à‰tude des différentes lois de commande pour un robot manipulateur à 6DDL comportant une liaison prismatique

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ L'ARBI BEN M'HIDI D'OUM EL BOUAGHI

INSTITUT DES SCIENCES TECHNOLOGIQUES DE AIN BEIDA

DEPARTEMENT DE GENIE MÉCANIQUE

MÉMOIRE

Présenté en vue d'obtenir le diplôme de

Magister en Génie Mécanique

Option

Robotique et systèmes intelligents

Par

CHEMAMI SABAH

Ingénieur d'état en électronique

ETUDE DES DIFFÉRENTES LOIS DE COMMANDE POUR UN ROBOT MANIPULATEUR À 6DDL COMPORTANT UNE LIAISON PRISMATIQUE

Soutenue le 13/05/2009

Devant le jury constitué de :

-Président :	Mr Golea Noureddine	Prof	Université d'Oum El Bouaghi
-Rapporteur :	Mr Mahfoudi Chawki	M.C	Université d'Oum El Bouaghi
-Examinateurs:	Mr Zaatri Abdelouahab	Prof	Université de Constantine
	Mr Nini Brahim	M.C	Université d'Oum El Bouaghi
-invité	Mr Chibani Abdelhakim	M.A.A	Université d'Oum El Bouaghi

Remerciements

Je tiens à remercier tout d'abord DIEU le tout puissant qui m'a donné, durant toutes ces années, la santé, le courage et la foi pour arriver à ce jour.

Je ne peux, réellement, trouver les expressions éloquentes que mérite Mr. Mahfoudi Chawki, Maître de conférence à l'université d'Oum El Bouaghi, afin de le remercier pour ses encouragements, son aide, son dévouement pour le travail et sa présence totale, au cours de cette étude.

Je remercie le professeur Golea Nouredinne de m'avoir fait l'honneur d'accepter d'être le président de jury.

J'adresse mes remerciements aux messieurs: Zaatri Abdelouahab, professeur à l'université de Constantine, Nini Brahim, Maître de conférence à l'université d'Oum El Bouaghi, d'avoir bien voulu accepter d'examiner et d'enrichir mon modeste travail.

Je remercie également Monsieur Chibani Abdelhakim, Maître de conférence à l'université d'Oum El Bouaghi de nous avoir fait l'honneur de faire partie du jury comme invité.

Mes remerciements vont également à tous les enseignants qui ont contribués à notre formation et les responsables de notre Institut.

Enfin, j'exprime mes remerciements à tous ceux qui ont contribué de prés ou de loin à l'élaboration de ce travail surtout M^me S. Zaamta.

Dédicaces

Aux êtres qui me sont les plus chers « MES PARENTS» Pour leur AMOUR, leur EDUCATION et leurs SACRIFICES.

A mes frères

A mes Soeurs

A ma grand-mère

A toute ma petite et ma grande famille

A toutes mes amies et mes collègues

A tous ceux qui m'ont aidé de faire ce travail

Je dédie ce modeste travail

Sommaire

Introduction Générale 1

Chapitre I: Le Modèle géométrique direct du robot (MGD) 5

I.1. Introduction 5

I.2. description de la géométrie des robots à structure ouverte simple 5

I.2.1. Paramétrage de Denavit Hartenberg 6

I.3. Le MGD d'un robot manipulateur 8

I.4. Représentation des coordonnées opérationnelles 9

I.4.1. Les angles de Cardans (Roulis - Tangage - Lacet « RTL ») 9

I.5. Le MGD du robot 10

I.5.1 La chaîne cinématique du robot 10

I.5.2. Application 13

I.6. Espace de travail 15

I.6.1. Définition 15

I.6.2. Application numérique 16

I.7. Conclusion 18

Chapitre II: Le Modèle géométrique inverse du robot (MGI) 19

II.1. Introduction 19

II.2. Position du problème 19

II.3. Calcul du MGI par la méthode de Paul 21

II.3.1. Principe 21

II.3. 2. Le découplage cinématique 23

II.4. le MGI du robot choisi 24

II.5. Application 27

II.5. Conclusion 29

Chapitre III:Etude cinématique du robot 30

III.1. Introduction 30

III.2. Le modèle cinématique direct (MCD) 30

III.2.1 Calcul Indirect de la matrice Jacobienne 31

III.2.2. Calcul direct de la matrice Jacobienne 31

III.2.3. le calcul du MCD par les équations de récurrence 33

III.2.4. la jacobienne analytique 33

III.2.5. Utilisation de la matrice jacobienne 35

III.2.5. 1. Calcul des efforts statiques 35

III.2.5.2. Les positions de singularité 35

III.3. Vitesse et accélération inverses 36

III.4. Application sur le robot choisi 37

III.4.1. calcul de la jacobienne géométrique 37

III.4.2. calcul de la jacobienne analytique 40

III.4.3. Les positions de singularité 41

III.5. Conclusion 43

Chapitre IV: L'étude dynamique du robot 44

IV.1. Introduction 44

IV.2. Notation 44

IV.3. Le modèle dynamique inverse (MDI) 45

IV.3.1. Formalisme de Newton Euler 46

IV.3.2. Formalisme de Lagrange 49

IV.4. Application sur le robot choisi 52

IV.4.1. Résultats obtenus par le formalisme de Newton Euler 52

IV.4.2. Résultats obtenus par le formalisme de Lagrange 59

IV.5. Le modèle dynamique direct (MDD) 61

IV.6. Application numérique 62

IV.7. Conclusion 64

Chapitre V:Commande de mouvement 65

V.1. Introduction 65

V.2. Commande PID 65

V.3. Commande par découplage non linéaire 67

V.3.1. Commande dans l'espace articulaire 67

V.3.2.Commande dans l'espace opérationnel 74

V.3.2.1. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace articulaire 74

V.3.2.2. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace opérationnel 78

V.3.3. Commande au voisinage des positions singulières 81

V.4. Conclusion 85

Conclusion générale 86

Références bibliographiques 89

Liste des figures

Figure 1. Schéma hiérarchique de la commande. 2

Figure I.1. La chaîne cinématique d'un robot série 6

Figure I.2. Paramètres de Denavit et Hartenberg 7

Figure I.4. Le robot à l'état de repos où d1=3, y1=2, 0=pi/3 13

Figure I.5. La position du robot lorsque : d1=1, y1=2, ₀=pi/6, ₆=0.6*t, t=0:5 13

Figure I.6. La position du robot lorsque : d1= -3, y1=2, ₀=pi/6, ₂=0.3*t, t=0:5 14

Figure I.7. La position du robot lorsque : d1=3, y1=2, ₀= -pi/3, ₁=0.5*t, t=0:5 14

Figure I.8. L'espace de travail du robot lorsque : 0<_i<2ð, 0<r3<0.5 17

Figure I.9. L'espace de travail du robot lorsque : 0<₁,2<ð, 0<_4,5 <2ð, 0<r3<0.5 17

Figure II.1. Transformation entre organe terminal et repère atelier. 21

Figure II.2. Suivi de la trajectoire donnée 28

Figure II.3. Suivi de la trajectoire donnée (vue de dessus) 29

Figure III.1. Influence du type de l'articulation sur le repère terminal 31

Figure III.2. Les coordonnées articulaires et les coordonnées opérationnelles correspondantes 39

Figure III.3. Les vitesses calculées par les deux méthodes ; équations de récurrence, et la jacobienne 39

Figure III.4. Description du programme utilisé pour la validation de la jacobienne analytique 40

Figure III.5. Les vitesses opérationnelles par l'utilisation de la jacobienne analytique 41

Figure III.6. Quelques positions singulières du robot 42

Figure IV.1. Bilan des efforts au centre de gravité 47

Figure IV.2. Les couples calculés, par les deux formalismes 63

Figure IV.3. La force F3, par les deux formalismes 63

Figure V.1. Schéma classique d'une commande PID 66

Figure V.2. Commande dynamique pour un mouvement complètement spécifié. 69

Figure V.3. (a) positions articulaires (b) vitesses articulaires 71

(c) la commande PID 71

(d) la commande dynamique 71

Figure V.4.  L'erreur de position et de vitesse 72

(a)et (b) la commande PID 72

(c) et (d) la commande dynamique . 72

Figure V.5. (a) positions articulaires (b) vitesses articulaires 73

(c) la commande PID 73

(d) la commande dynamique 73

Figure V.6.  L'erreur de position et de vitesse 74

(a)et (b) la commande PID 74

(c) et (d) la commande dynamique . 74

Figure V.7. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace articulaire 75

Figure V.8. Les coordonnées de la trajectoire désirée dans l'espace opérationnel (a, b) et dans l'espace articulaire(c, d). 76

Figure V.9.  L'erreur de position et l'erreur de vitesse dans l'espace articulaire 76

Figure V.10.  L'erreur due au problème de la non unicité du MGI. 77

Figure V.11. La commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace opérationnel 79

Figure V.12.  L'erreur d'orientation et de translation dans l'espace opérationnel.. 80

Figure V.13.  L'erreur de vitesse dans l'espace opérationnel 81

Figure V.14.  La trajectoire désirée. 82

Figure V.15.  La position de l'effecteur et les erreurs de position dans l'espace opérationnelle. 83

Figure V.16.  « à gauche » l'erreur de vitesse opérationnelle 83

« à droite »les positions et les vitesses articulaires calculées. 83

Figure V.17.  Le cas d'utilisation de l'inverse généralisée. 84

La position de l'effecteur et les erreurs de position dans l'espace opérationnelle 84

Figure V.18. Le cas d'utilisation de l'inverse généralisée. 85

« à gauche » l'erreur de vitesse opérationnelle 85

« à droite »les positions et les vitesses articulaires calculées. 85

Liste des tableaux

Tableau I.1. Paramètres géométriques relatifs au mécanisme ....................................11

Tableau II.1. Types d'équations (Méthode de Paul) ................................................23

Tableau IV.1. Paramètres entrant dans le calcul du modèle dynamique ......................... 62

Introduction Générale

Le problème de la commande d'un robot manipulateur peut être formulé comme la détermination de l'évolution des forces généralisées (forces ou couples) que les actionneurs doivent exercer pour garantir l'exécution de la tâche tout en satisfaisant certains critères de performance.

