Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

3.1.3 Stabilité du modèle

Commençons par examiner la coercivité de la forme quradratique :

ZK(X, Y) = Ù[c2 _f r?(x)
· Vø(x) - (V?0(x)
· V?(x))(V?0(x)
· Vø(x))]dx

+ q f_rs[Vs?0(s)
· V'_s?(s)v(s) - Vs?0(s)
· V_sç(s)ø(s)]ds

_{Z Z}

+ gc² ç(s)v(s)ds + óa r_sç(s)
· r_sv(s)ds,

f _{s s}

Pour cela, considerons un élément quelconque X de H¹(Ù) × H¹(_s) , on a

_{Z Z}

K(X, X) = c2 Ù |r?(x)|²dx - Ù |r?0(x)|2|r?(x)|2dx f

_{Z Z}

+ c² r_s?0(s)
· r_s?(s)ç(s) - c² r_s?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds

f f

_{s s}

_{Z Z}

+ gc² |ç(s)|²ds + óa |r_sç(s)|²ds,

f _s s ,

(3.10)

u , le nombre de Mach

cff

posons m ₌

et

max_x?Ù|V?0|²² = u² = m²c²f,,

alors (3.10)) est minorée par :Z Z

K(X, X) = (c2 f - u2) _Ù |r?(x)|²dx + c² r_s?0(s)
· r_s?(s)ç(s)

f s )Z _{Z Z}

- c² r_s?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds + gc² |ç(s)|²ds + óa |r_sç(s)|²ds,

f f

_{s s s s}

d'oùu

K(X ,X) => (c²fq--- u²)i?ii_,Ù, +in f (gc2 _f , óa)kç(s)k2 1,_s sZ Z

+ c² r_s?0(s)
· r_s?(s)ç(s)ds - c² r_s?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds.

f f

_s s .

Et puisque nous-nous sommes placéss dans le cas oùl :

?p = 0 sur ?s..

la formule de Green permet d'obtenirr pour ?0(x)) = ux1i :

Äs?0) = 0 sur s..

Ainsi,

_{Z Z}

r_s?0(s)
· r_s?(s)ç(s)ds = - Ä_s?0(s)?(s)ç(s)ds

_{s s}

Z

rs?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds _{s Z}
= - r_s?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds,

_s

ce qui permet d'obtenir une minoration de l'opérateur K(., .) de la forme :

K(X, X) = (c² f- u2) ?k²1,Ù + inf (gc²f, óa)Iç(s)k2 1,s

_Z

- 2c² r_s?0(s)
· r_sç(s)?(s)ds,

f s

et comme le gradient de ?0 est égale à :

Vs?0 = 0,

l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au troisième terme de gauche impose l'existence d'un nombre réel positif noté á tel que :

_{Z Z c}2 _Z

f

2c² r_s?0(s)r_sç(s)?(s)ds = áu²c² |r_sç(s)|²ds + |?(s)|²ds.

f f

_{s s} á _s

l'inégalité précedente devient donc : K(X, X) = (c^2 f- u^2)i?i^21,Ù + inf (gc^2f, óa)kç(s)k2 1,s - áu^2c^2 fkçk2 1,s -

cá ^f k?k2 0,s. á

L'application trace étant continue, en désignant par c0 la constante de continuité on a,

?? ? H¹(Ù); I?I0,_s = c0l?i1,Ù,

et l'opérateur K(., .) est bornée inférieurement par un terme defini en fonction du paramètre á

c0c2 f

K(X, X) = (c2 f - u² - )k?k2 _1,Ù + (in f (gc2 _f , óa) - áu2c2 _f )kç(s)k2 1,s.

á

?

????? ?

??????

c0c2 f

á = (c2 f - u²)

Et pour que K(., .) puisse être est définie positve, il suffit que l'on puisse choisir á > 0 tel que :

ñ )

f

in f (gc2 _f , ó c2

á = ,

u²c²_f

ou encore sous forme plus explicite en simplifiant par c² f:

c0c²f

(c² u2) = á = f ceci etant possible si :

in f (gc2 _f , óc2 ñ f )

,

_u2 2

c_f

u2 ₌1 - c2 m2 inf (g, ó

Cette inégalité nous donne une condition suffisante de stabilité.

En effet, en choisissant Y = X^ÿ dans le système matriciel, et puisque la matrice C définie une forme bilinéaire antisymétrique :

C( ^ÿX, ^ÿX) = 0

et on obtient :

d 1 ÿ ÿ ¹K(X, X)] = L(^ÿX),

[_ M(X, X) + 2

dt 'z

par conséquent, lorsque L(.) = 0, le système est conservatif vis-à-vis de l'énergie définie par :

1 ÿ ÿ

= 2 M( X, X) + ¹ ₂K(X, X).

Il apparaît donc clairement que la solution du système mécanique reste uniformement bornée en temps. La valeur exacte (au sens numérique) de u notée u_c pour laquelle la forme bilinéaire K(., .) perd sa positivité sera calculée par une méthode numérique à la suite de ce travail. Reste à montrer l'existence et l'unicité d'une solution de l'équation (3.9).