I.II.3.1.1 Modélisation paramétrique des
maxima par blocs
La modélisation issue du théorème
Fisher-Tippet, suppose que l'échantillon de maxima suive exactement une
loi GEV.
I.II.3.1.2 Sélection de la taille des blocs
La littérature financière classique et
l'exercice des statistiques en finance ne définissent pas une dimension
standard dans la sélection des blocs. Il faut cependant que s
soit de taille suffisamment importante pour que la condition asymptotique
vue précédemment soit considérée.
L'ingénierie financière dans les faits prend en compte un nombre
de maxima caractéristique pour que l'estimation des paramètres de
la GEV soit assez précise. Il est donc usuel de prendre s = 21,
soit un mois boursier, ou s = 254, soit un an.
I.II.3.1.3 Estimation du modèle BM par le
maximum de vraisemblance
C'est à partir de l'échantillon lié
à la sélection des maximas précédente que nous
pouvons estimer les paramètres de la GEV. La méthode
utilisée pour l'évaluation du modèle BM se
réfère au maximum de vraisemblance initié pour la
première fois par Fisher au début du siècle dernier. Soit
l'échantillon
de maxima supposé indépendant
Y=(Y1,Y2,...,Yk) et h! , la densité de
,u,
x u !
la loi GEV H ! (x) = H ! ( ) pour ?0
:
,u,
1 ! Y u
h! (y) = 1+ ( )
,u,
|
!
1+
!
exp 1+
|
! y u
( )
|
1 !
|
|
|
"
La vraisemblance de l'échantillon Y est : !(
|
n
,u, ,Y)= h"
(Yi)
,u,
i=1
|
. Il fait
|
|
31
appel à des procédures numériques pour la
maximisation de la vraisemblance. Il est alors aisé de calculer les
estimateurs dans le cadre de la loi des grands nombres. En revanche, il est
difficile de donner un estimateur
asymptotique efficace et normal, particulièrement
lorsque l'échantillon est
!
de petite taille. R. Smith32 montre qu'il suffit
que =-0.5 pour que les
états de régularité du maximum de
vraisemblance soient conformes. Pour le
!
cas oü = 0, la log-vraisemblance est égale
à:
n Yi /1
l(0,/1, ,Y)= nln exp(
i= 1
|
nYi /1
)
i=1
|
|
Plus précisément, en dérivant cette
fonction afin de mettre en scène les deux paramètres
exposés antérieurement nous obtenons le système
d'équations suivant.
3 1 En réalité l'Algorithme de quasi-Newton
32 Dans son ouvrage: ÇExtreme Value Analysis
of environnemental Time series: an Application to Trend Detection of
Ground-Level ZoneÈ
37
Il est à noter pour conclure qu'il n'existe pas de
solution à ces équations de maximisation33.
) = 0
n Yi u
n exp(
i =1
n+
|
n
|
Yi u
|
Yi u
exp( ) 1 = 0
|
|
i= 1
3 3 Utilisation de méthodes numériques, type
algorithmes de Newton-Raphson
|