I.5 Ajustement des degrés de libertés de
la statistique de Fisher
Si la condition de sphéricité est
respectée, pour p observations successives, il y'a p - 1
degrés de libertés associés au facteur
intra-sujet. Sinon l'information est réduite et le nombre de
degrés de libertés devrait par conséquent être
diminué. Il reste à savoir l'am-pleur de cette aténuation
(Yandell, 1997).
Les ajustements proposés se basent sur une
mesure de la déviation de la spéricité, ?
présenté originellement par Box (1954). Les corrections ont
été dévelopées pour des modèles à un
seul facteur intra-sujet. Soit S la matrice des covariances
échantillonnales pxp des mesures prises sur un même individu et
Cp×(p-1)
une matrice de contrastes orthonormés. Ainsi, A =
C?SC
est l'estimation de la variance des contrastes pour
laquelle on veut mesurer la sphèricité. Notons
aij les éléments de
A.
Cependant deux ajustements sont proposés
:
Ajustement de Greenhouse-Heisser (1959) :
?à =
(?p-1
i=1 aii)2
(p - 1) x--`Pi ~~=1
aij)2
Ce coefficient devient le multiplicateur des
degrés de libertés de la statistique F pour tester l'effet du
facteur intra-sujet (saison). Le test pour la comparaison des
traitements
reste inchangé. Au lieu de comparer la
quantité MSA
MSE à la distribution
F(p-1),r(n-1)(p-1),
on le compare avec
Fà?(p-1),à?r(n-1)(p-1),
sous la condition de sphèricité ?à = 1.
Toutefois l'estimateur ?à serait passablement
biaisé : les degrés de libertés sont trop réduits,
et le test devient trop conservateur (Crowder et Hand, 1990).
II. ANALYSE PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
15
Ajustement de Huynh et Feldt(1976)
Huynh et Feldt ont suggéré un nouvel
estimateur de , moins biaisé et moins dépendant de la taille de
l'echantillon. Leur ajustement ? est une fonction de
:
? ?
1, rnà? -
2/(p - 1)
? = min r(n -
1) - (p -
1)à?
Ainsi, sans ajustement, on rejettera trop souvent
l'hypothèse d'égalité des moyennes. En corrigeant à
la baisse les degrés de libertés du test F de l'analyse de
variance univariée, la valeur critique augmente, et il devient plus
difficile de rejetter l'hypothèse H0. La
probabilité de commettre une erreur de type I s'en trouve
dimuniée.
I.6 Choix de l'analyse appropriée
En ce qui concerne les tests sur le facteur
traitement, l'approche univariée et multivariée donne les
mêmes résultats. Ces deux analyses se distinguent sur les tests du
facteur intra-sujet. L'avantage de l'analyse multivariée est qu'elle ne
suppose aucune structure pour la matrice de covariance des mesures
répétées. Le problème est que si la condition de
sphèricité est respecté, la puissance des tests
multivariés est sensiblement inférieure à celle des tests
F univariés.
Par ailleur, lorsque la condition de
sphèricité de Huynh et Feldt est remplie, on privilégie
l'analyse univariée sans corrections des degrés de
libertés.
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