
Th'eor`eme
6.1 Si 0 E isoa(a) et p l'idempotent a
correspondant de a` A = 0. Alors
aD = lim),_,.0(Ae --
a)-1(e -- p).
Preuve:
Comme
|
(Ae -- a)-1 = Pn=8
n=1
A--nan-1(e
-- ab) -- Pn=8
n=0 Anbn+1
|
.
|
Alors
(Ae -- a)-1(e --
p) = _ \-`n00
Anbn+1
Z-,n=0
avec b = aD,on fait tendre
A vers 0 on obtient le résultat voulu. On sait que lorsque
an 0 alors
(e -- a)-1 = Pn=8
n=0 an
le Théorème suivant donne une
généralisation lorsque an p =6 0.
Th'eor`eme 6.2
Si an p. Alors ind(e -- a)< 1 et
(e -- a)D =
Pn=8
n=0 an(e -- p).
Preuve:
On remarque p2 = p; Sic
est défini par c = a --p,alors
cn = (a --p)n =
an-- p 0 et cp = pc = 0. De plus
p est un idempotent commutant avec (e -- a) tel que
(e -- a)p = 0 et e -- a +
p = e -- c E Inv(A) et par le
théorème 4.2 [p.24] ,A = 0 cl
o-(e -- a) ou un pàole simple
de (Ae -- e + a)-1. Comme
an(e -- p) = (cn
--p)(e --p) = cn(e
-- p),
n=oE an(e --
p) = n=oE
cn(e -- p)
n=0 n=0
= (e -- c)-1(e --
p)
= (e -- a + p)-1(e
-- p) = (e -- a)D
On sait aussi que lorsque a est inversible et
exp(ta) 0 (quand t co) alors
a-1 = -- f08 exp(ta)dt.
Le théorème suivant donne une
généralisation lorsque exp(ta) (a E A)
converge mais pas nécessairement vers 0.
Th'eor`eme
6.3 Soit exp(ta) -~ p (quand t - oo).
Alors s-index(a) 1, et
aD = - j000 exp(ta)(e -
p)dt.
Preuve: On remarque p2 =
p; Si c est défini par c = a -
p, alors
exp(tc) = exp(ta) exp(--tp) =
exp(ta)(e - p +
e_tp) p(e - p)
= 0 quand t - 0. d'o`u
a(c) se trouve dans le demi plan (negatif) et c est
inversible. De plus,
ap = alims.~8 1 j0 s
exp(ta)dt = lims.~8(exp(sa)
- e) = p - e,
s
ce qui implique pc = cp = --p, on
conclut que 0 ?6 acca(a) car a - p = c
E Inv(A) donc a est Drazin inversible voir le
théorème 2.2[p.45].
De exp(ta)(e - p) =
exp(tc)(e - p) et exp(tc) - 0 (quand t
- oo) on aura
Z0
Z
8
exp(ta)(e - p)dt = 0
exp(tc)(e - p)dt
Z= (e - p) 0
exp(tc)dt
= --c-1(e -- p)
= --(a--p)-1(e--p)
= _aD
Th'eor`eme
6.4 Soit a E A. Alors 0 E isoa(a)
si et seulement si, il existe x, y E A tel que
a = x + y, xy = yx = 0,
ind(x)=1, y QN(A).
Une telle décomposition est unique.
Preuve:
1. = Alors aD = (x +
y)D = xD +
yD = xD car y est nilpotent
donc yD = 0. Donc 0 E isoa(a) par le
théorème 4.2 [p.24],la décomposition est unique car x
= (xD)D =
(aD)D et par le théorème
4.1 [p.23] et l'unicité de l'inverse de Drazin.
2. = Si 0 E isoa(a) dont l'idempotent p
a` A = 0.et soit x = a(e - p)
, y = ap.
Alors y = ap E QN(A),xp
= 0 et x + p = (a + p) - ap E
Inv(A)(car ap est quasi-nilpotent, (a +
p)-1 est inversible et apet (a +
p)-1commute).donc ind(x)=1.
Lemme 6.1 [Jacobson] Soit a, b
E A. Si e+ab est inversible,alors e+ba est inverible
est (e+ba)-1 = e - b(e
+ ab)-1a.
Th'eor`eme
6.5 [forumle de Cline] Soient a, b E A. Si ab
admet un inverse généralisé de Drazin, alors ba l'est
et
(ba)d =
b((ab)d)2a.
Preuve: Posons a =
ab,0 = ba,p = e --
ada et q = e --
bada,alors p E comm2(a)
,a + p E A-1 et ap est
quasi-nilpotent.
On doit montrer :0 + q E
A-1,0q est quasi-nilpotent et
q2 = q E comm2(0).
Remarquons que e + (a --
ada)b = a + (e --
ada) = a + p E Inv(A). Par
le lemme de Jacobson ,
0 + q = 0 + (e --
bada) = e + b(a --
ada) E A-1.
Posons c = 0q. Alors
c = ba(e --
bada) = ba -- babada =
b(e -- ada)a = bpa
Soit z E A tel que cz = zc.
Montrons que e -- zc E A-1.
De cz = zc,nous avons cz2 =
z2c c -- a` -- d
bpaz2 = z2bpa
En multipliant a` droite par b et a`
gauche par a on écrit :
ap(az2b) =
abpaz2b = az2bpab =
(az2b)ap.
Donc (az2b) E
comm(ap). Or ap est quasi-nilpotent,alors
e -- ap(az2b)
= e -- (apa)(z2b) E
Inv(A).
En vertu du lemme de Jacobson on a (e --
(z2b)apa) est inversible. Et comme
c2 = bpabpa = bpapa = bapa et
cz = zc, il vient
(e -- zc)(e + cz) =
(e + zc)(e -- cz) = e --
z2c2 E Inv(A).
Ainsi, (e -- zc) E Inv(A) par
suite c est quasi-nilpotent. Montrons que q est idempotent.
En effet :
q2 = (e --
bada)(e -- bada) = e --
2bada + badaada = e
-- bada = q.
On a aussi
0q = ba(e --
bada) = ba -- babada = ba
-- badaba = (e --
bada)ba = q0.
Soit y E A tel que y0 =
0y,donc y(ba) = (ba)y et parsuite
(ayb)ab = ab(ayb),en multipliant
a` droite par b et a` gauche par a, on
obtient ayb E comm(a).
Comme ad E
comm2(a),ayb E
comm(ad). Il vient que ayb E
comm(ad --
(ad)2),c -- a` --
d
Ainsi
et
Donc
ayb(ad -
(ad)2) = (ad -
(ad)2)ayb
bayb(ad -
(ad)2)a =
ybab(ad -
(ad)2)a =
yba(ad -
(ad)2)a = ybaada -
ybada.
b(ad -
(ad)2)ayba =
b(ad -
(ad)2)abay =
b(ad -
(ad)2)aay = badaay
- baday.
ybaada -
ybada = badaay -
baday.
Après les calculs on obtient
yq - yI3q = qy - I3qy.
Ainsi
(e - fiq)yq(e -
/3q) = (e - fiq)qy(e -
âq).
comme fiq est quasi nilpotent,alors (e -
/3q) E Inv(A),d'o`u
yq = qy . En somme /3 admet un inverse
généralisé de Drazin,et
(ba)d = fid =
(13 + q)-1(e -- q).
Posons t = a - ada,alors
Donc
Or
Alors
e + tb = a + p et e
+ bt = â + q.
(/3 + q) 1 = (e +
bt)-1 = e - b(e +
tb)-1t = e - b(a +
p)-1t.
ad = (a + p)-1(e
-- p) = (a +
p)_1aad = (e +
tb)_1aad.
(ba)d = (fi +
q)-1(e -- q)
= [e - b(e +
tb)_1t]bada
= bada - b(e +
tb)-1aada + b(e +
tb)_1adaada =
b(ad)2a
=
b((ab)d)2a.
Ceci achève la preuve.
Corollaire 6.1 Soit a, b E A. Si ab
est Drazin inversible avec ind(ab) = k, alors ba est Drazin
inversible et k - 1 < ind(ba) k +
1,et
(ba)D =
b((ab)D)2a.
