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Théorèmes du point fixe et ses applications

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par Khaled ZENNIR
Université des sciences et de technologie d - Doctorant en Mathématiques 2010
  

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Théorèmes du point fixe et ses applications

Présenté par : Imane BELKHEIR

Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
Université des sciences et de technologie d'oran

Faculté des sciences

Juin 2010

2

Table des matières

1

Préliminaire

1.1 Espaces métriques, espaces topologiques

1.1.1 Norme, distance, topologie

1.1.2 Continuité, complétude, compacité

1.1.3 Connexité et convexité

1.2 Espaces de Banach et ses propriétés

1.3 Contractions et conditions contractives

1.4 Espaces fonctionnelle

1

2
2
5

8

9

10

11

 
 

1.4.1 Les espaces LP

11

 
 
 

1.4.2 Espaces de Sobolev

12

 
 

1.4.3 Les espaces LP(0,T,X)

13

2

Théorèmes du point fixe

14

 

2.1

Théorie métrique et point fixe

15

 
 

2.1.1 Théorème du point ffxe de Banach

15

 
 

2.1.2 Théorème de point ffxe de Brinciari

17

 

2.2

Théorie topologique et point ffxe

24

 
 

2.2.1 Théorème du point ffxe de Brouwer

24

 
 

2.2.2 Théorème du pont ffxe de Schauder

28

 

2.3

Comparaison entres les différents type des théorèmes du point

30

3

Applications

32

 

3.1

Théorème de point ffxe et EDPs nonlineaire

33

Notations

a : domaine borne de RN.

1-1 : frontière topologique de a.

x = (xi, x2,
· xN) : point de RN.

p' : conjugue de p, d : 1

1 =1.

p,

Vu : gradient de u. Au : Laplacien de u.

+

p

D(a) : espace des fonctions a support compacte dans a. D'(a) : espace de distribution .

1
p

:

11/11P= (11 I f(x)IP)

141,P (a) = {u E LP (a) , Vu E (LP (a))N1 .

1

11U11 1,p = (11U11Pp 11VU11Pp) P
·

W 1;p

0 (a) : la fermeture de D (a) dans WI-P (a) . H : espace de Hilbert.

H1 w0 1;2

0 Si X est un espace de Banach

T

11(0, T; X) = {f : (0, T) --> X est mesurable ; f 11 f(t)rx dt < oo} .

0

{ )

L°° (0, T; X) = f : (0, T) --> X est mesurable ;ess -- sup 11f(t)11pX < oo
·

tE(0,T)

Bx = E X; 11x11 < 1} : la boule unitee.

Introduction

Les théorèmes du point fixe sont les outils mathématiques de base en montrant l'existence des solutions dans divers genres d'équations. La théorie du point fixe est au coeur de l'analyse nonlinéaire puis qu'elle fournit les outils nécessaires pour avoir des théorèmes d'existence dans beaucoup de problèmes non-linéaires différent. Elle utilise ses outils de l'analyse et de la topologie et pour cette raison nous avons la classification "point fixe et théorie métrique" et "point fixe et théorie topologique".

Le développement de la théorie du point fixe, qui est la branche cardinale de l'analyse non linéaire a donné un grand effets sur l'avancement de l'analyse non linéaire. L'analyse non linéaire comme une branche autonome des mathématiques a été élaboré dans les années 1950 par des mathématiciens, comme Browder, comme une combinaison de l'analyse fonctionnelle et l'analyse variationnelle.

Cependant, les premiers résultats avaient déjà été obtenus dans les années 1920, les résultats nonlinéaires sont applicables à un large éventail domaines. Plusieurs problèmes en physique, chimie, biologie, économie conduisent à des modèles non linéaires. Les équations différentielles non linéaires et intégrales, les inégalités variationnelles et plus de problèmes d'optimisation générale, sont quelquesuns des sujets importants dans l'analyse non linéaire.

Soit X un ensemble et T : X -p X une application. Une solution d'une équation T (x) = x est appelé un point fixe de T. L'original de la théorie du point fixe, une branche importante de l'analyse fonctionnelle non linéaire, qui remonte à la dernière partie du XIXe siècle, le reste dans l'utilisation d'approximations successives de l'existence et l'unicité de la solution, en particulier aux équations différentielles. Cette méthode est associée aux noms de mathématiciens célèbres tels que Cauchy, Liouville, Lipschitz et surtout, Picard.

En fait, les précurseurs de la théorie du point fixe approché sont explicites dans les travaux de Picard. Toutefois, c'est le mathématicien polonais Stefan Banach, qui est crédité sur le placement d'une idée abstraite.

Vers 1922, Banach reconnu le role fondamental de la complétude métrique : une propriété partagée par l'ensemble de l'espace couramment exploitées dans l'analyse. Pendant de nombreuses années, l'activité dans la théorie du point fixe a été limitée à miroir extensions de principe de contraction de Banach et ses applications multiples. la théorie acquise impute en grande partie à de nouveaux résultat d'un travail de pionnier de Browder dans le milieu des années Soixante, ainsi que le développement de l'analyse fonctionnelle non-linéaire comme une branche active et vitale des mathématiques, central dans cette évolution ont été les théorèmes de Browder.

La qualité ainsi que le montant de la recherche de la théorie des points fixes dans l'espace métrique a grandement augmenté dans les années1970. Les descriptions des évolutions importantes dans cette période prouvée l'existence des théorèmes du point fixe en utilisant des applications contractive plus généralisée que les applications contractive précédentes. Plus des applications contractive généralisée

iv

ont été concues par Bianchini, Caristi. Dans les années 1980 Sessa et Jungck, introduit la notion de la commutativité faible et les applications compatibles. Par la suite, un fiot de théorèmes du point fixe commun a été introduit par Sessa, Jungck.

Dans ce travail, nous présenterons brièvement les faits historiques, des définitions bien connues, et les théorèmes importants qui sont des théorèmes du point fixe dans l'espace métrique, topologiques et ses applications.

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