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Mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

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par Jean MEILHOC
INSEEC - Master II 2012
  

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I.II.3.2 THÉORéME DE BALKEMA-DE HAAN-PICKLANDS

Théorème Balkema-de Haan-Picklands: Il s'en déduit que
la distribution des excès au-dessus d'un seuil élevé converge

vers la GPD G!? lorsque le seuil tend vers la lmite

,!(!)

supérieure du support de G.

Supposons que X1, X2, É, Xn sont des variables aléatoires de prix indépendantes appartenant à une distribution appelée F(X). Soit xF, l'extrémité finie ou infinie de la distribution F. Alors, la fonction de distribution dépassant Xi après un seuil donné u, quand y = 0, est donné par:

y

Fu(y) = P(X u X > u

+

= F(y u) F(u)

1 F(u)

 

Belkema et de Haan en 1974, ou encore Pickands en 1975, ont théorisé la fonction de Pareto généralisée en montrant qu'elle s'apparente à une distribution limite F u(y) quand le seuil u tend vers l'extrémité de la fonction. Il s'agit d'une découverte statistique majeure. Si F ? MDA (Hî), il est alors possible de trouver une fonction positive mesurable par f.?(u) de telle sorte

que :

lim >

u xF

= 0

Fu(y) G ! (u)(y)

Pour 0=y=XF-u, ou G ! (u)(y) correspond à la distribution Pareto

G ! (U)(Y) =

,

!'

1 (1+ )

(u)

!y

1 exp( )

(u)

si
si

0

= 0

 

Ou y=0 pour î?=0 et 0=y=-!(!)!? pour î?<0. Néanmoins, le choix

du seuil u est primordial pour la réussite de cet exercice de modélisation de la distribution Pareto généralisée. Comme pour le test de fréquence anormale, oü nous devions choisir préalablement une fenétre de test de plus ou moins longue distance, la valeur représentative est généralement choisie en fonction d'un compromis, capable de biaiser l'étude.

î? se révèle être un paramètre de forme particulièrement important, quant à

f.?(u), il s'apparente à un paramètre d'échelle. Nous pouvons dès à présent

émettre une conc ordance avec le

théorème précédent, respectivement 4u

et a. La GPD intègre par sa

particularité d'autres formes de

distribution. En considérant que î? > 0,

la version paramétrique de G se rapporte à la distribution originaire de Pareto, laquelle est souvent utilisée en actuariat dans l'approche des

probabilités d'erreurs. Vilfredo
Pareto34 décrivit la répartition de la
richesse selon la notation suivante:

P(u) = (u / m) . En outre, Quelle est la proportion P des ménages gagnant

plus qu'un niveau de revenu u? V. Pareto estimait -! à -3/2. La puissance

est donc en premier lieu élevée au cube

puis à la racine carrée divisé par 1.

Ceci fut la base des premières lois !-stable de Lévy 35

Paul , repris quelques

années plus tard par B. Mandelbrot36 dans son étude sur les variations du prix du coton. A contrario, si î? < 0 prend la forme d'une loi de Gumbel. Enfin, lorsque î? = 0, sa correspondante est une distribution exponentielle. Le premier cas ( î? > 0) se retrouve pertinent dans le cadre d'une distribution réelle possédant des queues de distribution épaisses. Les estimations de î?

et de f.?(u) sont calculées à partir de l'expression G!?,!(U)y par la méthode

du maximum de vraisemblance37. Lorsque î? > 0.5, Hosting et Wallis

34 Né en 1848, V. Pareto était un industriel, un économiste et un sociologue italien. Son héritage en tant qu'économiste fut ample, particulièrement en terme de recherches scientifiques et d'équations mathématiques, recourant de manières intensives aux données. Son étude la plus connue concerne la répartition de la richesse correspondant à une loi de puissance.

35 Paul. Lévy, né en 1886, est un mathématicien francais. Il fait partie des fondateurs modernes des probabilités. On lui doit les lois stables stochastiques: << La distribution de Lévy È. Il fut professeur à l'école polytechnique et enseigna les probabilités à B. Mandelbrot.

36 Né en 1924 à Varsovie, B. Mandelbrot fut professeur de mathématiques à l'Université Yale et membre émérite du Ç Thomas L. Watson Laboratory È d'IBM. Il a notamment publié <<Les objets fractalesÈ

37 Nous pouvons nous conférer à l'étude d'Embrechts paru en 1997.

montrent que l'estimation tirée du maximum de vraisemblance tend à être asymptotiquement normalement distribué.

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"Il faudrait pour le bonheur des états que les philosophes fussent roi ou que les rois fussent philosophes"   Platon