Preuve:
Posons c =
b((ab)D)2a.
D'après le théorème de Cline , ba admet un
inverse généralisé de Drazin avec
(ba)d = c. Par hypothèse
(ab)k =
(ab)k+1(ab)D,ce qui
implique
[ba -
(ba)2c]k+1 =
b[(ab)k -
(ab)k+1(ab)D]a
= 0.
Ainsi, ba - (ba)2c est
nilpotent,et (ba)D = c =
b((ab)D)2a. Et
d'après ce qui précède on a :
ind(ba) < k + 1 =ind(ab)+1.
Par symétrie ind(ab) <ind(ba)+1,donc
k - 1 ind(ba).
Lemme 6.2 1. Soient a, b E A,si a
est nilpotent et ab = ba,alors ab est nilpotent.
2. Soient a, b E A,si a est nilpotent et ab =
ba,alors a + b est nilpotent.
Lemme 6.3 Soient a, b E A Drazin
inversible avec ab = ba,alors
1. a, b, aD et bD commutent.
2. ab est Drazin inversible et
(ab)D =
bDaD.
Preuve:
1. Comme aD E
comm2(a) et ab = ba, alors
aDb = baD et donc
bDaD = aDbD.
2. Posons x = bDaD,
alors x et ab commute d'après 1 et xabx =
x (cacul simple), par le lemme 6.2[p.32]
ab--(ab)2x est nilpotent et
ab--(ab)2x = abbð
+b2bðaað,avec
aa et bb sont nilpotents.
Th'eor`eme
6.6 Soient a, b E A Drazin inversible avec ab =
ba ,alors e + aDb est Drazin inversible, si et
seulement si a + b est Drazin inversible, dans ce cas
(a + b)D = (e +
aDb)DaD +
bD(e +
aaðbD)_1að
= aD(e +
aDb)DbbD +
bð(e +
bbðaD)_1aD +
bD(e +
aaðbD)_1að
et
(e + aDb)D =
a + a2aD(a +
b)D.
Preuve: Supposons que =
e+aDb est Drazin inversible, alors par le
théorème 4.1[p.23],a, b, aD, bD,
î et îD commutent les uns les autres,et
comme aaw est nilpotent,alors e +
aalbD est inversibles,idem pour
l'inversibilité de e + bbwaD.
Posons x = DaD
+bD(e +
aawbD)--1aw. On va
montrer que x est l'inverse de Drazin de a + b,en
effet :
1. Par le lemme 6.3 [p.32],a + b et x
commute.
2. On utilise la relation (zz-1 =
e),on obtient :
(e + aawbD)-1
= e -- aawbD(e +
aawbD)-1
Notons que :
x(a + b) =
îDaD(a + b) +
bD(e +
aawbD)-1aw(a
+ b)
= DaD(a +
b) + aawbD(e +
aarbD)-1 +
aibbD(e +
aarbD)-1
= DaD(a +
b) + aawbD(e +
aawbD)-1 +
aibbD[e
-aa/bD(e
+ aawbD)-1]
= DaD(a +
b) + aibbD.
Comme aDai = 0,alors
x(a + b)x = [
DaD(a + b) +
aibbD][îDaD
+ bD(e
+aaibD)-1ai]
=
(îD)2(aD)2(a
+ b) + aibD(e
+aaibD)--1
=
(îD)2îaD
+aibD(e
+aaibD)--1
= DaD + aibD(e
+aawbD)-1
= x.
3. Enfin,on a :
(a + b) - (a +
b)2x = (a + b) - (a +
b)îDaD(a + b) -
(a + b)awbbD
= (a + b) _
îD(aD(a +
b))2a - (a + b)(e -
aaD)bbD
= (a + b) -- îD(
- a")2a -- a(e --
aaD)bbD -- b2bD +
aaDb2bD = (a +
b) -- îDî2a +
îDaai - aawbbD
-- b2bD +
aaDb2bD
= bb" - aawbbD +
a + aaDb2bD +
îDaai -
îDî2a
= bb" - aawbbD +
aawîD + îa -
aaDbbw -
îDî2a
= a"bb" + aaw( D -
bbD) + aia.
Comme aað, bb" et air
sont nilpotent,alors (a + b) -- (a +
b)2x l'est par le lemme 6.2 [p.32]. On va chercher une
autre expression de (a + b)D,pour ce
faire montrons que
îDaD =
aDîDbbD +b"(e
+
bbðaD)--1aD.
|
= aD(e +
aDb)DbbD +
bir
|
Xl - 1
(--b)i(aD)i+1 +
i=0
|
k-1
i=0
|
(b)i+1(_a)iai.
|
par commtativité on écrit
aDbr(e + bbwaD)
= aDbð
+aDbbiaD
=îaDbð, On en
déduit
(e -- (e +
bbiaD)--1ai)
raDbi = 0.
Remarquons que (e -- (e +
bbwaD)-1îîð
est inversible si (e +
bbDaD)-1,îð
est nilpotent, on sait
que
î1aDbi =0.
Donc,
aDb =
îîDaDbð =
DaDbir(e
+ bbDaD).
d0o`u
îDaDb
=aDb"(e
+bbðaD)-1 =
bð(e +
bbwaD)--1aD.
Ainsi,
îDaD
=aDîDbbD +bir(e +
bbiaD)-1aD.
Inversement, si a + b est Drazin inversible,on
peut écrire e + aDb = a1 +
b1 avec a1 = air et b1 =
aD(a + b).
Remarquons que a1 est idempotent et
aD est group inversible avec
(aD)1 =
a2aD. Par le théorème
4.1[p.23], b1 est Drazin inversible et
(b1)D = [aD(a +
b)]D = a2aD(a +
b)D.
de plus
e + aD1 b1 =
e + a1b1 = e. donc e +
aDb est Drazin inversible et
(e +aDb)D = (a1 +
b1)D
= (e + aD1
b1)DaD1 +
bD1 (e + a1að 1bD
1 )-1að 1
= air
+a2aD(a +
b)D.
Ceci achève la preuve.
Corollaire 6.2 Soit a, b E A deux
éléments Drazin inversibles,avec ind(a) =
k,ind(b) = l et ab = ba. Si e +
aDb est Drazin inversible, alors a + b l'est et
k-1
(a + b)D = (e
+ aDb)DaD +
i=0
(bD)i+1(_a)iai
Preuve:
Comme ind(a) = k, alors
(aaðbD)k = 0, alors
(e +
aaðbD)_1a = [e
+ Pk-1
i=1
(bD)i(-a)iað]
= Pk-1
i=0
(bD)i(-a)iað
Idem,
bD(e +
bbðaD)_1 =
b1 >l-1
i=0(aD)i(_b)i.
et par le théorème précédent on
obtient la forumle disérée.
Corollaire 6.3 Soient a, b E A deux
éléments Drazin inversible,avec ind(a) = k ,
ind(b) = l, ab = ba
et e + aDb est Drazin inversible.
1. Si aDbD = 0, alors
(a + b)D =
Pk-1
i=0
(bD)i+1(_a)i
+ Pl-1
i=0(_b)i(aD)i+1.
2. Si aDb = 0,alors
(a + b)D =
aD + Pk-1
i=0 (bD)i+1(_a)i
3. Si ind(a) = 1,alors (a +
b)D = (e +
a]b)Da + (e -
aa])bD.
Preuve:
1. Comme aDbD = 0,alors
bDa = bD et
braD = aD,puis on utlise le
théorème précédent.
2. Comme aDb = 0,alors
aDbD = 0,et on utilise 1.
3. Comme ind(a) = 1,alors aa = 0,puis on
applique le théorème précédent.
Chapitre IV
Continuité de l'inverse de Drazin et de
Moore-Penrose
1 Moore-Penrose inverse et Drazin inverse dans
C*-algèbre
Dans tout ce chapitre A désigne une
algèbre unitaire d'unité e.
Lemme 1.1 Un élément a E
A normal et qausi-polaire est simplement-polaire.