Différentes techniques sont utilisées pour la commande des bras manipulateurs. La conception mécanique du bras manipulateur a une influence sur le choix de schéma de commande. Un robot manipulateur est une structure mécanique complexe dont les inerties par rapport aux axes des articulations varient non seulement en fonction de la charge mais aussi en fonction de la configuration, des vitesses et des accélérations.

La plupart des robots utilisent des servomoteurs électriques comme actionneurs. Les caractéristiques des servomoteurs ont un rôle important pour la sélection du système de commande.

Dans le cas où, les articulations sont actionnées par l'intermédiaire de réducteurs à forts rapports de réduction, l'inertie vue par les moteurs varie peu. Dans ce cas, les asservissements peuvent être assurés axe par axe par des boucles de commande classiques PID [TEC 07]. Ses avantages sont la facilité d'implantation et le faible coût de calcul. En contrepartie, la réponse temporelle du robot varie selon sa configuration, on constate des dépassements de consigne et une mauvaise précision de suivi dans les mouvements rapides [KHA 99].

En opposition, quand le robot utilise des servomoteurs avec de faibles rapports de réduction, les boucles de commande doivent compenser les effets des variations des forces d'inertie et de gravité fonctions de la configuration. Les lois de commande basées sur les modèles dynamiques des robots (appelée commande dynamique) donnent de très bons résultats dans ce cas. Ils permettent de maintenir la réponse dynamique du système dans certains critères de performance. En utilisant ce type de techniques les robots peuvent évoluer à grandes vitesses [AGU 07].

En effet la majorité des tâches confiées aux robots sont délicates et exigent une très grande précision sous des trajectoires rapides. Dans ce cas le type de commande nécessaire est la commande par découplage non linéaire, méthode qui est considérée comme la solution théorique idéale pour la commande de ce type de robot [KHA 78], [BEJ 85], [LUH 80],....

Notre travail porte sur la commande d'un bras manipulateur en supposant que son application exige des évolutions rapides et une grande précision et nous n'abordons pas sa construction.

Le schéma de commande que nous proposons n'utilise que des capteurs proprioceptifs et reste ouvert pour l'inclusion de capteurs extéroceptifs (systèmes de vision, capteurs d'effort, capteurs tactiles,...) pour les boucles de commande de plus haut niveau. Le schéma de la figure 1 présente cette idée de façon simplifiée [SPO 04].

Figure 1. Schéma hiérarchique de la commande.

La commande se fait soit dans l'espace opérationnel, soit dans l'espace articulaire, le coût de calcul de la commande dans ce dernier cas est quasiment égal au nombre d'opérations nécessaires pour établir le modèle dynamique [KHA 99]. Ainsi, pour réaliser cette commande, on doit essentiellement disposer d'un algorithme de calcul du modèle dynamique performant, deux méthodes sont utilisées dans le cadre de ce travail.

Dans le cas où les modèles du robot sont parfaitement connus, cette méthode de commande présente des performances très satisfaisantes. Cependant, en pratique, cette condition n'est pas simple pour un robot à plus de trois ddl, on doit disposer d'un langage évolué, qui nous permet d'extraire les expressions de tous les modèles nécessaires, sous forme symbolique. Le logiciel Maple répond à ce critère.

Problématique :

L'objectif de ce travail est :

Ø l'élaboration de tous les modèles du robot nécessaire à la commande : les modèles géométrique, cinématique, et dynamique : directs et inverses.

Ø trouver une loi complète de commande, permettant de contrôler le mouvement du bras manipulateur, en tenant compte de tous les problèmes qui surviennent lors du mouvement.

Durant notre travail on prend en considération les suppositions suivantes :

Supposition 1

Le robot manipulateur utilisé est de type série à 6 ddl de structure (RRPRRR), il est composé de corps rigides.

Supposition 2

Tous les paramètres inertiels sont connus, on ne s'intéresse pas à l'étape de l'identification de ces paramètres.

Supposition 3

Les déformations non linéaires tels que les frottements et les perturbations internes sont négligeables.

Supposition 4

Toutes les positions et les vitesses articulaires sont mesurables.

Supposition 5

Nous avons supposé que le système et sa commande sont continus. Dans la pratique, la commande étant réalisée par calculateur (systèmes discrets).

Supposition 6

Les efforts extérieurs de l'organe terminal sur l'environnement sont supposés statiques (donnés aléatoirement), on ne tient pas en compte comment les calculés.

Organisation du mémoire :

Ce mémoire est scindé en cinq chapitres et une conclusion :

Dans le premier chapitre on présente la méthode du calcul du modèle géométrique direct des bras manipulateurs à structure ouverte simple. On applique la méthode de Denavit Hartenberg pour représenter les transformations entre repères, et les angles de Roulis Tangage Lacet pour la représentation de l'orientation de l'effecteur dans l'espace opérationnel.

Dans le deuxième on résout le modèle géométrique inverse du robot, la solution retenue nous servira à transformer la trajectoire opérationnelle suivie par le robot en trajectoire articulaire correspondante.

Le troisième chapitre traite l'étude cinématique du robot pour pouvoir calculer ses vitesses opérationnelles à partir des vitesses articulaires et vice versa. Dans ce chapitre, on voit aussi l'intérêt de la matrice jacobienne et comment déterminer les positions singulières.

Le quatrième chapitre est dédié à l'étude dynamique du robot permettant de calculer les couples qui doivent être fournis par les actionneurs. Nous présentons deux formalismes du calcul dynamique des bras manipulateurs puis on les applique au robot pour déterminer ces couples.

Enfin, le dernier chapitre est consacré à la commande du robot. Dans une première phase nous faisons un bref rappel sur la commande classique PID, ensuit nous appliquons la loi de commande dynamique dans l'espace articulaire, puis dans l'espace opérationnel. Nous proposons des améliorations permettant de traverser les configurations singulières sans divergences des résultats.

Dans la conclusion générale nous portons un regard critique sur ce travail et nous finissons cet exposé par quelques propositions.

Chapitre I

Le Modèle géométrique direct du robot (MGD)

I.1. Introduction

Un robot manipulateur se compose d'un ensemble de corps reliés par des articulations, ces derniers peuvent être simples « 1ddl » rotoïde ou prismatique, ou bien complexes, « 2 ou 3ddl »une rotule ou un cardan. On suppose que toutes les articulations ont seulement 1ddl, puisque une articulation complexe peut être considéré comme une succession des articulations simples avec des liaisons de longueur zéro, avec cette supposition, l'action de chaque articulation peut être décrit par un nombre réel simple : l'angle de rotation dans le cas d'une articulation rotoïde ou le déplacement dans le cas d'une articulation prismatique.

L'objectif du modèle géométrique direct (MGD) est de déterminer l'effet cumulatif des variables articulaires, dans ce chapitre nous développerons un ensemble de conventions qui fournissent une procédure systématique pour calculer ce modèle. Il est, naturellement, possible d'effectuer le MGD même sans respecter ces conventions, mais pour un manipulateur de n liaisons le MGD peut être extrêmement complexe et les conventions présentées ci-dessous simplifient largement la modélisation et donnent une langue universelle avec laquelle les ingénieurs de la robotique peuvent communiquer [SPO 04].

I.2. Description de la géométrie des robots à structure ouverte simple

Un robot manipulateur à structure ouverte simple avec n articulations est composé de n+1 corps notés , puisque chaque articulation relie deux corps, nous numérotons les articulations de 1 à n, et nous numérotons les corps de 0 à n, à partir de la base. On associe à chaque corps i du mécanisme un repère orthonormé direct noté . Les repères particuliers sont d'une part celui de la base noté et d'autre part celui de l'organe terminal. Le repère de la base occupe une position et une orientation connues par rapport à un repère fixe noté R_atelier, si le robot est à un poste fixe dans un atelier.

Le robot manipulateur pourrait lui-même être mobile (par exemple, il pourrait être monté sur une plateforme mobile ou sur un véhicule autonome), et il peut être manipulé facilement en prolongeant légèrement les techniques présentées ici [SPO 04].

