II.II.1 Analogie statistique de la distribution des
rendements et maximum
de vraisemblance 59
II. II. 1 . 1 Analogie statistique de la distribution des
rendements 60
II . II. 1 . 1 . 1 Comportement limite de la loi exponentielle
60
II . II. 1 . 1 .2 Comportement limite de la loi de Pareto 62
II . II. 1 . 1 . 3 Comportement limite de la loi normale 63
II. II. 1 .2 Maximum de vraisemblance 65
II.II.2 Modèle de sélection de maxima
66
II. II. 2 . 1 Réalité erratique 66
II. II. 2 .2 Sélection de seuil 69
II.II.3 Value-at-Risk 71
II. II. 3 . 1 Couverture conditionnelle 72
II. II. 3 .2 Modèle de rentabilité ajustée
du risque 75
Conclusion 78
Bibliographie 81
Annexes 85
A. Graphiques : Sélection de seuil 86
B. Stratégie : Synthèse
générale 87
C. Graphiques : VaR 88
D. Stratégie 89
E. Visual Basic Application : Loi de valeurs extremes
91
F. Visual Basic Application : Loi de probabilité
93
G. Origines macroéconomiques de la crise des
subprimes 97
4
Nous tenons à remercier sincèrement
Mr Aubry pour avoir accepté d'encadrer ce mémoire. Ses
orientations, ses conseils et ses contacts nous ont permis de mener à
bien cette recherche. Je remercie aussi tout particulièrement Mr
Assemat, directeur du pTMle finance de marché, pour avoir su transmettre
sa passion et son esprit d'analyse. Enfin, nous souhaitons remercier
également Mr Rudelle, professeur d'économie et
Mr Viar, professeur de mathématiques, sans qui tout cela
n'aurait été possible.
INTRODUCTION
<< [ÉJ Les idées, justes ou fausses,
des philosophes de l'économie et de la politique ont plus d'importance
qu'on ne le pense en général. Ë vrai dire le monde est
presque exclusivement mené par elles. Les hommes d'action qui se croient
parfaitement affranchis des influences doctrinales sont d'ordinaire les
esclaves de quelque économiste passé. Les illuminés du
pouvoir qui se prétendent inspirés par des voies célestes
distillent en fait des utopies nées quelques années plus tTMt
dans le cerveau de quelque écrivailleur de
Faculté.È
John Maynard Keynes
<< Théorie générale de l'emploi, de
l'intérêt et de la monnaieÈ Chapitre 24, 1936
Les récentes crises financières et
monétaires sont indubitablement une préoccupation majeure des
acteurs des marchés financiers, des banques, des pouvoirs politiques et
des instances de régulation. Les fluctuations extrêmes des cours
de bourse sont importantes pour l'activité économique
réelle. La hausse de la volatilité en temps de crise,
corrélée à la chute des marchés financiers est
particulièrement inquiétante. Nous pouvons donner à ce
titre l'exemple de la crise des Subprimes, qui a annoncé la chute de la
banque américaine Lehman-Brothers disparue le 15 septembre 2008. Ce
climat pousse les acteurs du marché, comme les régulateurs
bancaires, à développer de nouveaux outils de protection contre
le risque de marché. La finance moderne met en avant les
mathématiques du hasard et de la statistique, conceptualisées par
des lois mathématiques probabilistes capables de mesurer le risque de
marché. Celui-ci se matérialise par l'espérance de pertes
auxquelles les investisseurs sont impliqués. Les variations des
marchés financiers : marchés des instruments de base Ð
actions, obligations, devises, matières premières Ð mais
aussi les marchés des produits dérivés Ð contrats
à terme, options Ð sont par définition risquées et
instables. Il faut par conséquent déterminer ce risque de
manière précise pour mieux l'appréhender. Parmi ces
outils, il existe deux mesures générales : la mesure de
sensibilité et la mesure de variance.
La première peut être théorisée en
fonction de la sensibilité que représente un produit financier
par rapport à son indice de référence. Ainsi, le risque de
marché est la probabilité de perte liée aux
évolutions des marchés. Na ·vement, si nous
possédons une action du Dow Jones Industrial Average et que l'ensemble
du marché subit une baisse, il semble naturel de considérer qu'il
va en être de même pour notre action. Cette première mesure
s'assimile à la sensibilité relative d'un actif détenu par
rapport aux facteurs de risque de marché. Ainsi, des modèles de
risque se sont
1
développés c omme le << Capital Asset
Pricing Model (CAPM)pour le plus connu. Ils mesurent la variance de la
rentabilité implicite du marché par un coefficient de
régression à des facteurs de risque par rapport au marché
dans son ensemble. Cependant, le <<risk manager a besoin d'une
mesure pragmatique du risque d'exposition. En effet, lorsqu' un nombre
important d'instruments très différents compose le portefeuille,
il est difficile d'adjoindre l'ensemble des covariances pouvant exister. C'est
pour cette raison qu'il est décisif d'appréhender le risque
à partir de profils à la fois différents et
complémentaires : la dispersion des pertes et profits des actifs.
La deuxième met en exergue deux mesures de risque
venant de la distribution des rentabilités des actifs : la
volatilité et la Value-at-Risk (VaR). Ces mesures ne se concentrent pas
sur les mêmes paramètres: La volatilité
mesure les variations d'un actif autour de la tendance centrale. Cette mesure
accorde le même poids aux gains espérés qu'aux pertes
potentielles. Or la notion de risque est directement liée aux pertes
émanant d'un actif détenu, lequel implique un revenu
aléatoire. Une mesure asymétrique pouvant juger du risque de
perte est nécessaire. La volatilité prend donc en compte toutes
les rentabilités, positives ou négatives, extrêmes ou
modéré. La Value-at-Risk peut se définir comme le quantile
déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une
probabilité d'occurrence et sur un horizon de temps
déterminé: C'est un indicateur pouvant estimer le risque
extrême. Ces deux indicateurs donnent une information différente.