Preuve: Supposons que a
qausi-polaire et soit p = e - aaD
l'idempotent de a correspondant a` 0, alors p est
normal d'après la proposition 1.1[p.36] et lemme 6.2[p.32], et parsuite
le spectre de p est réel,p et en fait auto adjoint ,
et ap = pa est normal, et comme ap E
QN(A) alors IapI = r(ap) = 0, donc
ap = 0, d'o`u a est simplement
polaire.
La proposition suivante donne une condition nécessaire et
suffaisante pour que a+ commute avec
a.
Proposition 1.1 Soit a E A.
Alors
a+a = aa+ [a
E AD et a+ = aD] =
a est simplement polaire.
Preuve: Supposons que
a+a = aa+. Comme
a+aa+ = a+ et
a(e - a+a) = 0 E
N(A) alors x = a+ = aD
E AD et parsuite a(e -
aDa) = 0 donc a est simplement polaire.
Si a+ = aD,alors
a+a = aa+ (d'après la
définition de l'inverse de Drazin).
Exemple 1.1 Un élément
simplement polaire est régulier et parsuite Moore -Penrose
inversible,mais la simple polarité de a est insuffisante pour que
a+ = aD,en effet :
soit a E A un élément idempotent;
Alors a est simplement polaire avec aD = a. Cependant
a+ = aD a* = a.car si
a+ = aD,alors a =
a2 = aDa = a+a
donc a est auto adjoint.
Inversement,si a est auto adjoint,alors la définition
de Moore-Penrose est verifiée,d'o`u a+
= a = aD.
2 Quasi-Polarité et Moore-Penrose
inversibilité
Th'eor`eme
2.1 Soit a E A,les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. a est Moore-Penrose inversible.
2. a*a(respectivement
aa*) est Moore-Penrose inversible.
3. a*a(respectivement
aa*) est quasi-polaire.
4. a*a(respectivement
aa*) est simplement-polaire.
Preuve: Pour 2, 3 et 4 on se contente
seulement sur la démonstration de a*a idem
pour aa*.
1. 1 = 2] Si x = a+, alors
ax = x*a* et xa =
a*x*. Montrons que xx*
est l'inverse de Moore-Penrose de aa*. Les
égalités
aa*xx*a*a
= a*axaxa = a*a,
x*xaa*x*x
= x*xaxax = x*x
De plus
a*axx* =
a*x*a*x*
= a*x* =
xa,xx*a*a = xaxa
= xa; comme xa est auto adjoint,alors xx*
est l'inverse de Moore-Penrose de aa*.
2. 2 = 3] Posons b = a*a
et x = b+. Alors x* est
l'inverse de Moore-Penrose de b, et par unicité de
Moore-Penrose inverse,alors x = x*. Donc
bx = x*b* =
xb.
En appliquant le lemme précédent,alors b
E AD,donc b est quasi-polaire. 3 = 4] Lemme
1.1[p.36]
3. 4 = 1] Soit a*a
simplement-polaire,montrons que x =
(a*a)Da*
est l'inverse de Moore-Penrose de a. Remarquons que
xax =
(a*a)Da*a(a*a)Da*
= (a*a)Da*
= x.
comme a*a est simplement-polaire
alors a*a =
a*a(a*a)Da*a
= a*axa. d'autre part :
(a -- axa)*(a --
axa) = (a* --
a*ax)(a -- axa) =
a*a -- a*axa --
a*axa + a*axaxa
=
a*a -- a*a
-- a*a + a*a = 0.
Ila -- axa112 =11(a --
axa)*(a -- axa)11= 0,et donc a
-- axa = 0 d'o`u axa =
a.
Pour les identités (ax)* = ax
et (xa)* = xa sont simples a`
vérifier.
De màeme on démontre que si
aa* est simplement polaire alors x =
a*(aa*)D est l'inverse
de Moore-Penrose de a.
Remarque 2.1 Pour 4 = 1 conduit
a` donner une formule explicite pour l'inverse de Moore-Penrose en
fonction de l'inverse de Drazin qui est une généralisation de
l'identité a+1 =
(a*a)_1a* =
a*(aa*)--1 pour tout a dans
A-1.
Th'eor`eme
2.2 Un élément a E A est Moore-Penrose
inversible si et seulement si (a*a)
(respectivement aa*) est Drazin inversible. Si a E
A+,alors
a+ =
(a*a)Da*
= a*(aa*)D
.
Les idempotents de a*a et
aa* sont donnés par :
(a*a)" = e --
a+a et (aa*)" =
e -- aa+.
Preuve: Il suffit de Montrer
(a*a)' = e --
a+a et (aa*)" =
e -- aa+,en effet :
(a*a)" = e --
(a*a)Da*a
= e -- a+a .Idem pour l'autre.
Remarque 2.2 1. Si x est inversible,alors
xD = x+1 et par suite si
aa* est inversible,alors a+ =
(a*a)-1a*
= a*(aa*)-1 .
2. Le théorème est faux si on remplace
l'inverse de Drazin et l'inverse de Moore-Penrose par l'inverse usuel, on a
seulement
a E A-1 <=>
a*a E A+1 et
aa* EA-1.
Dans la suite on va montrer que les idempotents sont
Moore-Penrose invesibles.
Proposition 2.1 Sip E A est
idempotent, alors p*p est simplement-polaire et p
E A+.
Preuve: Posons t =
e--(p--p*)2 =
e+(p--p*)*(p*--p),donc
t est positif,t E A-1 et t E
comm(p,p*,p*p).
On va montrer que w = e --
p*pt-1 est l'idempotent de
p*p.
De p*pt =
tp*p = (p*p)2
on déduit (p*pt-1)2
=
(p*p)2t-2
= p*pt+1,
d0o`u w2 = w et
p*pw = 0 =
ùp*p.De plus
p*p + co = e
+p*(e -- t-1)p =
e + (sp)*sp,
avec s = t 2 1 ((p
- p*), et parsuite p*p +
w E A-1,et la simple polarité vient du
théorème 2.1[p.37] et du corollaire 4.3[p.25].
Proposition 2.2 Soit a E A un
élément normal. Alors :
1. a E A+ <=> a
E AD.
2. si a E A+,alors
a+ est normal est commute avec a.
Preuve:
Soit a*a = aa*.
Si a E A+, alors
a+a =
(a*a)Daa*
= aa*(aa*)D =
aa+.
D'après la proposition 1.1[p.36],on aura
a+ = aD,la normalité
déj`a fait.
Si a E AD,alors
a* E AD,alors
a*a E AD
,d'o`u a E A+ par le
théorème 2.2[p.38].
Proposition 2.3 Si a E
A+,alors a+ E
comm2(a,a*).
Preuve: On a :
(a*a)D E
comm2(a*a). Si x E
comm2(a,a*),alors
a+x =
(a*a)Da*x
=
x(a*a)Da*
= xa+.
Proposition 2.4 Soit a,b E
A+ avec b E
comm(a,a*). Alors ab E
A+,et
a+b = ba+,
b+a = b+a,
(ab)+ = a+b+ =
b+a+. (IV.1)
Preuve: Remaquons que b E
comm(a, a*) = a E comm(b,
b*),donc pour les deux premièrs équations sont
vérifiées selon la proposition précédente, on a
aussi b* E comm(a,
a*),donc a+b* =
b*a+,et a+ E
comm(b, b*). Donc d'après la proposition
précédente,a+b+ =
b+a+. Or les ensembles {a,
a+} et {b, b+} commute,
aba+b+ab =
aa+abb+b =
ab,a+b+aba+b+
=
a+aa+b+bb+
=
a+b+,
(a+b+ab)*
= (a+ab+b)* =
b+ba+a =
a+b+ab,
(aba+b+)*
= (aa+bb+)* =
bb+aa+ =
aba+b+.
dro`u
(ab)+ = a+b+.
Proposition 2.5 Soit a, b E
A+ avec a normal et ab = ba. Alors ab E
A+ et IV.1 est vraie.
Preuve:
Comme a est normal et ab =
ba,alors a*b = ba*
[théorème de Fuglede]. Alors b E comm(a,
a*),et le résultat s'ensuit d'après la
proposition précédente.