Figure I.1. La chaîne cinématique d'un robot série

Dans la littérature il existe plusieurs méthodes et notations pour la description de la morphologie des robots, les plus répondues sont : [BEN 06]

· La méthode de Denavit-Hartenberg qui est très bien adaptée pour les mécanismes à structures de chaînes simples où toutes les liaisons sont élémentaires, mais, elle présente des difficultés lorsqu'il s'agit de mécanismes à structures de chaînes complexes.

· La méthode de Khalil-Kleinfinger vient palier les inconvénients cités précédemment, mais elle présente des redondances pour les mécanismes à structures de chaînes simples [FLÜ 98].

On ne s'intéresse ici qu'à la première méthode puisque nous travaillons sur un robot à chaîne ouverte simple.

I.2.1. Paramétrage de Denavit Hartenberg

Les paramètres de Denavit et Hartenberg sont quasi universellement adoptés par les roboticiens pour définir, avec un nombre minimum de paramètres, les matrices de transformations homogènes élémentaires qui permettent de passer du repère associé à un corps du robot au corps qui le suit dans la chaîne cinématique, les corps sont supposés parfaitement rigides et les articulations sont considérées comme idéales.

Un repère de référence est assigné pour chaque corps du robot à l'articulation i où elle rencontre le corps précédent, ce repère est défini comme suit :

-- L'axe se dirige le long de l'axe de l'articulation i.

-- l'axe est aligné suivant la direction de la perpendiculaire commune aux axes et

-- l'axe, non représenté sur la figure, est choisi de manière à former un trièdre orthonormé direct avec et .

Les transformations élémentaires qui permettent d'exprimer le passage du repère au repère (Figure I.2) sont :

· une translation d_i suivant égale à la longueur de la perpendiculaire commune.

· une rotation d'angle autour de l'axe. est l'angle entre et.

· une rotation d'angle autour de l'axe.est l'angle entre l'axe x_i-1 et l'axe.

· x_j

z_i-1

_i

_i

d_i

O_j

x_i-1

z_i

r_j

O_i-1

une translation suivant l'axe. L'amplitude de cette translation, notée, est donnée par la distance (signée) entre l'axe avec l'axe [GRE 05].

Figure I.2. Paramètres de Denavit et Hartenberg

Il est à noter que les angles sont positifs quand la rotation est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Les paramètres sont les paramètres de Denavit et Hartenberg. On remarque que seul quatre paramètres sont nécessaires pour passer d'un repère au repère , grâce notamment au choix de l'emplacement de ces derniers.

La variable articulaire associée à la i^ième articulation se traduit par la relation :

(I-1)

tel que :	si l'articulation i est rotoïde	et	(I-2)
	si l'articulation i est prismatique

En terme de matrice de transformation homogène, les quatre transformations élémentaires donnent la matrice suivante :

(I-3)

après son développement, on obtient :

(I-4)

avec :

la matrice de transformation homogène est souvent notée sous la forme :

(I-5)

tel que :

 :est la matrice de rotation (3x3), appelé aussi matrice d'orientation ou matrice des cosinus directeurs, elle représente la rotation entre les deux repères et, Les colonnes de la matrice représentent les composantes des vecteurs unitaires du repère dans le repère .

est la matrice de position (3×1) qui définit l'origine du repère dans le repère .

I.3. Le MGD d'un robot manipulateur 

Il exprime la position et l'orientation du repère de référence lié à l'outil, relativement à un repère fixe , celui de l'atelier par exemple, en fonction des variables articulaires motorisées (et asservies électroniquement) q₁, q₂  ... q_n du mécanisme.

Après avoir donner les quatre paramètres de tous les repères du robot, ainsi que la façon dont sa base est située dans l'espace, on peut complètement indiquer la géométrie du bras à n'importe quelle moment.

Le MGD est obtenu par la multiplication successive des matrices de passage entre repères, il est exprimé donc sous forme d'une matrice définit comme suit :

(I-6)

Il peut aussi être représenté par la relation : (I-7)

où :

X : est le vecteur des coordonnées opérationnelles, il peut être défini avec les éléments de la matrice tel que :

(I-8)

q : est le vecteur des variables articulaires, noté :

(I-9)

I.4. Représentation des coordonnées opérationnelles

Pour définir la situation de l'organe terminal du robot dans l'espace, il faut préciser sa position et son orientation.

Soit (I-10)

où représente les trois coordonnées opérationnelles de position et représente les coordonnées opérationnelles d'orientation.

Pour les coordonnées tout le monde s'accorde pour choisir les composantes cartésiennes, mais pour spécifier une rotation, la matrice présente un nombre surabondant de paramètres (neuf), tandis que, seul trois paramètres indépendants sont suffisants pour une telle représentation.

Plusieurs choix sont possibles et adoptés en pratique pour les coordonnées :

-- angles d'Euler

quaternions d'Euler

angles de Cardans (Roulis - Tangage - Lacet) : c'est la méthode qu'on a choisi pour notre travail.

I.4.1. Les angles de Cardans (Roulis - Tangage - Lacet « RTL »)

Par analogie avec la terminologie des pilotes de véhicules, des avions notamment, dont la direction du mouvement est supposée dans le sens de l'axe z, les angles de roulis ( ), tangage () et lacet ()?, présentent trois rotations successives défini comme suit [KHA 99] :

(I-11)

ce qui donne la matrice de rotation suivant:

(I-12)

L'expression de ces angles en fonction des cosinus directeurs est comme suit :

(I-13)

Les coordonnées opérationnelles sont donc données par le vecteur: (I-14)

I.5. Le MGD du robot

I.5.1 La chaîne cinématique du robot

Le robot manipulateur utilisé dans ce travail est de type série à 6 degrés de liberté, constitué par 6 corps mobiles supposés parfaitement rigides .le porteur est de type RRP et le poignet comporte trois rotations d'axes concourants, ce robot a une position connue par rapport à un repère atelier et le dernier repère choisi pour le calcul du MGD est celui de l'outil .voir figure (I.3)

Figure I.3. La chaîne cinématique du robot

RRPRRR

r₁

L6

Z₂

X₄ X₅ X₆

Z₁ X₂

X₃

X₁

Z₅

Z₄ Z₆

1

2

₄

₅

₆

r₃

Z₃

RL4

Z_E

X_E

_il

Z₀

X₀

⁶T_E

⁰T₆

Z_F

X_F

Y_F

^F T₀

L2

Ce robot est caractérisé par les paramètres suivants :

j			d		r
1	0	0	d1	1	r1
2	0	/2	0	2+ /2	0
3	1	/2	0	0	L2+r3
4	0	0	0	4	RL4
5	0	-/2	0	5	0
6	0	/2	0	6	0

Tableau I.1 Paramètres géométriques relatifs au mécanisme

Le long du projet, on a attribué aux différentes longueurs du mécanisme, les mêmes valeurs qui sont :

r1 =1.5 m

L2 = 0.75 m

RL4 = 0.75 m

L6 = 0.20 m

La transformation du repère au repère et celle du repère au repère sont représentées par les translations et les rotations suivantes :

(I-15)

(I-16)

Le vecteur des variables articulaires comporte cinq angles (rad) et une translation (m), il est exprimé comme suit: (I-17)

Le calcul des matrices de transformation homogène sous Maple nous a donné :

avec : (I-18)

Le modèle géométrique direct est donné selon la relation :

(I-19)

Puisque on a choisi de représenter les rotations par les angles de RTL, Le vecteur des coordonnées opérationnelles X simplifié (en fonction de q), extrait de l'expression de la matrice, est comme suit:

(I-20-a)

(I-20-b)

avec :

(I-21)

I.5.2. Application 

Puisque X est en fonction de q et des paramètres de, on a joué sur les valeurs de ces variables pour obtenir différentes configurations de l'effecteur. Les figures (I.4), (I.5), (I.6) et (I.7) montrent les résultats et les coordonnées opérationnelles obtenues pour plusieurs positions et mouvements simples. 

Figure I.4.  Le robot à l'état de repos où d1=3, y1=2, 0=pi/3

Figure I.5.  La position du robot lorsque : d1=1, y1=2, 0=pi/6, 6=0.6*t, t=0:5

Figure I.6.la position du robot lorsque : d1= -3, y1=2, 0=pi/6, 2=0.3*t, t=0:5

Figure I.7.  La position du robot lorsque : d1=3, y1=2, 0= -pi/3, ₁=0.5*t, t=0:5

I.6. Espace de travail

I.6.1. Définition

L'espace de travail est l'ensemble des positions et /ou orientations accessible par l'organe terminal du robot.

Le volume ou l'espace de travail d'un robot dépend généralement de trois facteurs :

- De la géométrie du robot,

- De la longueur des segments,

- Du débattement des articulations (limité par des butées)

Soit une configuration articulaire donnée et soit X l'élément de l'espace opérationnel correspondant, tel que :

On note Q l'ensemble des configurations accessibles compte tenu des butées articulaires, Par conséquent, Q sera appelé domaine articulaire.

