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Peut-on éviter les crises? mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes : une vision quantitative du risque extrême appliquée à  la crise des subprimes

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par Jean MEILHOC
Institut des hautes études économiques et commerciales - Master II 2012
  

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I.II.1 MESURE DU RISQUE GAUSSIEN

I.II.1.1 DISTRIBUTION DE GAUSS

I.II.1.2.1 Loi des grands nombres

D'un point de vue théorique, une variable continue prend une infinité de
valeurs à l'intérieur de son intervalle de définition. La loi des grands
nombres compte pour ce faire un
échantillon assez important de
variables aléatoires. En ce sens, la
théorie des grands nombres est
simple: Si la taille de l'échantillon est
assez importante, la moyenne
empirique de la variable étudiée tend
vers celle théorique de somme unitaire .
Par conséquent, considérons un

échantillon d'observation x1, x2...xn d'une variable aléatoire X1 ,

d'espérance u et d'écart-type finis. Des lors, la loi des grands nombres

Nous avons alors: P(lim Mn = u) =1. La loi

n

énonce que, quand n , l

converge en direction de u .

a moyenne empirique

+...

Mn = (x1 + x2 + xn)

n

des grands nombres est une loi asymptotique qui assure ainsi que la moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance mathématique.

I.II.1.2.2 Loi de Gauss

21

La loi normale fait partie de la famill e des lois continues . Elle est associée aux noms de Carl Friedrich Gauss et de Pierre Simon Laplace. Appelé, le théorème central limite, celui-ci indique que la somme des variables est distribuée de facon aléatoire et indépendante lorsque le nombre de données dans la somme augmente. Cette loi est définie par la moyenne u , et la

2

variance parce qu'elle est symétrique par rapport à la tendance centrale.

Nous exprimons la fonction de densité de probabilité de la loi normale avec X + comme:

1

P(x) =

2

e

1X m

( )2

22

 

La loi normale a une tendance centrale nulle et un écart typeégale à 1.
Nous avons donc par définitionN (0,1). Puisque P( x) = P(x), pour toute

variable centrée et réduite, la médiane, la moyenne et le mode sont confondus. Pour exprimer la continuité de ce théorème, nous pouvons écrire la fonction de distribution cumulée pour P(x) = P(X x):

x
P
(x) = P(t)dt

2 1 Une loi de probabilité est dite continue lorsqu'elle se rapporte à une mesure de Lebesgue. Pour plus d'explication, se référer à l'ouvrage de G. Saporta: Ç Probabilités, analyse des données et statistiques È.

Si les différents écarts-types pris un à un sont dérisoire s par rapport à
l'ensemble, le théorème de la limite centrale reste valide. La distribution
gaussienne d'écart-type proportionnel

Nb of standard deviations

Number 4000 of data

in

interval

3000

2000

1000

0

-6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0

1

à représente la dif férence entre le

n

moyenne empirique Mde

n

l'échantillon et l'espérance ude la

variable aléatoire X . L'approximation
de la moyenne théorique upar la

moyenne empirique Mn permet de

contrôler l'erreur énoncée

précédemment. La probabilité que Mn

soit dans l'intervalle [ u t ,u + t ] se retrouve représentée par l'aire sous
la courbe comprise entre les abscisses t et + t . Sur les marchés

financiers, la plupart des mouvements sont inférieurs à une fois l'écart-type. Cette mesure représente 68% des amplitudes à la hausse comme à la baisse. 95% doivent être à moins de deux écarts-types et 98% à moins de trois écarts-types. Selon cette loi de probabilité, il existe très peu de grands mouvements.

La thèse de L. Bachelier fut largement ignorée par ses contemporains. Cependant, ses travaux furent traduits, réédités, puis développés pour aboutir au grand édifice de l'économie et de la finance moderne22.

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"Aux âmes bien nées, la valeur n'attend point le nombre des années"   Corneille