3 Représentations de l'inverse de
Moore-Penrose
Dans toute cette section on suppose que a E
A+,alors a*a est auto adjoint,
positive et simplement polaire, et o(a*a)
U {0} = a(aa*) U {0}.
Notations :
E = o-(a*a)U
{0} = o-(aa*)U {0}.
p =
(a*a)/r l'idempotent de
a*a corrsepondant a` 0.
q = (aa*)" l'idempotent
de aa* corrsepondant a`
0.
x(A) la fonction caractérstique de {0} sur
E.
co(A) la fonction sur C(E) definie par
co(0) = 0 et co(A) = A-1 si E \
{0}.
Lemme 3.1 Si a E
A+,alors (e --
p)a* = a* et
a*(e -- q) =
a*.
Preuve: On a :
(e--p)a* =
a+aa* =
a*(a+)*a* =
(aa+a)* = a*.
De màeme on démontre l'autre
égalité.
On peut écrire
(a*a)D =
f(a*a) =
co(a*a),avec f holomorphe sur un
voisinage ouvert de a(a*a)
vérifie f(A) = 0 sur un voisinage de 0 et
f(A) = A-1 sur un voisinage
a(a*a) \ {0}.
On peut écrire par le théorème 2.2[p.38].
a+ =
ço(a*a)a* =
a*ço(aa*).
Th'eor`eme
3.1 Si a E A+, alors
a+ = (a*a
+ îp)-1a* =
a*(aa* +
îq)-1 pour tout î =6 0.
Preuve: Soit î =6 0 et
g(A) = (A + x(A))-1(1
-- x(A)) pour tout A E E.
Une simple vérification montre que g =
co, on utilise le théorème 2.2[p.38] et le lemme 3.1[p.39],
alors
(a*a +
îp)-1a* =
(a*a + îp)-1(e
-- p)a* =
g(a*a)a* =
co(a*a)a* =
a+. Idem pour l'autre.
Th'eor`eme
3.2 Soit a E A+. Si
(fa) est une suite de fonctions converge
uniformément sur C(E) vers la fonction co, alors
a+ = lima
fa(a*a)a* =
lima
a*fa(aa*).
Preuve:
On utilise le théorème 2.2[p.38] et la
continuité de la norme.
Exemple 3.1 Si a E
A+.alors
a+ =
lima+0(a*a +
ae)-1a* = lima+0
a*(aa* +
ae)-1.
En effet : pour tout a =6 0 et pour tout A E E;
Posons fa(A) = (a +
A)-1(1 -- x(A)).
Alors fa(0) = 0 pour tout a et
lima_+0 fa(A) = A-1,si A
=6 0, avec convergence uniforme sur E, la première formule vient
du
(a*a +
ae)-1a* = (a*a
+ ae)-1(e -- p)a*
= fa(a*a),
Idem pour l'autre.
Exemple 3.2 On peut écrire
a+ = f08
exp(--ta*a)a*dt =
f08 a* exp(--taa*)dt .
En effet : On pose fa(A) = f08
e-tA(1 -- X(A))dt et puis on utilise
le théorème 3.2[p.40] et lemme 3.1[p.39].
Pour donner une expression de l'inverse de Drazin en fonction de
celui de l'inverse de Moore-Penrose.
Proposition 3.1 Soit a E
AD avec i(a) fini. Si
a2m+1 E A+ pour m >
1,alors
aD =
am(a2m+1)+am.
Preuve:
Soit a2m+1 =
a2m+1xa2m+1 pour x E A.
Si b = aD,alors ab = ba et
asbs+1 =
b,am+sbs =
am pour tout
s E N.
D'o`o : amxam =
bm+1a2m+1xa2m+1bm+1 =
b2m+2a2m+1 = b =
aD.
4 Continuité de l'inverse de Drazin
Rappelons les deux théorèmes crucials de
continuité dans les algèbres de Banach .
Th'eor`eme
4.1 Si a est un élément inversible dans une
algèbre de Banach A et si an a,alors an
est inversible pour tout n assez grand et ,
a77,1 a+1.
Ce théorème est faux en général
pour l'inverse de Drazin car l'ensemble des éléments qui
admettent un inverse de Drazin peut ne pas 'etre ouverte voir
(Remarque 1.3[p.19]), donc la convergence simple de an a
est encore insuffisant pour aDn
aD.
Exemple 4.1 Soit A l'algèbre des des
fonctions continues a` valeurs complexes sur [0,1] U
[2,3] avec la norme de convegence uniforme.
Définissons a et an par :
a(t) =
{ 0 si t E [0, 1]. et an
(t) = { t/n si t E [0, 1].
t si t E [2, 3]. t si t E
[2,3].
alors a admet un inverse de Drazin aD
défini par
{0 si t E [0, 1].
aD(t) =
1/t si t E [2,3].
Cependant pour tout n ,an n'admet pas un inverse
de Drazin car a(an) = [0, 1/n]
et 0 E a(an). Exemple
4.2 Soit a un élément nilpotent d'ordre 3
dans une algèbre ,alors aD=0. Pour chaque n,
an = a + e/n admet un inverse de Drazin avec
aDn = (a + e/n)-1 =
ne -- n2a +
n3a2. Nous avons
an a pourtant aDn 4
aD, on remarque que llaDn ll
n'est pas borné.
Th'eor`eme
4.2 Si an est un élément inversible dans
une algèbre de Banach A tel que an a et si
llaDn ll est pas borné,
alors a est borné et a77,1
a+1.
Notations : On note Or =
{A : 0 < |A| < r} le disque
pointé de centre 0 et de rayon r.
Th'eor`eme
4.3 Soit (an) une suite drazin
inversible dans une algèbre A telle que an - a avec
a Drazin inversible ,et soient pn et p les deux idempotents
correspondant a` 0. Alors les assertions suivantes sont equivalentes
:
1. aD n _+ aD,
2. supIaD n I <
00,
3. sup r(aD n ) <
00,
4. inf d(0,a(an)\{0}) ~
0,
5. il existe r > 0 tel que
LIr = {A : 0 < A < r} c
p(a) n (fl n=1 p(an)),
6. aD n an -4 aaD,
7. pn -4 p
Preuve:
Les implications 1 = 2 = 3 = 4 = 5 sont faciles ( en 4
d(0, a(an)\{0}) = 00. Si
r(aD n ) = 0).
5= 7] Soient h0={A :|A |<1/3r } et
h1={A :|A |>2/3r }, et soit f une fonction
holomorphe définie sur h0 U h1 par f(A) = 1 sur h0 et
f(A) = 0 sur h1. Comme h1 contient a(a)\{0}
et a(an)\{0} pour tout n alors
f(a) = p et f(an) =
pn pour tout n.
d'o`u
f(an) = f(a).
7 6] De pn = e - aD n
an et p = e - aDa par
[12,TH,3.3.7]
7 = 1] Si 7 est vérifiée ,alors
an+pn -4 a+p avec a+p E
Inv(A) par corollaire 4.3[p.25] et
(an+pn)-1 (a +
p) 1 par le théorème 4.1[p.41]. Donc aD n
= (an + pn)-1(e
- pn) = (a + p)-1(e
- p) = aD.
d'o`u le résultat.
Chapitre V
Eléments qui coummutent avec l'inverse de
Moore-Penrose
1 Préliminaire
Dans tout ce chapitre A désigne une
algèbre unitaire.
Lemme 1.1 Soit a E A simplement
polaire dont a l'idempotent de correspondant a` A = 0.
Alors
a-1(0) = aðA , aA =
(að)-1(0)
a_1(0) = Aa , Aa
= að -1(0),
et A = a-1(0) aA =
a_1(0) Aa avec Aa et aA sont fermés.
Preuve: On démontre seulement le
résultat pour a-1(0) et aA, le reste est
similaire.
Soit ax = 0. Alors aðx =
(e_aDa)x = x et
a-1(0) C aðA. Six =
aðz avec z E A ,alors ax =
aaðz = 0 et aðA C
a-1(0).
Soit x = au pour u E A. Alors
aðx = aðau = 0,et aA C
(að)-1(0).
Soit aðx = 0. Alors (e -
aaD)x = 0, et x = aaDx
,d'o`u
(að)-1(0) c aA.
