La prévision et un outil pour la gestion de stock

b.4. Technique de Box et Jenkins 

Cette méthode est une technique d'extrapolation par référence à une loi de reproduction du phénomène étudié. L'information permettant de mettre en évidence le processus est contenue dans la série chronologique elle-même, sans apport externe, d'où le nom de prévision endogène. Il s'agit donc de trouver la méthode de prévision optimale qui emploie directement l'information contenue dans la série. Pour atteindre cet objectif, il faut modéliser la série chronologique en employant une classe de modèles probabilistes suffisamment vaste. Ceci nous amène à réintroduire les processus aléatoires, en nous limitant à une classe de processus aléatoires stationnaires appelés les processus ARMA et les cas particuliers appelés processus autorégressifs et processus moyenne mobile. La méthode de Box et Jenkins sera appliquée aux séries intégrées (après différenciation) d'où le nom des modèles ARIMA [3] [7].

i. Typologie des modèles 

Dans cette partie nous sommes intéressés à définir trois types de modèles : modèle AR, modèle MA et modèle ARMA.

· Modèle AR (Auto Régressif) 

Dans le processus autorégressif d'ordre p, l'observation présente y_t est générée par une moyenne pondérée des observations passées jusqu'à la p-ième période sous la forme suivante:

AR (1) = yt = Ô1 yt-1+ åt

AR (2) = yt = Ô1 yt-1+ Ô2 yt-2+ åt

.

.

.

AR (p) = yt = Ô1 yt-1+ Ô2 yt-2+...+ Ôp yt-p+ åt = (Ô1 B+ Ô2 B²+...+ Ôp Bp) yt + åt

Où : Ô1, Ô2, ..., Ôp : paramètres à estimer positifs ou négatifs ; åt : aléa gaussien et L'opérateur de retard (« Lag ») B, tel que B^p y_t = y_t-p

Le modèle de type AR apparaît comme un processus où l'information présente est fonction des observations passées et d'un terme aléatoire [6].

· Modèle MA (Moyenne Mobile) 

Dans le processus de moyenne mobile d'ordre q, chaque observation y_t est générée par une moyenne pondérée d'aléas jusqu'à la q-ième période dans le passé.

MA (1) = yt = åt - è1 åt-1

MA (2) = yt = åt - è1 åt-1 - è2 åt-2

.

.

.

MA (q) = yt = åt - è1 åt-1 - è2 åt-2 - .... - èq åt-q

Avec è1, è2,..., èq : paramètres pouvant être positifs ou négatifs, et, å_t : aléa gaussien.

Dans ce processus, tout comme dans le modèle AR, les aléas sont supposés être engendrés par un processus de type `bruit blanc'. Tout terme å_t est supposé être une variable aléatoire gaussienne, de moyenne 0, de variance ó², et de covariance Cov (å_t, å_t')=0 pour tt'.

Nous pouvons interpréter le modèle MA comme étant représentatif d'une série chronologique fluctuant autour de sa moyenne de manière aléatoire, d'où le terme de moyenne mobile car celle-ci, en lissant la série, « gomme le bruit » crée par l'aléa.

· Modèle ARMA  

Les modèles ARMA sont représentatifs d'un processus généré par une combinaison des valeurs passées et des erreurs passées.

ARMA (p, q) = y_t = Ô1 y_t-1 + Ô2 y_t-2+...+ Ôp y_t-p + åt - è1 åt-1 - è2 åt-2 - .... - èq åt-q

ARMA (0, 1) = MA (1)

ARMA (2, 0) = AR (2)

ii. Conditions d'utilisation 

Les modèles AR, MA, ARMA ne sont représentatifs que de chroniques stationnaires en moyenne (c'est-à-dire hors tendance) et corrigées des variations saisonnières [3]. Au cas où la chronique n'a pas été rendue stationnaire, un modèle de type ARIMA (p, d, q) où d est le degré de la courbe de tendance ou encore le degré d'intégration de la série, permet d'intégrer dans le processus des phénomènes de tendance. Il suffit alors pour une tendance linéaire de passer aux différences premières (d = 1), pour une tendance quadratique de passer aux différences secondes (d = 2), etc.

Par exemple si y_t est affectée d'une tendance linéaire :

y_t = a + b t

x_t = y_t - y_t-1

x_t = (a + b t) - (a + b (t-1)) = b : x_t est constant.

iii. Interprétation d'un corrélogramme 

Un corrélogramme est la représentation graphique de la fonction d'autocorrélation, qui est un concept lié à celui de corrélation [3]: il s'agit non pas d'un calcul entre deux chroniques différentes mais entre la série et elle-même à différents décalages dans le temps permettant de déceler des liaisons internes à la série.

La principale difficulté revient à choisir le modèle théorique qui correspond le mieux au profil de la chronique. Deux optiques sont envisagées, soit le programme informatique sélectionne lui-même celui qui semble d'un point de vue statistique le mieux correspondre, soit l'utilisateur sélectionne selon sa propre expérience le modèle adéquat.

Dans ce dernier cas, il peut être utile de donner la forme des corrélogrammes correspondant aux modèles AR, MA, ARMA et de prendre quelques exemples de corrélogrammes théoriques.

iv. Méthodologie de Box et Jenkins 

L'analyse de Box et Jenkins ne peut être appliquée que si la série est rendue stationnaire. La fonction d'autocorrélation est utile pour décider si une série est stationnaire ou non. Au cas où elle est stationnaire, la fonction d'autocorrélation décroît rapidement vers 0, sinon, la fonction d'autocorrélation décroît vers 0 très lentement.

La logique de Box et Jenkins se base sur la procédure itérative. Cette procédure se décompose en trois phases : collecte et analyse des données, identification, estimation où l'on choisit le modèle adéquat décrivant la nature des corrélations entre les données disponibles dans le but d'émettre des prévisions [3] [7].

· Collecte et analyse des données

Box et Jenkins commencent par l'analyse des séries temporelles ou chronique (série originales des données) afin de la stationnariser. La représentation graphique de la série originale permet de mettre en évidence la tendance de la série dans le temps et de déterminer sa composante saisonnière, si elle existe. Afin de stationnariser une série, Box et Jenkins proposent d'utiliser la méthode des différences finies.

· Identification du modèle 

Box et Jenkins ont développé une véritable méthodologie de recherche systématique d'un modèle adéquat en fonction de l'étude des corrélogrammes empiriques. Si ce dernier décroît d'une manière ralentit vers 0, on peut dire qu'il s'agit d'un processus AR. L'ordre du processus est déterminé à partir du corrélogramme partiel. L'abscisse du dernier point qui se trouve à l'extérieur des 2 bornes du corrélogramme partiel correspond à l'ordre du processus. Si le corrélogramme décroît d'une manière brusque vers 0, on peut penser qu'il s'agit d'un processus MA. A l'inverse du processus AR (p) pour lequel l'autocorrélation s'annule graduellement, la fonction d'autocorrélation d'un processus MA (q) s'annule après le retard q.

· Estimation 

Une fois le processus est identifié, on passe à l'étape suivante à savoir l'estimation. Généralement, elle peut être obtenue par des procédures spéciales tel que les moindres carrés non linéaires et /ou la méthode du Maximum de vraisemblance. Il faut signaler qu'à ce stade, on peut avoir des indications sur l'adéquation du modèle. Il s'agit de vérifier l'ordre du processus et l'hypothèse selon laquelle les åt sont des bruits blancs à partir des tests bien spécifiques.