Théorème Balkema-de Haan-Picklands:
Il s'en déduit que
la distribution des excès
au-dessus d'un seuil élevé converge
vers la GPD G!? lorsque le seuil tend vers la
lmite
,!(!)
supérieure du support de G.
Supposons que X1, X2, É,
Xn sont des variables aléatoires de prix
indépendantes appartenant à une distribution appelée
F(X). Soit xF, l'extrémité finie ou infinie de
la distribution F. Alors, la fonction de distribution dépassant
Xi après un seuil donné u, quand y =
0, est donné par:
Ou y=0 pour î?=0 et
0=y=-!(!)!? pour î?<0.
Néanmoins, le choix
du seuil u est primordial pour la réussite de
cet exercice de modélisation de la distribution Pareto
généralisée. Comme pour le test de fréquence
anormale, oü nous devions choisir préalablement une fenétre
de test de plus ou moins longue distance, la valeur représentative est
généralement choisie en fonction d'un compromis, capable de
biaiser l'étude.
î? se révèle être un
paramètre de forme particulièrement important, quant à
f.?(u), il s'apparente à un paramètre
d'échelle. Nous pouvons dès à présent
émettre une conc ordance avec le
théorème précédent, respectivement
4u
et a. La GPD intègre par sa
particularité d'autres formes de
distribution. En considérant que î? >
0,
la version paramétrique de G se rapporte à la
distribution originaire de Pareto, laquelle est souvent utilisée en
actuariat dans l'approche des
probabilités d'erreurs. Vilfredo
Pareto34
décrivit la répartition de la
richesse selon la notation
suivante:
P(u) = (u / m) . En outre,
Quelle est la proportion P des ménages gagnant
plus qu'un niveau de revenu u? V. Pareto estimait -!
à -3/2. La puissance
est donc en premier lieu élevée au cube
puis à la racine carrée divisé par 1.
Ceci fut la base des premières lois !-stable de
Lévy 35
Paul , repris quelques
années plus tard par B. Mandelbrot36 dans
son étude sur les variations du prix du coton. A contrario, si
î? < 0 prend la forme d'une loi de Gumbel. Enfin, lorsque
î? = 0, sa correspondante est une distribution exponentielle.
Le premier cas ( î? > 0) se retrouve pertinent dans le
cadre d'une distribution réelle possédant des queues de
distribution épaisses. Les estimations de î?
et de f.?(u) sont calculées à partir de
l'expression G!?,!(U)y par la méthode
du maximum de vraisemblance37. Lorsque
î? > 0.5, Hosting et Wallis
34 Né en 1848, V. Pareto était un
industriel, un économiste et un sociologue italien. Son héritage
en tant qu'économiste fut ample, particulièrement en terme de
recherches scientifiques et d'équations mathématiques, recourant
de manières intensives aux données. Son étude la plus
connue concerne la répartition de la richesse correspondant à une
loi de puissance.
35 Paul. Lévy, né en 1886, est un
mathématicien francais. Il fait partie des fondateurs modernes des
probabilités. On lui doit les lois stables stochastiques: << La
distribution de Lévy È. Il fut professeur à l'école
polytechnique et enseigna les probabilités à B. Mandelbrot.
36 Né en 1924 à Varsovie, B.
Mandelbrot fut professeur de mathématiques à l'Université
Yale et membre émérite du Ç Thomas L. Watson
Laboratory È d'IBM. Il a notamment publié <<Les objets
fractalesÈ
37 Nous pouvons nous conférer à
l'étude d'Embrechts paru en 1997.
montrent que l'estimation tirée du maximum de
vraisemblance tend à être asymptotiquement normalement
distribué.