Comme a est idempotent, alors A =
aðA (að)-1(0).
Lemme 1.2 Soit a E
A+. Alors
a+ = a*(a*a
+
(a*a)ð)_1 =
a*(aa* +
(aa*)ð)_1.
(V.1)
a*A_1 =
a+A-1
A_1a* =
A-1a+ (V.2)
a*_1(0) = (a+)-1(0) a*
-1(0) = a+-1(0) (V.3)
Preuve: Remarquons d'abord que pour tout
a E A+,
a(a*a)" = 0 et
(a*a)"a* = 0 car
a(a*a)" = a(e
-- a+a) = 0 et pour la 2 eme on prend l'adjoint de
la premiere d0o`u par
théorème 2.2[p.38] on a : a+ =
(a*a)Da* =
(a*a +
(a*a)1)-1(e
-- (a*a)")a* =
(a*a +
(a*a)1)-1a*.
idem pour l'autre.
2 Eléments qui commutent avec son inverse de
Moore-Penrose
Th'eor`eme
2.1 Soit a E A+. Alors
a+a = aa+ si et seulement si a
est simplement-polaire avec a est auto adjoint et
ae = (a*)ð
= a*a)ð(=
(aa*)ð (V.4)
.
Preuve: Si a est simplement polaire
alors a* l'est avec
(a*)1r =
(a1)*. Si p = a' est auto
adjoint, alors (a*a)p =
p(a*a)e = 0 et
(a*a + p) =
(a* + p)(a + p) E
A-1.
D'après le corollaire 4.3[p.25],
a*a est simplement polaire et
(a*a)' = a'. De
màeme on démontre que
(aa*)" = a'),et par
théorème 2.2[p.38], on a : a E A+
et
a+a =
(a*a)Da*a
= e -- (a*a)" = e --
(aa*)" =
aa*(aa*)D =
aa+.
Inversement, soit a E A+ avec
a+a = aa+. Comme
a+ = a+aa+ et
a = aa+a,alors aD existe
et aD = a+. De plus aa' =
a(e -- aDa) = a(e --
a+a) = 0 et a est simplement-polaire. Donc
(að)* = (e --
aDa)* = (e --
a+a)* = e --
(a+a)* = e --
a+a = a". Corollaire
2.1 Soit a E A alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. a E A+ et
a+a = aa+ ;
2. a E A+ n AD et
a+ = aD ;
3. a est simplement polaire et
(a*)' = ae ;
4. a est simplement polaire et ar =
(a*a)" (respectivement ae =
(aa*)');
5. a E A+ et
(a*a)" = (aa*)"
;
Corollaire 2.2 Soit a E
A+. Alors a+a =
aa+ si et seulement si
a+ = f(a).
avec f une fonction holomorphe définie sur un
voisinage de a(a).
Preuve: Si a+a =
aa+, alors a+ = aD
donc aD = f(a) par le corollaire
précédent et 5.7[p.27] Inversement,si a+ =
f(a), pour une fonction définie sur un voisinage de
a(a), d'après la propriété de la
fonction f, alors a+ commute avec a.
Remarque 2.1 Si a+
commute avec a, alors
ax = xa = a+x =
xa+ avec x E A.
Th'eor`eme
2.2 Soit a E A+, alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. a+a =
aa+ ;
2. a2a+ = a =
a+a2 ;
3.
(a*a)ða = 0 =
a(aa*)ð ;
4. a-1(0) = a*_1(0)
;
5. a_1(0) = a* -1(0) ;
6. aA = a*A ;
7. Aa = Aa* ;
8. aA-1 =
a*A_1 ;
9. A_1a =
A_1a* ;
10. a E a+A fl
Aa+ ;
11. a E a+A-1
fl A-1a+ ;
Preuve:
les 3 premièrs assertions sont équivalentes.
Montrons que 1 implique 4-6, d'après le
théorème 2.1[p.44] a est simplement polaire dont
a l'idempotent correspondant a` A = 0 est auto
adjoint. Par le lemme 1.1[p.43].
a-1(0) = aðA =
(að)*A =
(a*)ðA =
a*_1(0).
aA =
(að)-1(0) =
(að)*_1(0) =
((a*)ð)_1(0) =
a*A.
Pour les équations a_1(0) = a* -1(0)
et Aa = Aa* ils s'obtiennent en prenant l'adjoint,
ce qui prouve 4, 5et6. Montrons 11, on a : a =
a2a+ = (a +
að)2a+ et a +
a E A-1 par le corollaire 4.3[p.25] 11; Idem a
= a+(a +
að)2.
Pour 10 on l'obtient de 11 , et 8 et 9 on l'obtient de 11 .
Inversement. Montrons que chaque conditions de 4 a` 11
implique 2.
Remarquons que 8 et 9 sont équivalentes (on prend
l'adjoint), eux màeme implique 9; 9 de son tour
implique 10.
Les conditions 6 et 7 sont équivalentes (on prend l'adjoint), eux
màeme implique 10;
V.3 Produit des éléments qui commutent avec
l'inverse de Moore-Penrose
De 10 on deduit 2 : en effet, si a =
ua+, alors a -
a2a+ =
u(a+ -
a+aa+) = 0; Si a =
a+v, alors a -
a+a2 = (a+ -
a+aa+)v = 0. Les conditions 4
et 5 sont équivalentes (on prend l'adjoint) eux màeme
implique 2 :e - aa+ E
(a+)-1(0) =
(a*)_1(0) = a-1(0), idem
e - a+a E a_1(0) par lemme
1.2[p.43] et 5.
3 Produit des éléments qui commutent avec
l'inverse de Moore-Penrose
On note par A+ com les éléments
de A+ avec a+a =
aa+. Alors A+ com n'est pas stable par la
mutltiplication dans A.
|
Exemple 3.1 Si A = C3×3
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0
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1
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0
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1
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2
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2
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0
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A = ?
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1
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0
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0
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, B = ?
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0
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2
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0
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, AB = ?
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1
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0
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2
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?
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0
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0
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?
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2
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0
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1
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?
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0
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0
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0
|
Alors A,B E A+ com et A+ =
A et B+ = B-1. Mais les matrices
(AB)+,(AB)(AB)+
et (AB)+(AB)
?
|
sont égales respectivement a`
1
10
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0
5
0
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2
0
4
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0
0
0
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?
, ? ?
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1
0
0
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0
1
0
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0
0
0
|
5
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, 10
|
1
2
|
0
1
0
|
2
0
4
|
et (AB)(AB)+ =6
(AB)+(AB).
?
Th'eor`eme
3.1 Supposons que a, b E A+ com et ab =
ba. Alors ab E A+ com et (ab)+ =
a+b+ =
b+a+.
Preuve: D'après le corollaire
2.1[p.44],a+ = aD et
b+ = bD. L'ensemble {a, b,
aD, bD} est commutative, et ab est Drazin
inversible avec (ab)D =
aDbD = bDaD. On
vérifie que ab est simplement polaire avec a est
l'idempotent correspondant a` A = 0 et a est auto
adjoint, en effet :
(ab)(ab) = ab(e -
(ab)(ab)D) = ab(e -
aaDbbD)
= ab -
(a2aD)(b2bD)
= ab - ab
?
? ?
?
= 0
Ce qui montre que ab est simplement polaire. Par le
théorème 1.2[p.20], l'idempotent correspondant a` A
= 0 a = e - aDa et b =
e - bDb sont auto adjoint,donc aDa
et bDb sont auto adjoint, et
V.4 Continuité de Moore-Penrose
((ab)(ab)D)* =
(aaDbbD)* =
(bbD)*(aaD)*
= bbDaaD =
(ab)(ab)D. Ainsi
(ab)" = e --
(ab)(ab)D est auto adjoint,ab
E A+com et
(ab)+ = (ab)D
= aDbD =
a+b+.
4 Continuité de Moore-Penrose
Th'eor`eme
4.1 Soit A une algèbre de Banach an,a E
AD avec an a. Alors
aDn --} aD
<=> anDan--
aDa.
Preuve:
On suppose que aDn aD.
Alors an Dan aDa.