L'image de Q par le modèle géométrique direct f définit l'espace de travail W du robot:

(I-21)

Dans le cas général,  Les orientations de l'organe terminal n'apparaissent pas dans la définition de ce volume de travail car ce n'est pas facile de les représentées.

W est donc la projection dans l'espace des positions [FIS 04].

Comme on l'a définie précédemment, la position de l'organe terminal dans le repère atelier est donnée par le vecteur position P dans la matrice de transformation ^FT_E.

On a développé un programme qui a comme paramètres d'entrée les limites articulaires de chaque articulation et comme sortie toutes les configurations possibles (les positions) de l'organe terminal, l'algorithme associé à ce programme est : [BEN 06]

Début

Entrer (q_min et q_max) pour chaque articulation ;

i =1

Pour q₁ allant de q_min à q_max faire

Pour q₂ allant de q_min à q_max faire

......

.......

Pour q_n allant de q_min à q_max faire

px(i)=f(q)

py(i)=f(q)

pz(i)=f(q)

i=i+1

fin pour

......

fin pour

fin pour

Sortie (Px,Py,Pz)

fin du programme

I.6.2. Application numérique

Si on admet que chaque liaison rotoïde permet une rotation d'un tour complet (2) et que l'origine O_E du repère outil est le point de référence, dans l'absence des butées articulaires et sans tenir compte les positions singulières, l'espace de travail dans ce cas est une sphère creuse du centre O₂ l'origine du repère R₂ et de rayons intérieur et extérieur L-L6 et L+r3 (où L=RL4+L2), Figure (I.8).

La figure (I.9), montre la représentation de cette espace dans le cas où :

Figure I.8. L'espace de travail du robot lorsque : 0<_i<2ð, 0<r3<0.5

Figure I.9.  L'espace de travail du robot lorsque : 0<1,2<ð, 0<4,5 <2ð, 0<r3<0.5

I.7. Conclusion 

On a exposé dans ce chapitre une méthode de calcul du modèle géométrique direct des robots à structure ouverte simple, qui est fondée sur l'utilisation du paramétrage de Denavit Hartenberg et nécessite le bon choix des repères.

On a vu que la représentation des coordonnées opérationnelles de rotation est faite par les cosinus directeurs puis par les angles de Cardans.

On a terminé le chapitre par le calcul de l'espace de travail du robot en dehors de ses positions singulières.

Comme on a présenté dans ce chapitre, le MGD d'un manipulateur est de déterminer la configuration (position et orientation) de son effecteur terminal en fonction de ses variables articulaires, le problème inverse de celui ci, c.-à-d., déterminer les variables articulaires en donnant une configuration désirée de l'effecteur terminal, est appelé le modèle géométrique inverse et c'est le sujet du chapitre suivant.

Chapitre II

Le Modèle géométrique inverse du robot (MGI)

II.1. Introduction 

L'organe terminal d'un robot manipulateur doit effectuer des mouvements et/ou exercer des efforts dans un repère qui est lié à l'espace opérationnel (l'atelier). L'opérateur qui programme un robot par des moyens évolués lui fournit des instructions définies dans cet espace. Par contre, même s'il est doté de capteurs extérieurs (de position, de force) permettant de l'asservir localement à la tâche, le robot a ses asservissements élémentaires bouclés sur les informations issues de ses capteurs internes (articulaires) et mesurant plus ou moins directement les q_i et/ou les forces f_i . L'armoire de commande du robot doit donc contenir un module (un programme implanté sur calculateur numérique) qui calcule les consignes à envoyer aux asservissements « articulaires » en fonction des valeurs des variables de position, d'orientation et/ou d'efforts désirées dans l'espace opérationnel. Ces calculs font appel aux modèles théoriques des transformations de coordonnées inverses. Une condition nécessaire d'existence de ces modèles (nombre fini de solutions) est que le robot ne soit pas redondant vis-à-vis de la tâche : le nombre de variables opérationnelles spécifiées est égal à n, nombre de degrés de liberté du mécanisme. [TEC 07]

II.2. Position du problème 

Le problème général de la géométrique inverse peut être énoncé comme suit. Donner une transformation homogène (4×4), trouver (un ou tous) les solutions de l'équation : (II.1)

où

Ø H représente la position et l'orientation désirées de l'outil.

Ø (II.2)

Ø est la matrice de transformation homogène définissant la situation du repère de base du robot dans le repère atelier ;

Ø est la matrice de transformation homogène du repère terminal dans le repère (calculée par MGD) ;

Ø est la matrice de transformation homogène définissant le repère outil dans le repère terminal.

En remplaçant la relation (II.2) dans l'équation (II.1) et en regroupant dans le coté droite tous les termes connus, on peut écrire :

(II-3)

Notre tâche est de trouver les valeurs des variables articulaires de sorte que.

Il est, trop difficile de résoudre directement ces équations, par conséquent, nous devons développer des techniques efficaces et systématiques qui exploitent la structure cinématique particulière du manipulateur.

Considérant que le MGD a toujours une solution unique, le MGI peut n'avoir pas une solution et même si elle existe, elle peut être pas unique.

À résoudre le MGI on s'intéresse à trouver une solution de forme analytique plutôt qu'une solution numérique. Chercher une solution analytique signifie de trouver un rapport explicite : (II-4)

Les solutions analytiques sont préférables pour deux raisons. D'abord, les équations géométriques inverses doivent être résolues à une vitesse rapide, disent toutes les 20 millisecondes, et avoir des expressions plutôt qu'une recherche itérative est une nécessité pratique. En second lieu, le MGI en général a des solutions multiples, les solutions de forme analytique permettent de développer des règles pour choisir une solution particulière parmi plusieurs [BIL 05].

Une fois une solution aux équations mathématiques est identifiée, il doit encore vérifier pour voir si elle satisfait toutes les contraintes sur la gamme de mouvement commun possible.

Outil

Bras manipulateur

Figure II.1. Transformation entre organe terminal et repère atelier.

Le nombre de solutions dépend de l'architecture du robot, il est égal au produit de solutions possibles pour chaque axe [AIS 06].

Plusieurs méthodes, analytiques et numériques, sont proposées pour trouver le MGI d'un robot, parmi eux on s'intéresse à la méthode de Paul ; une méthode analytique qui traite séparément chaque cas particulier et convient pour la plupart des robots industriels.

II.3. Calcul du MGI par la méthode de Paul 

II.3.1. Principe

La situation de l'organe terminal d'un robot manipulateur à degrés de liberté est décrite par le modèle géométrique direct qui a pour expression :

(II-5)

Cette même situation désirée sera notée par la matrice de transformation homogène telle que :

(II-6)

On cherche à résoudre le système d'équations suivant :

(II-7)

Pour trouver les solutions du système (II-3), Paul [KHA 99] a proposé une méthode qui consiste à pré multiplier successivement les deux membres de l'équation (II-7) par les matrices pourvariant deà, opérations qui permettent d'isoler et d'identifier l'une après l'autre les variables articulaires que l'on cherche.

Pour un robot à 6 ddl à titre d'exemple, on procède comme suit :

- on multiplie à gauche l'expression (II-7) par :

(II-8)

- par identification terme à terme des deux membres de l'équation (II-8), On se ramène à un système d'équations, fonction de uniquement, qu'on résout selon le

Tableau II-1.

- ensuite on multiplie à gauche l'expression (II-8) par et on calcule,

La succession des équations permettant le calcul de tous les est la suivante:

(II-9)

avec :

Ces équations peuvent avoir des solutions évidentes, ou se ramènent aux principaux types rencontrés en robotique, mentionnés dans le tableau (II.1) ci-dessous [KHA 99]:

Types	Système
Type1
Type2
Type3
Type4
Type5
Type6
Type7
Type8
avec : variable de l'articulation prismatique sinus et cosinus de la variable de l'articulation rotoïde

Tableau II.1. Types d'équations (Méthode de Paul)

II.3. 2. Le découplage cinématique

Pour un manipulateur 6ddl avec un poignet rotule, le MGI peut être découplé en deux problèmes plus simples, à savoir d'abord trouvant la position de point d'intersection des axes du poignet, ce dernier appelée le centre de poignet, et puis à conclure l'orientation du poignet.

Puisque le mouvement autour des axes du poignet, ne change pas la position de son centre, la position du poignet est en fonction des trois premières variables seulement. Afin d'avoir l'organe terminal du robot au point donné par les coordonnées P et une orientation donnée par A, il est suffisant que le centre du poignet (O_c) a des coordonnées données par :

(II-10)

En utilisant l'équation (II-10) nous pouvons trouver les valeurs des trois premières variables articulaires. Ceci détermine la transformation d'orientation qui dépend seulement de ces variables. Nous pouvons maintenant déterminer l'orientation de l'organe terminal relativement au repère R ₃ de l'expression :

(II-11)

Noter que le côté droite de (II-11) est complètement connu puisque ; est indiqué (l'orientation désirée) et peut être calculée, une fois les trois premières variables articulaires sont connues[FIS 04], [SPO 04].