D'une part, la volatilité peut enregistrer un taux élevé
et seulement capturer des risques moyens, certes significatifs, mais pas
extrêmes. Tout l'enjeu d'une mesure du risque synthétique
pertinente est d'estimer convenablement la perte éventuelle que peut
subir un actif. D'autre part, déterminer le risque par la
volatilité, moment2 d'ordre 2,
1 Voir : W F. Sharpe
2 Pour tout n ? N d'une variable aléatoire
réelle X est défini par mn =ö
E(Xn)
3 4
présuppose que les moments suivants, le skewness et le
kurtosis , ne nécessitent pas d'être ajoutés dans une
mesure de risque viable. La théorie sous- jacente en est la
normalité des rentabilités. La loi Normale est en effet
caractérisée par les deux premiers moments. La volatilité
n'est assurément pas la meilleure mesure de risque extrême.
Utiliser la Value-at-Risk permet de passer outre ces difficultés dans la
mesure oü le quantile de la distribution ne représente pas un
équilibre moyen mais prend en compte les pertes extrêmes. Ce
mémoire de recherche prend son essence dans la recherche des valeurs
extrêmes appliquées à la Value-at-Risk, afin d'y
élaborer une mesure de performance ajustée du risque
cohérente. La prévention des évènements
extrêmes est aujourd'hui en plein essor. Nous le constatons
régulièrement:
· Dans l'étude du vent: à
près de 650 km de rayon, ayant atteint un
5
maximum de 280 km/h, l'ouraganKatrina fut le plus puissant et
le plus meurtrier des phénomènes naturels qu'ont connu les
Etats-Unis, prenant près de 1836 vies et causant plus de 108 milliards
de dollars à la collectivité locale6.
· Dans l'étude des plaques tectoniques:
le tremblement de terre Crustal, touchant Ha ·ti le 12 janvier 2010,
était d'une magnitude de 7.0 - 7.3. Il a
7
causé la perte de 230 000 vies, faisant 300 000
blessés . 1.2 million d'hommes et de femmes furent privés de
ressources vitales.
· Dans l'étude séismologique: le
séisme de la côte pacifique de Töhoku, oü le japon fut
impliqué, le 11 mars 2011, dans l'une des plus importantes catastrophes
de son histoire: Le Tsunami de Fukushima. Cet accident majeur a impacté
les réacteurs d'une centrale nucléaire laissant un important
volume de rejet radioactif.
3 Le coefficient d'asymétrie (Skewness)
correspond à une mesure la distribution d'une variable aléatoire
réelle. En termes généraux, l'asymétrie d'une
distribution est positive si la queue de droite est plus longue ou
épaisse, et négative si la queue de gauche est plus longue ou
dense.
4 Le coefficient d'aplatissement ou coefficient de
Pearson (kurtosis) correspond à une mesure leptokurtique de la
distribution d'une variable aléatoire réelle.
5 Ouragan de catégorie 5
6 Chiffre officielle publié par Knabb Richard
D, Ç Tropical Cyclone Report: Hurricane Katrina: 23-30 August 2005, NHC
(National Hurricane center), 20 décembre 2005.
7 Soit plus de 2.5% de la population
L'ensemble de ces évènements, dont
l'espérance mathématique d'en conna»tre la manifestation est
mince, est de nature extrême. Ils existent effectivement et doivent
être pris en compte.
Les statisticiens ont mis en place des mesures de
prévention de ces mouvements, utilisant la Ç théorie des
valeurs extrêmes È. Aujourd'hui les domaines d'applications
utilisant ces analyses sont nombreux. En hydrologie, par exemple, les
données excessives sont particulièrement utiles pour la
prévision des crues. Dans le domaine assuranciel, elles sont
utilisées dans l'évaluation des grands sinistres. En finance, les
marchés financiers connaissent eux aussi des mouvements erratiques
extrêmes liés à l'incertitude de l'environnement
macro-économique. Faire appel à la théorie des valeurs
extrêmes appliquées à la Value-at-Risk dans un tel climat
est un bon point d'appui quant à la recherche de la
vérité. Expérimenter ces analyses pendant la crise des S
ubprimes est intéressant : un investisseur aurait-il pu contrTMler son
risque en mesurant le risque de perte extrême?
Ce mémoire met en évidence les méthodes
théoriques et empiriques d'évaluations des valeurs extrêmes
conditionnelles appliquées à la Value-atRisk afin
d'émettre une stratégie performante ajustée du risque.
Celui -ci est divisé en deux sections:
Dans la première section, nous verrons l'aspect
théorique de la fréquence des rentabilités anormales sur
les 30 composantes du DJIA. Cette fréquence nous permettra
d'apprécier la vélocité et l'ampleur avec laquelle les
rendements d'un actif se meuvent d'un niveau de stabilité donné
vers un niveau supposé par la crise, transformant ainsi le discernement
qu'ont les investisseurs du risque d'un actif. Puis, nous étudierons la
mesure du risque appliquée à la VaR liée aux
théories des valeurs extrêmes.
Dans la deuxième section, à travers la partie
empirique, nous pourrons nous intéresser à leurs applications sur
le DJIA en période de crise des Subprimes.
I. SECTION THÉORIQUE
Ç Imaginez une régle tenue verticalement
sur votre doigt : cette position trés instable devrait conduire à
sa chute, au moindre mouvement de la main ou en raison d'un trés
léger courant d'air. La chut e est liée fondamentalement au
caractére instable de la position; la cause immédiate de la chute
est, elle, secondaire È
Didier Sornette, 2002
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