D'après la continuité de la multiplication dans A.
Invesement, si an Dan
aDa, alors
aDn = (an
+ pn)-1(e -- pn)
--} (a + p)+1(e -- p) =
aD, avec pn = e - aD
n an,p = e-- aDa
l'idempotent de an et a a` 0.
Th'eor`eme
4.2 Soit A une C*-algèbre , et
an,a E A+ avec an a. Alors
les conditions suivantes
sont équivalentes :
1. an+
a+,
2. sup Ilan+ II <
o.
3.
an+an--
a+a
4. ana+n aa+
Preuve: 1 <=> 2] L'implication directe
est claire. Pour l'implication inverse on utilise l'identité
:
b+ -- a+ =
--b+(b -- a)a+ +
(e -- b+b)(b* --
a*)(a+)*a+
+
b+(b+)*(b*
-- a*)(e -- aa+).
Posons b = an,alors
Ia+n -- a+k < 3
maxfila+112,
1a+n
12}Ian -- all.
1 <=> 3] L'implication direct d'après la
continuité de la multiplication. Pour l'implication inverse
d'après
le théorème 2.2[p.38],qn
= e -- a+n
an,q = e-- a+a
sont l'idempotent de simplement polaire
a*nan,a*a.De
a*n
a*, nous avons
an*an a*a,et
d'après le théorème précédent,
qn q =
(a*nan)D
(a*a)D,
d'o`u
a+n =
(a*nan)Da*n
(a*a)Da*
= a+.
1 <#> 4] Idem.
5 Applications
5.1 Inverse généralisé d'un
opérateur non borné
Soit B un espace de Banach complexe et notons
par C(B) l'ensemble des opérateurs
fermés a` domaine dense dans B et a`
valeurs dans B,si A E B on notera
par D(A) son domaine ,N(A) son noyan et
R(A) son image. L(B) dénotera le
sous ensemble des éléments bornés de
C(B).
Définition 5.1 On appelle
operateur lineaire non borne de B vers
B toute application lineaire A : D(A) C B
B definie sur un sous espace vectoriel de D(A)
de B a` valeurs dans
B. D(A) est le domaine de l'operateur A.
On dit que A est bornee s'il existe une constante c >
0 telle que
11A(u)11 c11u11 Vu
E D(A)
Définition 5.2 Un operateur A dont
D(A) = B est ferme si :
V(un) C D(A) :(lim
un = u et lim Aun = v)
alors u E D(A) et Au = v. Un operateur A
est fermable si : (un) C D(A),
un -} 0 et Aun y alors y = 0.
Lemme 5.1 [Neubauer] Soit A, B
E C(B). Alors si B E
C(B) et si R(A) fl
N(B) = {0}, R(A) est ferme.
Définition 5.3 Soit A E
C(B). Alors B E
C(B) est un inverse generalise de A si
R(A) C
D(B),R(B) C
D(A)
Vu E D(A), Au =
ABAu,
Vu E D(B),Bv =
BABv,
On ecrit A(inv)B.
Remarque 5.1 La relation ainsi definie est
symetrique c -- a` -- d A(inv)B
<=> B(inv)A.
Lemme 5.2 Soit A, B E
C(B) avec A(inv)B. Alors
1. AB est une projection de D(B) sur
R(A),de noyan N(B).
2. BA est une projection de D(A) sur
R(B),de noyan N(A).
Preuve: Par symétrie entre A
et B,il suffit d'établir 1.
comme D(AB) = D(B) et
si v E D(B),alors AB(ABv) =
(ABA)Bv = ABv. En outre : R(AB) C
R(A) et N(B) C N(AB).
Si v E R(A) alors ]u E
D(A) tel que v = Au = ABAu E
R(AB). Donc R(A) = R(AB) et
si v E N(AB) alors ABv = 0. D'ou
Bv = BABv = 0 et par conséquent v E
N(B). Donc N(AB) = N(B) et 1
est démontré.
Remarque 5.2 Soit A, B E
C(B) avec A(inv)B. Alors
D(B) = N(B) ED R(A) et
D(A) = N(A) ED
R(B).
Lemme 5.3 Soit A, B E
C(B) avec A(inv)B. Alors AB,
considéré comme un opérateur de B dans
lui màeme, est fermable,si et seulement si
R(A) n N(B) = {0}. Alors
D(AB) = R(A) ED N(B)
;
R(AB) = R(A) ; N(AB)
= N(B) et (AB) est une projection de
D(AB) sur R(AB), de noyan
N(B).
Preuve: Soit {vn} E
D(AB) = D(B) telle que vn
0,ABvn w, alors w E R(A).
Comme
un = (I --
AB)vn E N(B) et
un --w on voit que w E
R(A). Donc w E R(A) n
N(B) = w = 0. Inversement, soit v E
R(A)nN(B). Alors il existe une suite
{un} E D(A) telle que Aun
v, et comme
ü E N(B) C D(B),
si wn = Aun--v on a :
wn E D(B) et ABwn =
ABAun--ABv = Aun ; Donc
wn 0 et ABwn v, donc v = 0.
Supposons maintenant que AB est fermable, notons (AB) sa
fermutre et soit u E R(A) + N(B).
Alors u = v + w avec w E
N(B) et il existe une suite {xn} E
D(A) telle que Axn v. Posons
un = Axn + w. Alors
{xn} E D(B), et ABun
= Axn. Donc un u,ABun
v,d'ou
u E D(AB) et v = ABu. Alors
il existe une suite {un} E D(B) telle
que un u,ABun v d'ou
ü E R(A) et comme un
= (I -- AB)un + ABun u,alors
(I -- AB)un w = u -- v
E N(B),d'o`u
u E R(A) + N(B). Donc
D(AB) = R(A) + N(B);
R(AB) = R(A); N(AB) =
N(B) et (AB)2(AB).
Corollaire 5.1 Soit A, B E
C(B) avec A(inv)B. Alors AB
considéré comme un opérateur de B dans lui
màeme, est fermé si et seulement si
R(A) est fermé.
Corollaire 5.2 Soit A, B E
C(B) avec A(inv)B. AB
E L(B) si et seulement si R(A) ED
N(B) = B. Définition 5.4
Soit A, B E C(B) avec
A(inv)B). On dira que B est un inverse
généralisé stricte de
A (ce qui sera noté A(INV )B si
R(A) ED N(B) = R(B) ED
N(A) = B
Dans un espace de Hilbert une condition nécessaire est
suffisante pour que un opérateur admet un inverse
généralisé sera donnée par le
théorème suivant :
Th'eor`eme
5.1 Un opérateur T admet un inverse
généralisé dans A = L(H) si et
seulement si R(T) est femré.
Preuve: [7]
5.2 Inverse de Moore-Penrose pour les opérateurs
fermés bornés
Définition 5.5 Soient H un espace de
Hilbert et A E L(H). On dit que B
est l'inverse de Moore-Penrose de A si :
ABA = A , BAB = B , (AB)*
= AB , (BA)* = BA Un tel B quand il existe
il sera noté par A+.
Th'eor`eme
5.2 Soit A E L(H) un opérateur
dont l'image est fermé sur un espace de Hilbert. Alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. A+A =
AA+ ;
2. H = N(A) ED'
R(A) ;
3. N(A) = N(A*)
;
4. A = PA avec P E
L(H)-1.
Preuve: Posons A =
L(H).1 2 par le théorème 2.1[p.44]( simplement
polaire avec auto adjoint
projection).
1 4 par le théorème 2.2(9)[p.45]. Etablissons 1 3,
remarquons que pour deux opérateurs femrés
A, B sur H,
[N(LA) c N(LB)]
[N(A) c N(B)].
avec LT l'application lineaire U 7? TU
sur L(H) et on applique le théorème
2.2(4)[p.45] 5.3 Inverse de Drazin pour les opérateurs
linéaires fermés
On note par C(X) l'espace des opérateurs
fermés dont le domaine et l'image dans X et
B(X) l'espace des opérateurs bornés
définis sur X tout entier.