II.4. le MGI du robot choisi

Le MGD du robot a été déjà établi au chapitre I, Les paramètres géométriques sont donnés dans Tableau I.1. .Puisque le robot a un poignet rotule (de centre O₄)on a utilisé la méthode de Paul avec découplage cinématique.

La position désirée de l'outil par rapport au repère atelier est donnée par la matrice :

On a calculé la matrice de transformationqui exprime le repèredans le repère suivant la relation:

Le système d'équations qu'on doit résoudre est:

· Calcul de  :

Puisque, on peut écrire que la quatrième colonne deest égale à la quatrième colonne du produit des transformations  :

(II-12)

En prémultipliant l'équation précédente par , on obtient : pour les éléments de droite (la quatrième colonne de ):

(II-13)

En identifiant les éléments de l'équation en remarquant que : 

(II-14)

Cette équation est de type 2, elle admit les deux solutions suivantes pour :

(II-15)

En prémultipliant encore par , on obtient :

Par identification terme à terme de ce système d'équations on peut trouver et  ; la résolution de la première équation (équation de type 2) et après simplification, nous donne pourles solutions suivantes :

(II-16)

Connaissant, on peut calculer à partir de la deuxième équation (équation de type 1), la solution obtenu est : (II-17)

· Calcul de  :

Les variables étant connues, on s'intéresse maintenant aux équations d'orientation (II-11).

On note : (II-18)

où : est la matrice d'orientation de la matrice

Les expressions de F, G et H s'écrivent :

(II-19-a)

(II-19-b)

(II-19-c)

A partir de l'équation (II-18) on a :

(II-20)

Les éléments de représentent les termes d'orientations de déjà calculés pour le MGD :

(II-21)

En prémultipliant cette équation par , on obtient :

(II-22)

(II-23)

A partir des éléments de (2,3) on obtient une équation de type 2 en, qui donne les deux solutions :

(II-24)

A partir des éléments de (1,3) et (2,3) on obtient un système d'équations de type 3 en, qui a pour solution :

(II-25)

Enfin, en considérant les éléments (2,1) et (2,2) on obtient un système d'équations de type 3 en, qui a comme solution :

(II-26)

Le nombre total de solutions pour le modèle géométrique inverse est égal à huit () : c'est à dire que l'outil de robot peut atteindre un point désiré de son espace opérationnel atteignable par huit configurations possibles.

Si on veut donner la position désirée en utilisant les angles de RTL, dans ce cas le MGI se fait en calculant d'abord les cosinus directeurs en fonction de ces angles , puis remplacer les valeurs trouvées dans les solutions calculées, sachant que :

(II-27)

II.5. Application

On a prend comme exemple de trajectoire, la poursuite d'une tache de soudure d'un objet de forme cylindrique associé à un repère R_obj, ce dernier est relié au repère atelier par la matrice :

(II-28)

La description du trajet de l'outil par rapport à R_obj est donnée par la transformation homogène :

(II-29)

la position désirée de l'outil par rapport au repère atelier est donc :

(II-30)

avec :

pas signifié le pas du temps choisi :

Les résultats de cette simulation sont montrés par les figures (II.2 et II.3), ils  ont validé le MGI calculé.

Figure II.2. Suivi de la trajectoire donnée

Figure II.3. Suivi de la trajectoire donnée (vue de dessus)

II.5. Conclusion 

On a exposé dans ce chapitre la méthode de Paul pour le calcul du MGI, cette méthode intuitive en ce sens qu'elle laisse à l'utilisateur le choix des équations à résoudre, elle est applicable à un grand nombre de chaînes cinématiques possédant surtout des paramètres géométriques particuliers : distance nulles ou angles dont les sinus et cosinus sont égaux à 0, 1, -1, en plus, cette méthode analytique donne toutes les solutions possibles du modèle géométrique inverse.

Nous avons également résolu le modèle géométrique inverse du robot proposé grâce à cette méthode.

Après cette modélisation géométrique inverse du robot, on va aborder dans le chapitre qui suit l'étude cinématique qui va nous permettre de calculer ses vitesses cartésiennes et articulaires.

Chapitre III

Etude cinématique du robot

III.1. Introduction

Le modèle cinématique est, littéralement, un modèle des vitesses. Il exprime les relations entre les vitesses articulaires de chaque joint et les vitesses cartésiennes d'un point de la chaîne cinématique, généralement l'organe terminal. Ce modèle est donc un modèle par accroissements infinitésimaux: chaque variation élémentaire de la valeur d'une articulation implique une variation de position de l'organe terminal, et inversement. Lorsque ces variations infinitésimales sont exprimées par rapport au temps, on peut les considérer comme des vitesses.

Le modèle cinématique permet donc non seulement de compléter éventuellement le modèle géométrique en tenant compte des vitesses, mais aussi de remplacer le modèle géométrique: en agissant par accroissements successifs, on peut se déplacer d'un point donné à un autre. [FLÜ98].

III.2. Le modèle cinématique direct (MCD)

L'outil principalement utilisé pour traiter le problème de la cinématique des robots est la matrice jacobienne. Elle représente un opérateur permettant de lier les vitesses des corps d'un robot exprimées dans différents espaces vectoriels [FLÜ98].

Le Modèle Cinématique Direct (MCD) permet de calculer les composantes du torseur cinématique à partir des vitesses articulaires dites généralisées, dérivées par rapport au temps des coordonnées généralisées. Le torseur cinématique est défini par :

(III-1)

Le MCD fait intervenir la matrice jacobienne, fonction de la configuration du robot manipulateur, tel que :

(III-2)

III.2.1 Calcul Indirect de la matrice Jacobienne

Le calcul indirect de la matrice jacobienne consiste à utiliser le modèle géométrique du robot manipulateur.

(III-3)

Et par définition, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles de la fonction f par rapport aux coordonnées généralisées, ainsi :

(III-4)

Cette méthode de dérivation est facile à mettre en oeuvre pour des robots à deux ou trois degrés de liberté dans le plan, mais pour des robots ayant plus de trois degrés de liberté la dérivation manuelle devient presque impossible.

III.2.2. Calcul direct de la matrice Jacobienne

On peut utiliser une méthode très répandue pour le calcul cinématique, qui permet d'obtenir la matrice jacobienne par un calcul direct fondé sur l'influence que produit chaque articulation d'ordre de la chaîne sur le repère terminal.

a) articulation prismatique

z _j

On peut calculer en considérant séparément les cas d'une articulation prismatique et d'une articulation rotoïde:

Figure III.1. Influence du type de l'articulation sur le repère terminal

où :

 : désigne le vecteur d'origine et d'extrémité

 : est le vecteur unitaire porté par l'axe de l'articulation  .

En introduisant le coefficient binaire, les vecteurs s'écrivent :

(III-5)

Grâce au théorème de la composition des vitesses, on peut sommer toutes les contributions élémentaires de chaque articulation afin d'obtenir les vecteurs finaux des vitesses de translation et de rotation du repère terminal par l'expression :

(III-6)

Par identification avec la relation (III-2), la matrice Jacobienne exprimée dans le repère, notée, s'écrit :

(III-7)

D'une façon générale, projetée dans le repère, la matrice jacobienne notée s'écrit :

(III-8)

En remarquant que :

(III-9)

avec :

·  : matrice d'orientation de dimension du repère dans le repère,

· On calcule alors la colonne de la matrice Jacobienne, notée , projetée dans le repère par la formule :

(III-10)

où :

^{· i}s_k, ⁱn_k et ⁱa_k : sont respectivement le vecteurs de la matrice ⁱA_k.

^{· k}P_nx et ^kP_ny : sont respectivement la composantes du vecteur qui est la quatrième colonne de calculée précédemment par le modèle géométrique direct.

III.2.3. le calcul du MCD par les équations de récurrence

Connaissant J_n  les vitesses de translation et de rotation du repère R_n peuvent être obtenus à partir de la relation (III-2). De point de vue nombre d'opérations, il est cependant plus judicieux d'utiliser les équations de récurrence suivantes :

(III-11)

On initialise la récurrence avec les vitesses opérationnelles et de la base du robot.

La vitesse obtenue dans ce cas est _, pour trouver on fait la projection de ce vecteur dans le repère R₀ :

(III-12)

Le calcul du MCD, par la matrice jacobienne ou bien par les équations de récurrence, donne le vecteur où est la dérivée par rapport au temps du vecteur de position , mais le ne représente pas la dérivée de l'orientation, il faut trouver donc une relation entre les coordonnées opérationnelles X et le modèle cinématique.

III.2.4. la jacobienne analytique 

La matrice jacobienne développée ci-dessus s'appelle parfois la jacobienne géométrique pour la distinguer de la jacobienne analytique, dénoté J_a(q), qui est basée sur une représentation minimale pour l'orientation du repère de l'effecteur .

