Théorème Balkema-de Haan-Picklands:
Il s'en déduit que
la distribution des excès
au-dessus d'un seuil élevé converge
vers la GPD G!? lorsque le seuil tend vers la
lmite
,!(!)
supérieure du support de G.
Supposons que X1, X2, É,
Xn sont des variables aléatoires de prix
indépendantes appartenant à une distribution appelée
F(X). Soit xF, l'extrémité finie ou infinie de
la distribution F. Alors, la fonction de distribution dépassant
Xi après un seuil donné u, quand y =
0, est donné par:
Ou y=0 pour î?=0 et
0=y=-!(!)!? pour î?<0.
Néanmoins, le choix
du seuil u est primordial pour la réussite de
cet exercice de modélisation de la distribution Pareto
généralisée. Comme pour le test de fréquence
anormale, oü nous devions choisir préalablement une fenétre
de test de plus ou moins longue distance, la valeur représentative est
généralement choisie en fonction d'un compromis, capable de
biaiser l'étude.
kA se révele etre un parametre de forme particulierement
important, quant à
ig(u), il s'apparente à un
parametre d'échelle. Nous pouvons des à
présent
émettre une conc ordance avec le
théoreme
précédent, respectivement p
et a. La GPD integre par sa
particularité d'autres formes de distribution. En
considérant que kA > 0, la version paramétrique de G se
rapporte à la distribution originaire de Pareto, laquelle est souvent
utilisée en actuariat dans l'approche des
probabilités d'erreurs. Vilfredo
Pareto34
décrivit la répartition de la
richesse selon la notation
suivante:
P(u) = (u / m) . En outre,
Quelle est la proportion P des ménages gagnant
plus qu'un niveau de revenu u? V. Pareto estimait -!
à -3/2. La puissance est donc en premier lieu élevée au
cube puis à la racine carrée divisé par 1. Ceci fut la
base des premières lois a-stable de Paul Lévy35,
repris quelques années plus tard par B. Mandelbrot36 dans son
étude sur les variations du prix du coton. A contrario, si kA < 0
prend la forme d'une loi de Gumbel. Enfin, lorsque kA = 0, sa correspondante
est une distribution exponentielle.
Le premier cas (kA > 0) se retrouve pertinent dans le cadre
d'une distribution
réelle possédant des queues de distribution
épaisses. Les estimations de kA
et de )6(u) sont calculées à partir
de l'expression G!?,!(u)y par la méthode
du maximum de vraisemblance37. Lorsque kA > 0.5,
Hosting et Wallis
34 Né en 1848, V. Pareto était un
industriel, un économiste et un sociologue italien. Son héritage
en tant qu'économiste fut ample, particulierement en terme de recherches
scientifiques et d'équations mathématiques, recourant de manieres
intensives aux données. Son étude la plus connue concerne la
répartition de la richesse correspondant à une loi de
puissance.
35 Paul. Lévy, né en 1886, est un
mathématicien frangais. Il fait partie des fondateurs modernes des
probabilités. On lui doit les lois stables stochastiques : « La
distribution de Lévy ». Il fut professeur à l'école
polytechnique et enseigna les probabilités à B. Mandelbrot.
36 Né en 1924 à Varsovie, B.
Mandelbrot fut professeur de mathématiques à l'Université
Yale et membre émérite du « Thomas L. Watson Laboratory
» d'IBM. Il a notamment publié « Les objets fractales
»
37 Nous pouvons nous conférer à
l'étude d'Embrechts paru en 1997.
montrent que l'estimation tirée du maximum de
vraisemblance tend à être asymptotiquement normalement
distribué.