Th'eor`eme
5.3 [13, theoreme1.4] Soit A un opérateur
fermé dont le domaine D(A). 0 est un point
isolé de a(A) si et seulement si il existe un
projecteur P non nul vérifiant :
1. R(P) C D(A).
2. PAx = APx pour tout x E
D(A).
3. a(AP) = {0}.
4. A + P est inversible pour î =6
0.
Un tel P est appelé l'idempotent de A correspondant
a` 0. Lemme 5.4 Soit A E
C(X) et B E B(X). Alors
:
1. A + B E C(X) et
D(A + B) = D(A).
2. Si R(B) C D(A),alors
AB E B(X).
3. Si R(B) c D(A),ABx
= BAx pour tout x E D(A) et A est
inversible, alors A-1B = B-1A
dans B(X).
4. Soit 0 o-(A) et P l'idempotent
de A correspondant a` 0. Alors R(P) C
D(An) pour tout n ~ 1. Si
R(B) C D(A) et ABx = BAx pour tout
x E D(A), alors BP = PB.
Convention : Si A E
C(X) et B E B(X) avec
R(B) C D(A) et ABx = BAx
pour tout x E D(A), on écrit AB
= BA.
Définition 5.6 Soit A E
C(X). Un opérateur B E B(X)
est appelé l'inverse de Drazin de A si R(B) C
D(A) , R(I -- AB) C
D(A) et
BAB = B, AB = BA,
a(A(I -- AB)) = {0}. (V.5)
l'index de Drazin i(A) de
l'opérateur A est défini par :
|
i(A) =
|
1
|
0 si A est inversible.
q si A est non inversible et A(I --
AB) est nilpotent d'index q. co ailleurs.
|
Un opérateur A E C(X) qui
admet un inverse de Drazin est appelé Drazin inversible,est son inverse
de Drazin sera noté AD.
Lemme 5.5 Soit A E
C(X) Drazin inversible dont l'inverse de Drazin B E
B(X). Alors l'opérateur P = I -- AB
est un projecteur continue vérifiant :
1. AP = PA.
2. R(P) C
D(An) n > 1.
Preuve:
1. De BAB = B on obtient
(AB)2 = ABAB = AB, ce qui implique
P2 = P.Si y E D(A), alors
ABy = y -- Py E D(A) et
d'après la 2 ème condition en V.5
APy = A(y -- ABy) =
A(y -- BAy) = (I -- AB)Ay
= PAy,
d0o`u le
résultat.
2. Pour n = 1,on a : R(P) C
D(A) supposons y = Px E
D(An-1) pour n > 2. Alors
Py = y, et d'après
1,d'o`u
Ay = APy = PAy E
D(A),
donc y = Px E
D(An).
Donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un
opérateur A E C(X) admet un inverse de
Drazin.
Th'eor`eme
5.4 les conditions suivantes sont équivalentes :
1. A E C(X) est Drazin
inversible.
2. 0 El acca(A).
Preuve: Supposons que 0 n'est pas un point
d'accumulation de a(A).
Si 0 El a(A) donc A est inversible
et A-1 est l'inverse de Drazin de A. Supposons que
0 E o-(A), Alors Si 0 E isoa(A),
alors d'après le théorème 5.3 il existe P
correspondant a` 0 avec (î = 1).
Posons B = (A +
P)-1(I -- P),alors D(A
+ P) = D(A) et R(B) =
R((A + P)-1(I -- P)) C
D(A),la
commutativité de V.5 est évidente.
De plus,AB =
A(I--P)(A+P)-1 =
(A+P)(I--P)(A+P)-1
= I--P, et BAB =
(A+P)-1(I--P)2 =
(A+P)-1(I --P) = B,
comme AP est qausi nilpotent, alors a(A(I
--AB)) = {0}, d'o`u B
satsfait V.5 Inversement,supposons que B est l'inverse de Drazin
de A,et posons P = I -AB, d'après le
lemme 5.5 P est un projecteur continue satisafiat le
théorème 5.3[p.50] et,AP = A(I -
BA) est quasi-nilpotent. Montrons que A + P E
C(X) est inversible, en effet on a :
(A + P)(B + P) = AB
+ AP + PB + P = I -- P +
AP + P = I + AP,
et (B + P)(A + P)x =
(I + AP)x pour tout x E
D(A). Comme (I + AP) est inversible il en
est de màeme pour (A + P),par le
théorème 5.3 0 ?/ acca(A).
Remarque 5.3 Pour tout =6 0 (A
+ P)B = I - P car (BP = 0)
ce qui implique B = (A + P )-1(I
- P).
D'après l'unicité de Drazin inverse on peut
écrire explicitement de AD :
AD = (A + P)-1(I
- P) pour tout =6 0.
On remarque que P = I -
ADA.
Nous donnons un résultat qui permet de caractériser
l'inverse de Drazin pour un opérateur fermé.
Th'eor`eme
5.5 Si A E C(X) Drazin inversible,
alors
AD = f(A),
avec f une fonction holomorphe définie sur un ouvert
de a(A) est égale a` 0 sur un voisinage de
0 et oo,et A-1 pour tout A appartient a
un ouvert de a(A)\{0}.
Si de plus i(A) >
0,alors
a(AD) = {0} U
{A-1 : A E ó(A)\{0}}
Preuve: [27]
Th'eor`eme
5.6 Soit A E C(X). Si A est Drazin
inversible, alors il existe voisinage L pointé de 0
tel que :
R(A; A) = P8 n=0
A-n-1AnP - P8 n=0
An(AD)n+1, A
E L,
Avec P = I - AAD l'idempotent de
A correspondant a` 0 et R(A; A) la
résolvante de l'opérateur A. Preuve:
D'après le théorème 5.4[p.51] et d'après
l'équation :
(AI - A)x = (AI -
AP)Px + (AI - (A + P))(I
- P)x
qui est vrai pout tout x E D(A) et
pour tout A dans un voisinage de L (pour que (AI - (A
+ P)) )soit inversible,alors
R(A; A) = (AI -
AP)-1Px + (AI - (A +
P))-1(I - P)x X8
A-n-1AnP - X8
An((A + P)-1(I -
P))n+1
n=0 n=0
Remarque 5.4 AnP est
définie est borné pour tout n > 1 (Lemme
5.4).
Th'eor`eme
5.7 Soient A E C(X) Drazin inversible
et B E B(X) tel que R(B) C
D(A)et AB = BA. Alors ADB =
BAD dans B(X).
Preuve: Soit P l'idempotent de A
correspondant a 0,d'après le lemme 5.4,BP = PB
dans B(X). D'o`u
ADB = (A +
P)-1(I - P)B = B(A
+ P)-1(I - P) =
BAD
Th'eor`eme
5.8 [27] Soit A E C(X) Drazin
inversible. Alors pour tout n > 1, An est Drazin
inversible et (An)D =
(AD)n.
Th'eor`eme
5.9 Soit A E C(X) Drazin inversible
d'index de Drazin i(A) > 0. Alors AD
est Drazin inversible si et seulement si o-(A) est
borné.
Preuve: D'après le
théorème 5.4, a(AD) = {0} U
{A-1 : A E a(A)\{0}}. Donc
l'opérateur AD est Drazin inversible si,et seulement
si ,il existe un voisinage {A :| A |< r} de 0
disjoint de o.(AD) et a(A) est
contenu dans {A :| A |< r-1}.
6 Le coeur d'un opérateur Drazin inversible
6.1 Le gap de deux sous espaces fermés
On note par L(X) l'algèbre de Banach des
opérateurs bornés munie de la norme ITI =
sup{ITxI :
IxI = 1}.
N(T) désigne le Noyan de
T,R(T) designe l'image de T
respectivement.
Pour des espaces fermés M et N de
X, on définit l'ouverture entre M et N
(noté par gap) par:
gap(M, N) = max{5(M,
N), c(N, M)}
avec
6(M, N) = sup{d(u,N) :
u E M, Ilull = 1}.
Lemme 6.1 Soient P et Q deux projecteurs.