Soit une représentation de la situation du repère R_n dans R₀, où x_p représente les trois coordonnées opérationnelles de position et x_r représente les coordonnées opérationnelles d'orientation, les vitesses opérationnelles sont donc , on doit trouver la relation entre ces vitesses et les vecteurs vitesses telle que :

(III-13)

Ou sous forme matricielle :

(III-14)

Partant de la relation (III-13), on peut déduire que :

(III-15)

avec :

En général, la sous matrice est égale à la matrice unité I₃ car les coordonnées opérationnelles de position sont simplement les coordonnées cartésiennes de la position de l'outil. Par contre, la matrice dépend du choix effectué pour les coordonnées opérationnelles de rotation. Cette matrice est parfois singulière ; par exemple dans le cas des quaternions d'Euler, elle est tout simplement non carrée c.-à-d. non inversible. Les cas pour lesquels la matrice complète n'est pas inversible constituent des singularités mathématiques : ces singularités sont uniquement dues au choix des coordonnées opérationnelles, elles n'ont rien à voir avec le manipulateur lui même. [SPO 04]

Comme il est défini dans le premier chapitre le vecteur d'orientation qu'on a choisi est :

dans ce cas [KHA 99]:

(III-16)

et (III-17)

Singularité lorsque.

III.2.5. Utilisation de la matrice jacobienne 

La matrice jacobienne est l'une des quantités les plus importantes dans l'analyse et la commande du mouvement de robot. Elle survient pratiquement dans chaque aspect de manipulation robotique : dans la planification, dans la détermination des configurations singulières, dans la dérivation des équations dynamiques du mouvement, et dans la transformation des forces et les couples du terminal aux joints de manipulateur [SPO 04]

III.2.5. 1. Calcul des efforts statiques

À partir du modèle cinématique, on peut écrire le modèle différentiel :

(III-18)

Supposons que les variables q_i soient directement les variables associées aux déplacements relatifs des moteurs rotatifs ou linéaires. Chacun de ces derniers exerce une force ou un couple noté, d'où pour l'ensemble des degrés de liberté un vecteur des efforts  . (III-19)

Si l'on note F le vecteur à six composantes de la force et du moment exercés par l'organe terminal sur l'environnement, le principe des travaux virtuels permet d'écrire :

(III-20)

d'où : (III-21)

qui donne la répercussion des efforts moteurs sur l'environnement, en dehors des singularités.

On utilise la matrice jacobienne ou selon que l'effort F est défini dans le repère R_n ou dans R₀ respectivement. [TEC 07]

Dans le cas inverse, où on veut calculer le que doivent fournir les actionneurs pour que l'organe terminal puisse exercer un effort F, on peut déduire à partir de la relation (III-21) que :

(III-22)

III.2.5.2. Les positions de singularité 

Le nombre de degrés de liberté ddl disponible à l'outil est égal à la dimension de l'espace engendré par le vecteurs et . Par exemple, cet espace est de dimension six si la structure (et la configuration instantanée) du manipulateur permet tous les mouvements de translation et de rotation imaginables pour l'outil. Considérant la relation (III-2), on constate que l'espace en question est généré par une combinaison linéaire des colonnes de la matrice, ces colonnes sont en nombre égal au nombre d'articulations, on a donc normalement : ddl=n, sauf si la matrice jacobienne est de rang moindre que n, les configurations (c.-à-d. les valeurs de q) pour lesquelles il y a perte de rang de cette matrice sont les configurations singulières du manipulateur. Il s'agit cette fois de singularités qui n'ont rien de mathématique ; elles résultent du manipulateur lui-même et de la configuration dans lequel il se trouve.

En conclusion, l'examen du rang de la jacobienne nous donne un moyen de déterminer quelles seront les éventuelles configurations singulières, lorsque la jacobienne est carrée, les singularités sont solution deoù désigne le déterminant de la jacobienne.

III.3. Vitesse et accélération inverses 

C'est peut-être un peu étonnant que les rapports inverses de vitesse et d'accélération sont conceptuellement plus simples que la position inverse. Rappel de (III-2) que les vitesses articulaires et les vitesses de terminal sont relié par la jacobienne en tant que

Ainsi le problème inverse de vitesse devient :

(III-23)

qui est conceptuellement simple dans le cas régulier où la matrice jacobienne est carrée d'ordre et son déterminant est non nul.

Différencier (III-2) donne les équations d'accélération :

(III-24)

Ainsi, donné le vecteur des accélérations de terminal, le vecteur d'accélération articulaire est donné comme solution de :

où : (III-25)

Pour les manipulateurs 6ddl les équations de vitesses et d'accélérations articulaires peuvent être donc écrit comme suit :

(III-26)

La matrice doit être remplacée par la jacobienne analytique, dans le cas où on n'a pas présenté la rotation par les cosinus directeurs. Dans ce cas on a :

(III-27)

III.4. Application sur le robot choisi

III.4.1. calcul de la jacobienne géométrique 

A partir de la relation (III-10) et des résultats obtenus par le MGD on a calculé la jacobienne dans des différents repères : en utilisant le logiciel Maple.

Avec :

Puisque les cordonnées opérationnelles sont les cordonnées de la position de l'outil dans le repère R _{F ,} les vitesses qu'on doit calculer sont et .

En appliquant la relation (III-2), on trouve que :

(III-28)

avec :

(III-29)

où :

(III-30)

et

(III-31)

(III-32)

on peut conclure donc que :

(III-33)

A partir de (III-11) on a pu calculé les vitesses et , ensuite on les a remplacées dans l'équation (III-32) pour trouver les vitesses cherchées.

Afin de vérifier les résultats trouvés ainsi que la jocobienne, on a fait une comparaison entre les vitesses calculées par la relation (III-28) et celles calculées par la méthode de récurrence. le programme est réalisé sous Matlab et l'application sous Simulink

Les coordonnées articulaires utilisées dans ce programme ainsi que les coordonnées opérationnelles correspondantes sont celles de la figure (III.2).

La figure (III.3) montre bien que les mêmes valeurs sont obtenues par les deux méthodes, ainsi on a pu valider la jacobienne calculée.

Figure III.2. Les coordonnées articulaires et les coordonnées opérationnelles correspondantes

Figure III.3. Les vitesses calculées par les deux méthodes ; équations de récurrence, et la jacobienne

III.4.2. calcul de la jacobienne analytique

Puisque la rotation est spécifiée par les angles de RTL, les vitesses sont calculées par la relation. Un programme de vérification a été fait, toujours afin de valider les résultats, il est indiqué par le schéma présenté ci dessous :

Figure III.4. Description du programme utilisé pour la validation de la jacobienne analytique

Les valeurs de q et X sont les mêmes que ceux de la section précédente.

Les résultats de la simulation du programme (Figure III-5), interprètent la validité de la jacobienne analytique utilisée et donc le modèle cinématique calculé.

Figure III.5. Les vitesses opérationnelles par l'utilisation de la jacobienne analytique

III.4.3. Les positions de singularité 

Les positions singulières (Figures III-6.a, b et c ) sont les solutions de l'équation :

La résolution de cette équation donne les positions singulières suivantes : 

La singularité (figure III-6.a), correspond à une configuration dans laquelle le centre du poignet est confondu avec l'axe z₀ et le robot est en extension maximale (singularité d'épaule).

Pour , les deux articulations commandant et ont leurs axes confondus et le poignet se plis sur lui-même lorsque (figure III-6.b) , ce qui fait perdre un degré de liberté au robot . Dans cette configuration le modèle cinématique ne permet pas de commander une rotation autour de la normale au plan contenant les axes 4,5 et 6 (singularité du poignet).

Lorsque, le centre du poignet est confondu avec le point O₂ (figure III-6.c), mais c'est impossible de tomber dans ce cas puisque est toujours positive (articulation prismatique).

Figure III.6. Quelques positions singulières du robot

III.5. Conclusion

On a vu dans ce chapitre comment obtenir le modèle cinématique direct d'un robot en calculant ses matrices jacobienne, géométrique et analytique, ainsi que la détermination de son modèle cinématique inverse du premier et du deuxième ordre, ensuite on a appliqué ces principes sur le robot choisi.

On a vu aussi l'intérêt de la matrice jacobienne dans la dynamique, la cinématique et dans la détermination des positions singulières.

On a remarqué que pour des vitesses faibles, quelques rad/s en rotation et quelques dizaines de cm/s en translation, les vitesses de l'organe terminal avoisinent quelques m/s.

Il faut noter que pour les robots manipulateurs, les vitesses de rotations articulaires maximales sont de 1 rad/s à 1 tour/s, et de l'ordre de 1 à 3 m/sec en translation, compte tenu des vitesses de rotation des moteurs (1000 à 3000 tr/min), cela implique des rapports de réduction assez élevés [FIS 04].

Chapitre IV

L'étude dynamique du robot

IV.1. Introduction 

Tandis que les équations cinématiques décrire le mouvement du robot sans considération des forces et des moments produisant le mouvement, les équations dynamiques décrivent explicitement le rapport entre les couples (et/ou forces) appliqués aux actionneurs et le mouvement (positions, vitesses et accélérations articulaires).

Les principaux problèmes dans la dynamique du robot sont [FEA 07] :

· La dynamique directe : (donner les forces et établir les accélérations), elle est employée principalement pour la simulation.

· La dynamique inverse : (donner les accélérations, établir les forces), elle a des diverses utilisations, incluant : commande en ligne des mouvements et des forces de robot, conception de trajectoire et optimisation, conception du mécanisme du robot et le calcul des coefficients de l'équation du mouvement.

