Théorèmes du point fixe et ses applications

2.2 Théorie topologique et point fixe

Dans cette section nous prouvons les théorèmes du point fixe dans lesquels la structure topologique du problème joue un role central.

Les théorèmes du point fixe de type topologiques sont le théorème du point fixe de Brouwer et son généralisation dimensionnelle infinie, le théorème du point fixe de Schauder.

2.2.1 Théorème du point fixe de Brouwer

Une remarque a méditer : (dimension 3) le mathématicien Luitzen Egbertus Jan Brouwer remarquait, en mélangeant son café au lait, que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile. Il examina le problème de cette façon : A tout moment, il y a un point de la surface qui n'est pas changé de place.

Nous allons examiner le problème en dimension ii suivant Brouwer.

Soit

B_m = {x E Rⁿ tel que kxk ~ 1} (2.12)

La boule unité fermée de Rⁿ muni de la norme euclidienne usuelle, et

S m_1 = 8 ^~B_m

la sphère qui est sa frontière.

Lemme 2.2.1 Soit

T : A --! B

opérateur continue et compact dans A, ou A est un ensemble fermé de l'espace normé B. Si l'équation x = T x est résoluble approximativement dans A, alors il existe une solution dans A.

Preuve Il existe une suite (x_n) dans A avec

x -- T x --! 0 .

La suite (y_n) = (T x_n) admet une sous-suite convergente dans A puisque T (A)est relativement compact.

Si on note encore par (y_m) pour simplifier la notation, alors

y_n = T x --! y E B

et que

x n = y _n + (x_n -- T x_n) --! y .

Sachant que A est fermé, alors y 2 A . Ainsi d'après la continuité de T

T x_n --> T y .

Théorème 2.2.1 (Théoreme de Brouwer)

Toute application continue f de .13,_n dans B_rn, admet au moins un point fixe .

Preuve On peut montrer, pour tout E > 0, qu'il existe polynome P avec

Ilf - Pll < E .

Utilisons la norme maximum sur B_m définie par

Ilf 11 = max {If (x)1 : x 2 A_n} , (2.13)

pour avoir

11.111 < 1 + E,

alors

P (x)

Q (x) = ₁ + _E

est une application régulière de .13,,, dans B_m. Il est claire que

Ilf - QM 2E.

Supposons maintenant que x est un point fixe de Q, alors x est un point fixe d'approximation de f vérifiant

Ix -- f (x)1= 1(2 (x) -- f (x)<2. (2.14)

Ainsi le lemme précédent montre que f admet un point fixe si toute application régulière de .13,,, dans B_rn, admet un point fixe.

Démontrons maintenant le théorème dans plusieurs étapes sous la condition f 2 C ¹ (B_m) . (a) Soit

P (A) = aA² + bA + c,

avec a > 0, un polynOme quadratique réel vérifiant la propriété P (0) < 1 et P (1) < 1. Comme P est convexe on a exactement deux valeurs de Al et A2 telles que P (A1) = P (A2) = 1. Plus précisément, on a Al < 0 < 1 < A2 et P (A) < 1 pour Al < A < A2 .

2

_,C,_ ( _ b + 1 - C

> 41 puisque A2 - Ai > 1 .

a a

Ainsi, A1,2 = A #177; N/C avec A = -- b

a

(b) Supposons que f n'admet pas de point fixe, alors la fonction continue est positive. Sachant que ^~B_m est compact, il existe alors un 7 > 0 tel que

1f (x) -- x1 > 7

dans B_m . Pour tout x E B_m , le polynome quadratique

P (A) = 1x + A (f (x) -- x)1²

satisfait les propriétés de (a) :

P (0) = c = 1x1² < 1 , P (1) = 1f (x)1² < 1 ,a = 1f (x) -- x1² > 7²

et

b = x [f (x) -- x]

La fonction Ai = A2 (x) est négative et appartient a C ¹ (B_m) puisque Al = A -- N/C .

(c) On définit la fonction g de classe C ¹ par

g (x) = Al (x) [f (x) -- x]

et

h (t, x) = x + t g (x) pour 0 < t < 1 et considérons l'intégral

V (t) = I Br,		oh (t x) det Ox, dx = I B,	det (1 + tag o (x)) dx (2.15) x
. . oh ici et ox	o ax sont sont les jacobiens d'ordre n x n respectivement de h et g .

Montrons le théorème par l'absurde, pour cela montrons premièrement que

V (0) = B_m 1 = Q_m

(le volume de la boule unité ),et deuxièment que V (1) = 0 puis V (t) = C to

(a) V (0) = B_m = Q_m est par définition de l'intégrale V . Pour prouver la deuxième, notons premièrement qu'on a

1h (1, x)1² = 1x + Al (x) [f (x) -- x]1² = P (A1) = 1 .

De plus h (1, .) est de B_m dans S m-1 = a (1, x)

_m ,donc pour x E B_m la matrice ah ox est singulière.

Sinon h (1, 0) devient une bijection donc elle associe tout voisinage de x E ^~B_m a un voisinage h

(1, x) Ainsi, pour x E

= 0, pour lequel on a (b). Pour montrer que V (t) = C

^~B_m on a det oh (x)

ox

^te, remarquons d'abord que la fonction g de classe C ¹ vérifie la condition de Lipshtz

lg (x) -- g (^~x)l < L lx -- ^~xl dans B_ra .

De plus, g (x) = 0 pour x E o^~B, puisque dans ce cas P (0) = lxl² = 1 et donc A1 (x) = 0. Soit Q la projection sur la boule unité

Q x = x pour lxl < 1

et

Q x = pour lxl > 1 .

lx xl

Il est facile de prouver que

lQ x -- Q ^~xl < lx -- ^~xl ,

donc la fonction g~ (x) = g (Q x) satisfait la condition de Lipshitz dans IR.ⁿ avec la même constante L ( g~ est simplement un prolongement de g a IR.ⁿ par 0 en dehors de B, ).

Nous allons démontrer maintenant :

1

(d) pour 0 < t < _L, l'application h (t, .) est une bijection de B_m dans B_m. Pour montrer ca, soit h (1, t) = x + t .g (x)

et siot a E IR.ⁿ arbitraire.

L'équation h^~ (t, x) = a est équivalente a x = a -- t
· g~ (x). Puisque le côté droite est contraction avec la constante de Lipshitz t L < 1, il existe un seul oint fixe x = x_a avec h (t, a) = a, donc h (t, .) est une bijection de IR.ⁿ dans lui-même. Toutefois, h (t, x) est l'identité de IR.ⁿ \B_m et égale a h (t, .) dans B, donc h (t, .) est une bijection de ^~B_n dans ^~B_n.

(e) La régle de substitution des intégrale a n dimension nous que V (t) = C ^te = St_n puisque h

oh (t, x)

(t, .) est une bijection de B, dans B, et det ox > 0 .donc il existe un intervalle

0 < t < E <

1 L

ou V (t) soit constante, et comme V (t) est un polynôme par rapport a t de degré < n, alors V (t) = R.,, pour 0 < t < 1.

Remarque 2.2.1 James Dugundji a montré en 1951 que le théoreme de Brouwer caractérisait les espaces normés de dimension finie, en prouvant que toute application de la boule unité d'un espace normé X en elle-même a un point fixe si et seulement si X est de dimension finie.