Alors on a :
gap(R(Q), R(P) <
max{1(I -- Q)P II, 1(I --
P)Q11}. (V.6)
gap(N(Q), N(P) <
max{1(Q(I -- P)1, IIP (I
-- Q)Il. (V.7)
I(I -- P)Q1 11(I --
P)1111Q1Igap(R(Q),
R(P)). (V.8)
1P(I -- Q)11 I(I --
Q)1111Pligap(N(Q),N(P)).
(V.9)
Preuve:
1. Soit u E R(P) : Iul = 1.
Alors d(u,R(Q)) = infxEX
Ilu -- QxIl < Ilu - Qull = I(I
- Q)ul = 1(I - Q)Pul k(I
- Q)P1.
et par suite :6(R(P),
R(Q)) < 1(I -- Q)PII.
De màeme on démontre que
:6(R(Q), R(P)) < 1(I
-- P)Q1. D'o`u le résultat
2. De N(P) = R(I --
P) et N(Q) = R(I -- Q) et
(1),on obtient (2).
3. Soit u E R(P) : Ilull =
1,Alors pour tout x E X, (I --
P)Qx = (I -- P)(Qx -- u).
|
|
11(I --
|
P)QxI
|
11(I --
|
P)Ildist(Qx, R(P)))
|
|
11(I --
|
P)Qx11
|
11(I --
|
P)Ilgap(R(Q),
R(P)1Qx1.
|
|
11(I --
|
P)QxI
|
11(I --
|
P)Igap(R(Q),
R(P)1Qx11xk.
|
|
4. De N(P) = R(I --
P) et N(Q) = R(I -- Q) et (3)
on deduit (4).
|
Corollaire 6.1 Soient P et Q deux
projecteurs qui commutent. Alors on a :
|
|
|
11(P
|
-- Q)11
|
<
a(P,Q)gap(R(Q),
R(P)),
|
(V.10)
|
|
11(P
|
-- Q)11
|
a(Q,
P)gap(N(Q),
N(P)),
|
(V.11)
|
Avec a(P,Q) = 11(I --
P)1111Q11 + 11P1111(I --
Q)11.
Preuve:
1. On utilise le résultat de [11, Th, 3] on a
: gap(N(T*),
N(S*)) = gap(R(T),
R(S)) pour tout T, S E L(X).
Donc en remplacant P, Q parP*,
Q*,dans V.9 on obtient :
11(I -- Q)P11 =
IP*(I -- Q*)I 11(I
-- Q)1111Pligap(R(Q),
R(P)) (V.12)
. Si PQ = QP, alors 11(P --
Q)11 G 11(I -- P)Q11 + 11(I --
Q)P1 et on utilise lemme 6.1.
2. par dualité et on utilise 1.
Lemme 6.2 Si P et Pn deux
projections dans L(X),alors :
1. 1IPn -- P11 mo 0.
2. gap(R(Pn),
R(P)) = 0 et gap(N(Pn),
N(P)) = 0.
3. Si PnP = PPn pour n assez
grand. Alors chaque conditions en 2 implique 1.
Preuve:
1. =] 2 On utilise 1 et 2 du lemme 6.1
précédent,avec Q = Pn.
2. =] 1 De 11Pn -- P11 G
I(I -- P)Pn11 + 1P (I --
Pn)I et 3 et 4 avec Q = Pn on
obtient : 11Pn -- P11 <
i{Pn}{1(I --
P)11gap(R(Pn), R(P)) +
11P11gap(N(Pn), N(P))}
(V.13)
Avec p{Pn} =
max{11Pn11, III
--Pn1}, il suffit donc de montrer que
p{Pn} est borné. Remarquons
que p{Pn}G11Pn11
+ 1,alors V.13 implique 11Pn --
PlIG(11Pn11+ 1)en avec en
? 0 et en = 0
d0o`u
:11Pn11G11P11+11Pn
--P11 GIIP11+ (11Pn11+
1)en (1 -- en)11Pn11G11P11+
en
11Pn11 (1 --
en)-1(11P11+ en) 2(11P11+
1) si 0 G en < 1/2. pour 3 de 2.
On va définir :
Définition 6.1 On définit la
conorme de l'opérateur T E L(X) par :
'y(T) = co si T = 0, 'y(T) =
inf{11Tull Avec :dist(u, N(T))
> 0} si T =6 0.
Th'eor`eme
6.1 [9] 'y(T) > 0 si et seulement
si,R(T) est fermé.
Lemme 6.3 [Markus, 11,pp.268
-- 269] Soient A, B E L(X) deux
opérateurs dont l'image est fermé, alors :
- I -y(A) -- -y(B) I
1-2gap(N(A),N(B))
avec gap(N(A), N(B)) <
1/2.
3kA-Bk
- I 7(A) -- ,(B) I
1-2gap(R(A),R(B)) avec
gap(R(A), R(B)) <
1/2.
3kA-Bk
- gap(N(A), N(B))
< max{ 1
ã(A),
7(1B) }1IA -- B11.
- gap(R(A), R(B))
G max{ 1
ã(A),
7(1B) 111A -- B11.
Lemme 6.4
[11,Théorème 2 et remarque
1] Soient Cn et C deux opérateurs dont l'image sont
fermés dans L(X) avec Cn C, alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
1. inf -y(Cn) >
0.
2. lim-y(Cn) =
-y(C).
3. gap(R(Cn),R(C)) 0.
4. gap(N(Cn),N(C)) 0.
6.2 Le gap et l'inverse de Drazin Donnons le
théorème suivant :
Th'eor`eme
6.2 [27] Un opérateur A E L(X)
est Drazin inversible si et seulement si, il existe C E
C(X) et Q B(X) tel que :
1. D(C) = D(A) avec C
est Drazin inversible et i(C) < 1.
2. Q E B(X) est qausi nilpotent
et R(Q) C D(A)
3. A = C + Q et CQ = QC =
0.
Soit A E L(X) Drazin inversible
alors A = C + Q avec i(C) < 1,
Q est qausi-nilpotent et CQ = QC = 0 , C
est appelé le coeur de Drazin inversible de l'opérateur de
A . Comme Q est qausi-nilpotent et commute avec A et
C alors AI - A est inversible si est seulement si,
AI - C est inversible,d'o`u
:
ó(A) =
ó(C). (V.14)
De plus, CD = AD
théorème 5.6[p.27].l'idempotent P de A
correspondant a` 0,est celui de C correspondant
a` 0 et :
N(C) =
R(P),R(C) = N(P)
(V.15)
Th'eor`eme
6.3 Soient An et A deux opérateurs dans E
L(X) Drazin inversibles, et soient Pn et P les
deux projections de Pn et P respectivement correspondant a 0
et Cn et C les coeurs de An et A, alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
1. AD n _AD,
2. sup IAD n I < 00,
3. supr(AD n ) <
00,
4. inf d(0,a(AD n )\{0})
> 0,
5. il existe r > 0 tel que
LIr = {A : 0 < Al <
r} c p(A) n (fl n=1
p(An)).
6. AD n An - ADA,
7. Pn -~ P,
8. gap(R(Pn),
R(P)) -? 0 et
gap(N(Pn), N(P)) -?
0.
9. gap(R(Cn),
R(C)) -? 0 et
gap(N(Cn), N(C)) -?
0.
10. Cn - C et
gap(R(Cn),R(C)) -?
0.
11. Cn - C et
gap(N(Cn),N(C)) -?
0.
12. (Cn) --~
ã(C).
13. infn 'y(Cn)
> 0.
|
[Alors Cn -? C et An -?
A,mais AD n =
|
0 0
0 n
|
?6 AD.
|
Preuve:
1. =] On aura de : 1 a` 7 par le théorème
4.3[p.42].
2. 7 = 8] C'est une conséquence du lemme 6.2.
3. 8 = 9] Par V.14.
4. 9 = 10] Par 11 et Cn =
An(I - Pn) - C =
A(I - P).
5. 10 = 11] Lemme 6.4.
6. 12 = 13] Est clair.
7. 13 = 14] Voir V.15
Remarque 6.1 la condition
Cn -+ C dans 10 et 11 du
théorème6.3 est insuffisant pour montrer que
AD n _ AD .
|
Exemple 6.1 An =
Cn =
|
[ ] [ ]
0 0 0 0
et A = C =
0 1/n 0 0
|
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