· L'identification des paramètres inertiels.

IV.2. Notation 

Les principales notations utilisées sont les suivantes :

 : la masse du corps C_i

 : accélération de la pesanteur.

 : vecteur d'origine et d'extrémitéégal à .

 : vecteur d'origine et d'extrémité égal à .

 et : vitesse et accélération de rotation du corps C_i.

et  : vitesse et accélération du point

et  : vitesse et accélération du centre de gravité (G_i) du corps C_i

résultante des forces extérieures sur le corps C_i.

moment des effort extérieurs exercés sur le corps C_i autour de O_i.

vecteur d'origine O_i et d'extrémité G_i.

le tenseur du vecteur tel que :

 :désigne le produit vectoriel.

tenseur d'inertie du corps C_i par rapport au repère R_i qui s'exprime par :

tenseur d'inertie du corps C_i par rapport à un repère parallèle à R_i et d'origine G_i.

et résultante et moment du torseur dynamique exercé sur le corps C_i par son antécédent et par l'actionneur i.

et résultante et moment du torseur dynamique exercé par le corps C_i sur l'environnement.

, avec le paramètre de frottement sec de l'articulation i.

, avec le paramètre de frottement visqueux de l'articulation i

IV.3. Le modèle dynamique inverse (MDI)

Le modèle dynamique inverse (ou le modèle dynamique tout court) d'un robot permet de déterminer les équations du mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires [FEA 07].

Il est exprimé sous la forme :

(IV-1)

Dans cette équation sont, respectivement, les vecteurs de position, vitesse, accélération et force, dans l'espace articulaire. Chacun est un vecteur de dimension n. Les variables de force sont définies tels que est la puissance fournie par au système. Ainsi, et qualifiés comme ensemble de variables généralisées de vitesse et de force pour le système.

est un vecteur (6) ; dénote la force externe agissant sur le robot, dû au contact avec l'environnement ,ainsi le robot exerce une force de sur l'environnement.

Les deux principaux formalismes utilisés pour obtenir les équations différentielles qui décrivent le comportement d'un mécanisme à plusieurs corps articulés sont le formalisme de Newton (théorèmes généraux de la mécanique classique) et celui de Lagrange. [AIS 06]

IV.3.1. Formalisme de Newton Euler 

Cette méthode est fondée sur une double récurrence ; la récurrence avant de la base du robot vers l'effecteur, calcule successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur dynamique, une récurrence arrière de l'effecteur vers la base, permet le calcul des couples des actionneurs en exprimant pour chaque corps le bilan des efforts. [KHA 99]

Les équations de Newton Euler expriment le torseur dynamique en des efforts extérieurs sur un corps i par les équations : [CRA 89]

(IV-2)

Cette méthode permet d'obtenir un MDI non linéaire par rapport aux paramètres inertiels, pour qu'il soit linéaire, le MDI doit être calculé en exprimant le torseur dynamique des efforts extérieurs enplutôt que.

Les équations de Newton Euler ainsi modifiées s'écrivent :

(IV-3)

· Récurrence avant : elle permet de calculer et à partir de la relation (IV-3). Pour ce faire, il faut calculer.

Les formules de composition des vitesses donnent :

(IV-4)

La dérivée de l'équation (IV-4) par rapport au temps s'écrit :

(IV-5)

Ce qui donne :

(IV-6)

On peut finalement calculeret, on initialise cette récurrence par et.

· Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à partir du bilant des efforts sur chaque corps, écrit à l'origine, on obtient (FigureIV.1) 

i-1

i+1

O_i+1

O_i

G_i

L_i+1

S_i

i

-f_i+1

f_i - f_ei

(IV-7)

Figure IV.1. Bilan des efforts au centre de gravité

On peut faire intervenir l'effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans le bilan des efforts, pour cela on prend:

(IV-8)

D'où l'on tire les équations suivantes :

(IV-9)

On obtient alors les couples aux actionneurs en projetant, suivant la nature de l'articulation i, les vecteursousur l'axe du mouvement :

(IV-10)

Les frottements doivent être pris en compte dans l'équation dynamique. Le modèle du type frottement sec (ou de Coulomb) fait l'hypothèse d'un couple constant de frottement en opposition au mouvement. Au début du mouvement (vitesse nulle), un couple supérieur au couple de frottement sec doit être développé pour amorcer le mouvement. De nombreuses études ont été réalisées afin de mieux analyser les frottements, menant à l'approximation suivante [VIV 04] :

(IV-11)

On ajoute à 'équation (IV-10) les termes correctifs représentant l'effet des frottements et des inerties des actionneurs,, ce qui nous donne la relation suivante :

(IV-12)

Les inerties des actionneurs sont calculées comme suit :

(IV-13)

est le moment d'inertie du rotor de l'actionneur i, est le rapport de réduction de l'axe i égal à et désigne la vitesse du rotor de l'actionneur i.

On déduit directement de l'équation (IV-9) que les termes et ne dépendent que des paramètres inertiels du corps i et de ceux des corps situées en aval qui sont introduit par les termes et de la récurrence.

Pour utiliser pratiquement l'algorithme de Newton Euler exposé ci-dessus, il faut projeter dans un même repère les vecteurs et tenseurs qui apparaissent dans une même équation. [BOI 88]

Les équations de la récurrence avant peuvent être présentées par l'algorithme suivant:

· Récurrence avant :

Conditions initiales :

(IV-14)

(IV-15)

Les équations de la récurrence arrière peuvent être présentées par l'algorithme suivant:

· Récurrence arrière :

Conditions initiales:

(IV-16)

Dans cette formulation (Newton Euler), l'effet de la pesanteur est introduit par une accélération verticale de la base du robot. Si le robot manipulateur est situé sur un véhicule dont le mouvement est connu, on peut donc également introduire les fonctions du temps correspondantes (vitesses et accélérations) dans les premières récurrences directes qui partent de la base [TEC 07].

IV.3.2. Formalisme de Lagrange 

Les équations de Lagrange permettent d'obtenir directement les relations entre les efforts moteurs aux articulations et les mouvements. Par rapport aux équations de Newton, on perd au passage les informations sur les efforts de réaction aux articulations qui sont utiles au dimensionnement des parties mécaniques, mais n'interviennent pas dans un modèle utile à la commande automatique puisque les corps sont supposés indéformables [CHE 03].

Il s'agit de n équations différentielles non linéaires du second ordre obtenues à partir de :

(IV-17)

avec :

L est le Lagrangien du système, c'est la différence entre l'énergie cinétique du système, et l'énergie potentielle du système.

(IV-18)

Pour tous les systèmes mécaniques, l'énergie cinétique est une forme quadratique des vitesses :

(IV-19)

où est une matrice symétrique définie positive dépendant des masses et des inerties de chaque corps du mécanisme, et de la configuration q . En effet :

(IV-20)

et on a vu que les vitesses de translation et de rotation de chaque corps sont des fonctions linéaires des vitesses articulaires.

D'autre part, l'énergie potentielle est fonction de la configuration du mécanisme:

Il en résulte que les équations de Lagrange peuvent s'écrire :

(IV-21)

où le premier vecteur représente les forces ou couples d'inertie sur les articulations motorisées, le deuxième (du second degré par rapport aux vitesses) correspond aux effets centrifuges et de Coriolis, le troisième traduit les efforts dus à la pesanteur et aux ressorts. [éEF 05]

Le modèle dynamique lorsqu'on applique la force peut s'écrit sous la forme :

(IV-22)

où :

La matrice d'inertie est obtenue directement à partir de l'expression de l'énergie cinétique  ; L'élément est égal au coefficient de dans l'expression de l'énergie cinétique, tandis que l'élément est égal au coefficient de.

Le calcul des éléments de C se fait à partir du symbole de Christophell selon la relation :

(IV-23)

Le calcul de Q se fait à partir de l'énergie potentielle :

(IV-24)

Si on prend en compte l'effet du frottement dans les liaisons sur le mouvement, on doit ajouter au deuxième membre de l'expression (IV-24) le vecteur.

L'équation dynamique devient :

(IV-25)

Si on tient compte des inerties des actionneurs, l'élément de la matrice d'inertie doit être augmenté de

Il est évident que pour trouver les éléments de M, C et Q, il faut tout d'abord calculer les énergies cinétique et potentielle de tous les corps du robot.

Calcul de l'énergie cinétique :

L'expression de l'énergie cinétique total d'un système composé de n corps rigides est :

(IV-26)

Où désigne l'énergie cinétique du corps, qui s'exprime par :

(IV-27) Etant donné que :

(IV-28) Et sachant que :

(IV-29) La relation (IV-28) devient :

(IV-30) Dans l'équation (IV-32), tous les éléments doivent être exprimés dans le même repère. La façon la plus simple est de les exprimer dans le repère R_i, l'équation devient donc :

(IV-31)

Le calcul de et de se fait par la relation (III-11).

Calcul de l'énergie potentielle :

L'énergie potentielle s'écrit :

(IV-32) En projetant les vecteurs de cette relation dans _, on obtient :

(IV-33)

Les énergies cinétiques et potentielles étant linéaires par rapport aux paramètres inertiels, le modèle dynamique l'est également.

