3.2.1) Analyse de
l'autocorrélation empririque de la série des résidus
L'estimation du modèle 3 suppose que l'aléa  est un processus stationnaire de type bruit blanc, il convient alors de
s'assurer qu'il possède bien les propriétés d'un bruit
blanc. Surtout il convient de s'assurer que celle-ci n'est pas
autocorrélé, puisque par définition on  , si  . A cet effet, on va étudier le corrélogramme de la
série des résidus obtenue lors de l'estimation du modèle
3.
Figure 29 :
Autocorrélogramme d'ordre 12 de la série des
résidus.
Source ;
Pour un ordre k allant de 1 à 12, le
corrélogramme montre la réalisation de l'autocorrélation
empirique d'ordre k définie pour une série zt
par :
 (3.28)
La première colonne nous visualise
l'autocorrélation simple (AC) alors que la deuxième colonne
indique l'autocorrélation partielle (PAC), les rhos estimés sont
visualisés par des traits pointillés, le trait qui sort de
l'intervalle de confiance indique qu'il est significativement différent
de la valeur nulle.
On remarque que les autocorrélations simples d'ordre
4,5,7 et 12 sortent de l'intervalle de la région de confiance de
l'hypothèse de nullité, ceci signifie que la série des
résidus du modèle estimé est autocorrélée,
dans ce cas le processus  générateur de la série des résidus n'est
pas un bruit blanc. Or si le processus  n'est pas un bruit blanc i.i.d., cela remet en cause la validité
de l'ensemble des distributions asymptotiques de tests de Dickey et Fuller et
donc les conclusions que nous avons dressé quant à la non
stationnarité de la série. Ceci étant dit, Il est donc
nécessaire de tester la non stationnarité de la série en
prenant tout en compte l'autocorrélation des perturbations  : les tests de Dickey Fuller augmentés viennent pour
remédier à cette lacune, leurs objet et de modéliser les
processus stochastique tout en prenant en compte l'autocorrélation des
perturbations .
3.3) Tests de Dickey Fuller
augmentés
Ne pas prendre en considération l'hypothèse de
l'autocorrélation des aléas  lors de l'estimation du modèle de Dickey Fuller, viole une
hypothèse essentielle du modèle, en effet, la violation de cette
hypothèse rends les statistiques des tests de Dickey Fuller non
asymptotiques, par conséquent les seuils de significativité des
tests de racine unitaires seront différents.
Il y a deux approches permettant de tenir compte de
l'éventuelle autocorrélation des aléas  :
a) Approche de Philips et Perron (1988) : cette approche
consiste à proposer une correction des estimateurs des MCO et des
statistiques de Student associées à ces estimateurs prenant en
compte la possible autocorrelation des résidus.
b) L'approche de Dickey Fuller (1979) : contrairement
à l'approche de Philips et Perron, cette approche consiste à
contrôler directement l'autocorrélation dans le modèle et
non au niveau des estimateurs, cette approche consiste à inclure une ou
plusieurs termes autorégressifs différenciés.
Dans la suite, on va utiliser la deuxième approche, car
elle mène à une représentation similaire à celle du
test de Dickey Fuller simple, ainsi, nous retrouvons les mêmes
distributions asymptotiques et nous utilisons par conséquent les
mêmes tables de Dickey Fuller qu'on a utilisé
précédemment (cf. ss 1.8.1).
Si on prend en compte l'autocorrélation d'ordre p+1 des
innovations  pour un processus d'ordre AR(1), les trois modèles
utilisés pour développer le test ADF sont les suivants :
Modèle 4 :  (3.29)
Modèle 5 :  (3.30)
Modèle 6 :  (3.31)
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