Relation entre la charge centrale de l'algèbre de Virasoro et l'effet Casimir dans le plan

Relation entre la charge centrale de l'algebre

de Virasoro et l'effet Casimir dans le plan

SaId Bouabdellah
Laboratoire de Physique Théorique de l'Ecole Normale Supérieure de Paris
24, rue Lhomond 75005 Paris, France

Sous la direction du professeur Vladimir Dotsendo¹.

1. Introduction

L'étude des effets de taille finie est d'intérêt cruciale dans divers domaines de la physique moderne. En effet, puisque la résolution de nombreux problèmes physiques fait appel aux simulations numériques qui s'appuient sur des géométries finies, il paraIt indispensable de contrôler les effets de topologie finie. Par exemple, en physique des particules élémentaires et en particulier en Chromodymanique quantique (QCD), les simulations numériques sur réseau [6] sont utilisées pour étudier le domaine des basses énergies qui échappe a toute spéculation de la théorie perturbative. En physique statistique des modèles de spins [5, 6], comme les verres de spins, on est amené a effectuer des calculs sur réseau finis pour extraire toutes les informations disponibles.

Dans notre cas, nous allons montrer que pour un système bidimensionnel invariant conforme [1, 2, 4], l'amplitude de la correction de taille finie a l'énergie libre au voisinage du point critique, définie sur une bande infiniment longue de largeur finie (L), est linéairement liée a la charge centrale de l'algèbre de Virasoro [3], et cela pour différentes conditions aux bords. Nous traiterons le cas des conditions aux bords périodiques: ?(r + L) = ?(r).

On peut généraliser pour d'autres conditions aux bords, et le résultat est confirmé par les méthodes de simulations numériques. Il faut rappeler que les propriétés thermodymaniques se déduisent des propriétés de taille finie lorsque la largeur de la bande tend vers l'infini.

'Laboratoire de physique théorique des hautes énergies : Université Pièrre et Marie Curie.

2. Développement du formalisme

On considére une theorie des champs conforme bidimensionnelle, definie par son lagrangien r (w, Ow) et son tenseur energie- impulsion Tpv.

Cherchons la relation entre la variation de l'action de la theorie sous une transformation conforme, et le tenseur energie impulsion.

L'action de la theorie s'écrit comme :

Sous la transformation conforme infinitesimale :

xp _7--? x^p + á^p (x)

S [w] = I d² xr (w, Ow)

?R

(1)

(3)

L'action subit la variation :

S[w]7--? S[w] + 8 S [w] (³)
L'expression de 8S[w], est donnee par :

8S[w] = I d2 x8 r (w, Ow) (4)

I r Or Or

=

I^d2x [ ^8W+ 8 (Opw)1 (5)

I ^ow ^a (^apw)
= I d2x [ O

[r ^8W + Or

Ow a (Opw)(OpOvw8xv + OvwOp8x^v)1 (6)
Or

=

Id²x [^OrOvw8x^v + Op (Ow)^OpOvw8xv1 (7)
Ow

_opw)vwpx^v

+ Id2x Or_a OO8 (8)
Or

= I d²x [Ovr8x^v + O (Opw)^OvwOp8xv1 (9)
En appliquant le theorême de Gauss- Green, on en deduit :

8 S[w] = I d² x [Ovr8x^v -- Op ( Or O ^(a _w) 8x^v1 (10)

= j d2xOp [8^p r^u

O ^Or(Ow)^Ovd^8xv (11)

n

On pose :

T = P^v r Or Ov w et 8x^v = á^v (x) (12)

pu O (Opw)

äS[?] =

_Z

1 d²xT ^,Líäg,_Lí(22)
4ðÙ

Finalement on obtient :

_Z

äS[?] = d²x?,_LT ^,Líaí (x) (13)

Ù

_Z

= - d²xT _,Lí?,Laí (x) (14)

Ù

Remarque 1 : On a supposé implicitement qu 'il n'y a pas de distribution d'énergie a l'infini.

Il est a noter qu'en théorie des champs conformes bidimensionnelle, on normalise par1 _2ð pour réduire le nombre 2ð qui apparaIt dans les fonctions de corrélation de l'opérateur T (z). Par conséquent, la variation de l'action

sera donnée par:

_Z

1

äS[?] = -d²xT ^,Lí?,_Laí(x) (15)

2ð _Ù

Le tenseurT,_Líest symétrique, ce qui annule la partie antisymétrique du terme _?,Laí(x). Par suite :

_Z

1

äS[?] = - d2xT ,Lí (?,Laí(x) + ?ía,L (x)) (16)

4ð _Ù

Une fois la réponse de l'action de la théorie a la transformation conforme bidimensionnelle infinitésimale est calculée, il est judicieux de regarder comment agit la transformation en question sur le tenseur métrique. Pour tout changement de coordonnées x^,L F-* x^,L + a^,L(x), le tenseur métrique se transforme

comme _g,Lí F-* g0 ,Lí = ^g,Lí +äg,_Lí,tél que :

?x' ?x^â g0 ,Lí = ?x^0,L?x0í ^g'â		(17)
(= ä'	\ (\ ?a' í - ?a^â ,L - ä^âg'â(18) ?x^0,L?x^0í

= (ä',L - ?,La') (äâ _í - ?ía^â~ g_'â(19) = ^g,Lí- (?,Laí + ?ía,L) (20)

On constate que la variation du tenseur métrique est donnée par:

ä^g,Lí⁼ - (?,Laí + ?ía,L) (21)

L'expression du tenseur énergie- impulsion s'écrira sous la forme :

L'opérateur quasi-primaire T(z) a seulement deux composantes indépendantes:

Tzz = TzzetTzz⁼ Tzz= ₄

T u u (23)

1

La loi de conservation de T^uí est donnée par:

~ ?zT=0=T=T(z)

?uT ^uí = 0 = ?z T = 0 = T = T (z) (24)

D'apres l'identité de Ward conforme [4, 7], on écrit :

1 äáT(w) = ^-2ð

I dza(z)T(z)T(w) (25) iC

c

= -

12

a'''(w) - 2T(w)a'(w) - a(w)?wT(w) (26)

Pour une transformation conforme finie z i-* w(z), l'opérateur quasiprimaire se transforme comme :

(dw) -2_h]

T(z) I-* T'(w) = T(z) - c 12 {w(z); z}
dz

Oü (c) est une constante appelée, charge centrale de l'algebre de Virasoro [3, 7].

L'expression {w(z); z} est appelée, dérivée Shwartzienne [5], et elle est définie par:

w^(3)(z) {w(z); z} ^=w^(1)(z)

w^(2)(z) w(1)(z)(27)