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Mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

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par Jean MEILHOC
INSEEC - Master II 2012
  

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I.II.3.1.1 Modélisation paramétrique des maxima par blocs

La modélisation issue du théorème Fisher-Tippet, suppose que l'échantillon de maxima suive exactement une loi GEV.

I.II.3.1.2 Sélection de la taille des blocs

La littérature financière classique et l'exercice des statistiques en finance ne définissent pas une dimension standard dans la sélection des blocs. Il faut cependant que s soit de taille suffisamment importante pour que la condition asymptotique vue précédemment soit considérée. L'ingénierie financière dans les faits prend en compte un nombre de maxima caractéristique pour que l'estimation des paramètres de la GEV soit assez précise. Il est donc usuel de prendre s = 21, soit un mois boursier, ou s = 254, soit un an.

I.II.3.1.3 Estimation du modèle BM par le maximum de vraisemblance

C'est à partir de l'échantillon lié à la sélection des maximas précédente que nous pouvons estimer les paramètres de la GEV. La méthode utilisée pour l'évaluation du modèle BM se réfère au maximum de vraisemblance initié pour la première fois par Fisher au début du siècle dernier. Soit l'échantillon

de maxima supposé indépendant Y=(Y1,Y2,...,Yk) et h! , la densité de

,u,

x u !

la loi GEV H ! (x) = H ! ( ) pour ?0 :

,u,

1 ! Y u

h! (y) = 1+ ( )

,u,

!

1+

!

exp 1+

! y u

( )

1 !

 
 

"

La vraisemblance de l'échantillon Y est : !(

n

,u, ,Y)= h" (Yi)

,u,

i=1

. Il fait

 

31

appel à des procédures numériques pour la maximisation de la
vraisemblance. Il est alors aisé de calculer les estimateurs dans le cadre de la
loi des grands nombres. En revanche, il est difficile de donner un estimateur

asymptotique efficace et normal, particulièrement lorsque l'échantillon est

!

de petite taille. R. Smith32 montre qu'il suffit que =-0.5 pour que les

états de régularité du maximum de vraisemblance soient conformes. Pour le

!

cas oü = 0, la log-vraisemblance est égale à:

n Yi /1

l(0,/1, ,Y)= nln exp(

i= 1

nYi /1

)

i=1

 

Plus précisément, en dérivant cette fonction afin de mettre en scène les deux paramètres exposés antérieurement nous obtenons le système d'équations suivant.

3 1 En réalité l'Algorithme de quasi-Newton

32 Dans son ouvrage: ÇExtreme Value Analysis of environnemental Time series: an Application to Trend Detection of Ground-Level ZoneÈ

37

Il est à noter pour conclure qu'il n'existe pas de solution à ces équations de maximisation33.

) = 0

n Yi u

n exp(

i =1

n+

n

Yi u

Yi u

exp( ) 1 = 0

 

i= 1

3 3 Utilisation de méthodes numériques, type algorithmes de Newton-Raphson

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"La première panacée d'une nation mal gouvernée est l'inflation monétaire, la seconde, c'est la guerre. Tous deux apportent une prospérité temporaire, tous deux apportent une ruine permanente. Mais tous deux sont le refuge des opportunistes politiques et économiques"   Hemingway