Analyse multidimensionnelle de la pauvreté par approche de l'analyse de données. Application à la ville de Kinshasa

7. Analyse en composante principale

Le but de l'A.C.P est de transformer un jeu de variables corrélées en des variables non corrélées, qui, dans un contexte idéal (Gaussien) pourraient être interprétées comme des facteurs indépendants sous-jacents au phénomène. C'est pourquoi ces quantités orthogonales seront appelées «facteurs», bien que cette interprétation ne soit pas toujours parfaitement adéquate.

7.1 Principes de l'ACP

L'Analyse en Composante Principale (ACP) fait partie des analyses descriptives multivariées. Le but de cette analyse est de résumer le maximum d'informations possibles en perdant le moins possible pour :

Ø Faciliter l'interprétation d'un grand nombre de données initiales,

Ø Donner plus de sens aux données réduites

L'ACP permet donc de réduire des tableaux de grandes tailles en un petit nombre de variables (2 ou 3 généralement) tout en conservant un maximum d'information. Les variables de départ sont dites « métriques ». L'idée de l'ACP est de déterminer un nouveau repère de associé de manière naturelle à la structure du nuage considéré, de façon à pouvoir l'y examiner plus commodément.

Pour s'affranchir des effets d'échelle dus à l'hétérogénéité éventuelle des variables, ces dernières sont en général normalisées, c'est à dire que chaque colonne est divisée par son écart-type; toutes sont dès lors exprimées dans la même échelle standard.

D'autre part, l'origine est placée au centre de gravité du nuage. C'est le nuage ainsi transformé qui est en fait considéré; l'utilisateur n'a cependant pas à se préoccuper de ces transformations préalables, sauf demande contraire, elles sont exécutées automatiquement par les logiciels d'ACP.

7.2 Directions principales - plans principaux et Représentation des individus

Le nuage présente généralement des directions d'allongement privilégiées, celle d'allongement maximal D₁ est dite première direction principale (axe principal) (du nuage), la suivante D₂ parmi toutes celles perpendiculaires à D1 est la seconde direction principale, la suivante D₃ parmi toutes celles perpendiculaires à D₁ et D₂ est la troisième direction principale, etc.

On choisit un vecteur unitaire sur chaque direction (le choix du sens est libre et décidé arbitrairement par le logiciel utilisé) et on obtient une base orthonormée de , c'est la base principale du nuage.

On appelle plan principal i j le plan vectoriel déterminé par les directions et . En général, le nuage est approximativement situé dans un sous-espace de de faible dimension, engendré par les premières directions principales; l'examen de ses projections sur quelques plans principaux bien choisis (12, 13, etc.) permet alors de découvrir ses particularités et de décrire sa structure assez précisément.

a) Composantes principales - représentation des variables

De même que les variables initiales sont associées aux axes canoniques de, de nouvelles variables appelées composantes principales sont associées aux axes principaux: la composante principale est le vecteur de qui donne les coordonnées des individus sur l'axe principal muni du vecteur unitaire .

Les composantes principales sont naturellement des combinaisons linéaires des variables initiales, on montre qu'elles sont centrées et non corrélées.

L'examen des corrélations entre les variables initiales et les composantes principales permet d'interpréter ces dernières et les axes principaux correspondants.

Inertie

Un individu i du nuage (supposé muni des poids uniformes = 1) a une inertie I(i) :

I(i) = O = O

Si est la projection de i sur l'axe principal , l'inertie de i suivant cet axe est: (i) = O

L'inertie de i se décompose en la somme de ses inerties suivant les différents axes principaux (perpendiculaires):

I(i)=

L'inertie totale suivant l'axe , est:

Et l'inertie totale du nuage est :

I= =

Les directions principales d'allongement du nuage sont en fait les directions perpendiculaires successives d'inertie maximum du nuage.

Taux d'inertie

Il s'agit des inerties successives etc. suivant les axes principaux etc. du nuage. Leurs valeurs relatives traduisent l'importance de l'allongement suivant ces directions successives. On édite les taux relatifs etc., ainsi que les taux relatifs cumulés

Lorsque ces derniers approchent 100%, on considère que l'on a assez d'axes principaux pour représenter convenablement le nuage.

Contributions des axes aux individus (COR)

Il s'agit des ratios tels que:

COR(k, i) = qui mesure la qualité de la représentation de l'individu i sur l'axe principal

On a:

Il n'est licite de commenter la position de l'individu i sur le plan principal kh que si le ratio:

n'est pas trop faible.

La considération de ces ratios, qui sont des cosinus carrés, n'est pertinente que pour les points pas trop proches de l'origine. Pour ceux-ci, c'est plus leur position, centrale, que la direction dans laquelle se manifeste leur faible éloignement, qui les caractérise.

Contributions des individus aux axes (CTR)

Il s'agit des ratios tels que :

CTR(i, k) = qui mesure la part prise par l'individu i dans la détermination de l'axe principal

On a:

Contributions des axes aux variables (COR)

Il s'agit des coefficients de corrélation au carré tels que:

COR(k, j) = entre la variable initiale et la composante principale . Elles permettent comme on l'a vu de dégager la signification des axes.

On a :

Ces quantités sont les carrés de celles figurées dans le cercle des corrélations utilisé pour représenter graphiquement les variables.

Contributions des variables aux axes (CTR)

Il s'agit des ratios tels que:

CTR(j, k) = corr2(ck, x.j) / S corr2(ck, x.i)

On a: = 1

L'observation des premiers plans principaux ne permet aucune conclusion, et peut même être source de contresens, si elle ne s'accompagne pas de l'examen des quantités précédentes. Il faut donc toujours les faire éditer par le logiciel utilisé et les consulter.