IV.4. Application sur le robot choisi 

Nous avons supposé que, en raison de symétrie, les centres de masse,,, et sont respectivement situés sur les supports de Z₁, Y₂, Z₃, Z₄, Y₅ et Z₆ et que les matrices de chaque corps, sont diagonales, donc :  

L'effet extérieur sur l'organe terminal est :

Les efforts extérieurs sur les autres corps du robot sont supposés nuls.

Le logiciel Maple a été utilisé pour développer les expressions des différents termes du modèle dynamique par les deux méthodes.

Les résultats ainsi obtenus sont les suivants :

IV.4.1. Résultats obtenus par le formalisme de Newton Euler

L'étape 1 : les vitesses angulaires

L'étape 2 : les accélérations angulaires

L'étape 3 : opérateurs tensoriels

Par la même méthode, on calcule les autres

L'étape 4 : Les accélérations linéaires :

L'étape 5 : Les efforts sur les articulations :

L'étape 6 : Les moments aux niveaux des articulations :

L'étape 7 : Calcul des couples résultants pour chaque articulation

IV.4.2. Résultats obtenus par le formalisme de Lagrange

· Matrice d'inertie M:

· Les éléments de la matrice C se déduisent des expressions de la matrice M grâce à la relation (IV-21).

· Le vecteur Q :

avec :

IV.5. Le modèle dynamique direct (MDD) 

On peut simplifier l'écriture du modèle dynamique inverse comme par la relation :

(IV-34)

avec :

(IV-35)

On utilise le modèle dynamique direct pour simuler le comportement du robot dans la boucle de commande, il est donné par :

(IV-36)

: L'inverse de la matrice d'inertie.

Le calcul de la matrice M et le vecteur H par la méthode de Lagrange se fait explicitement (§ IV.3.2), et on peut aussi les tirer à partir du formalisme de Newton Euler comme suit :

H est obtenu en considérant les accélérations nulles dans l'équation (IV-34).

(si). (IV-37)

La matrice M est obtenue en remarquant que sa i^éme colonne est égal à si: (IV-38)

étant le vecteur (nx1) dont tous les éléments sont nuls sauf la i^éme composante qui égale à 1.

IV.6. Application numérique

On a supposé que l'effort extérieur, est exprimé dans le repère R_6, pour cela le coupleest égal à :

(IV-39)

Les frottements sont négligeables sur toutes les articulations.

En plus des paramètres géométriques du Tableau (I.1), les paramètres entrant dans le calcul du modèle dynamique sont donnés par le tableau suivant :

i	li (m)	mi (kg)	Gi	Ixi Kg.m^2	Iyi Kg.m^2	Izi Kg.m^2
1	1.00	25	[0,0,- l1/2]	0.01	0.05	0.06
2	0.75	30	[0,- l2/2,0]	0.10	0.20	0.30
3	0.50	15	[0, 0, l3/2]	0.40	0.40	0.20
4	0.25	4	[0, 0,- l4/2]	0.30	0.50	0.01
5	0.10	4	[0,- l5/2,0]	0.01	0.60	0.03
6	0.10	2	[0,0, l5+l6/2]	0.20	0.20	0.60

Tableau IV.1. Paramètres entrant dans le calcul du modèle dynamique

avec :

l_i est la longueur du corps C_i le long des axes Z1,Y2,Z3,Z4,Y5,Z6 respectivement.

g =9.81 m/s²

f_e =[20,20,20,12,30,25]^t

Nous avons considéré une trajectoire de référence complètement spécifiée assurant une continuité en position, vitesse et accélération, figure (III.2)

Nous avons fait un test de comparaison entre les couples calculés par les deux formalismes pour la trajectoire désirée.

Les figures (IV.2), (IV.3) montrent clairement que les résultats obtenus, par l'application des deux formalismes, sont égaux avec une erreur de l'ordre de10^-14 N.m pour les couples, et de 10^-13 N pour la force f₃

Figure IV.2. Les couples calculés, par les deux formalismes

Figure IV.3. La force F3, par les deux méthodes

Lors de la simulation, on a utilisé différentes trajectoires, et on a trouvés toujours les mêmes résultats, ce qui nous a conduit à valider le modèle dynamique obtenu par l'utilisation des deux formalismes.

IV.7. Conclusion

On a présenté dans ce chapitre les deux formalismes les plus utilisés pour le calcul du modèle dynamique direct et inverse des robots.

L'extraction des différents éléments constituants le modèle dynamique par le formalisme de Lagrange est faite hors ligne, tandis que par celui de Newton Euler tous les calculs sont faits en ligne, ça nous a permit de jouer sur les paramètres géométriques et dynamiques du robot sans faire des changements sur le programme réalisé.

Historiquement, les deux formulations ont été évoluées en parallèle, et chacune a été perçu en tant qu'ayant certains avantages. Par exemple, la formulation de Newton Euler est mieux convenue au calcul récursif que la formulation lagrangienne. Cependant, la situation actuelle est que toutes les deux formulations sont équivalentes à presque tous les égards.

Il doit peut-être loyalement dire que dans l'ancien type d'analyse, la formulation lagrangienne est supérieure tandis que dans le dernier cas la formulation de Newton Euler est supérieure. Pensant à l'avenir, si on souhaite étudier des phénomènes mécaniques plus avancés tels que les déformations élastiques des corps (c.-à-d., si on n'assume plus la rigidité des corps), alors la formulation lagrangienne est nettement supérieure [SPO 04].

Chapitre V

Commande de mouvement

V.1. Introduction 

La commande par découplage non linéaire « commande dynamique » est un asservissement non linéaire dont les paramètres utilisent un modèle de la dynamique du robot, la mise en oeuvre de cette méthode exige le calcul en ligne du modèle dynamique et la connaissance des valeurs numériques des paramètres inertiels et de frottements ce qui ne constitue plus maintenant une limite rédhibitoire grâce aux évolutions technologiques en micro-informatique et le développement de techniques d'identification. [KHA 99]

La commande dynamique n'est pas dans tous les cas le type de commande nécessaire pour obtenir une bonne précision et une bonne stabilité. En effet une commande classique suffit lorsque le robot manipulateur évolue sans contraintes de performance, de rapidité et de précision car dans ce cas, les inerties ont une influence moins importante [AGU 07], Pour évaluer ces performances, nous comparons cette stratégie (commande dynamique) à la commande classique de type PID. Ainsi, nous rappelons dans un premier temps très brièvement le schéma ainsi que la méthode de réglage de la loi PID. Ensuite, nous présentons la démarche adoptée pour synthétiser la stratégie dynamique dans le contexte de la commande de robots

V.2. Commande PID

Les commandes de type PID sont implantées dans tous les contrôleurs de robots industriels actuels. Le système est considéré comme un système linéaire et chacune de ses articulations est asservie par une commande décentralisée de type PID à gains constants. Dans la pratique, une telle commande est implémentée selon le schéma de la figure (V.1)

+

+

+

-

+

-

Robot

K_p

+

K_vp

Figure V.1. Schéma classique d'une commande PID

La loi de commande s'exprime par :

(V-1)

où et représentent les positions et vitesses courantes dans l'espace articulaire, et les positions et vitesses désirées et , et sont des matrices diagonales définies positives, de dimension (n x n), représentant les gains proportionnels , dérivés et intégraux de chaque articulation i.

La solution la plus courante en robotique consiste à choisir les gains de façon à obtenir un pôle triple réel négatif, ce qui donne une réponse la plus rapide possible sans oscillations. On en déduit alors les valeurs de gains de l'articulation i [KHA 99] :

(V-2)

où :

désigne la valeur maximale de l'élément de la matrice d'inertie du robot, est une pulsation choisie la plus grande possible sans dépasser la pulsation de résonance , et est la valeur du frottement visqueux pour chaque articulation.

Les avantages de la commande PID sont la facilité de mise en oeuvre, le faible coût en temps de calcul et elle n'exige pas la connaissance du modèle dynamique du système commandé [XIE 03]. Néanmoins, la réponse temporelle du robot peut varier en fonction de sa configuration, en entraînant des dépassements de consigne et un écart de poursuite important dans les mouvements rapides. Pour le cas de robots avec une dynamique très importante, ce type de commande peut s'avérer non efficace.

V.3. Commande par découplage non linéaire 

La commande par découplage non linéaire consiste à transformer par retour d'état un problème de commande d'un système non linéaire en un problème de commande d'un système linéaire. [KHA 99] L'élaboration d'une loi de commande qui linéarise et découple les équations est simplifiée par le fait que le nombre d'actionneurs est égal au nombre de variables articulaires et que le modèle dont on dispose est un modèle inverse qui exprime l'entrée du système en fonction du vecteur d'état et de . [MAH 06].

Ce type de technique permet la commande dans l'espace des articulations ou dans l'espace cartésien, avec l'avantage que les articulations sont découplées et peuvent évoluer à grandes vitesses avec de fortes inerties.

V.3.1. Commande dans l'espace articulaire

  On suppose que les positions et vitesses articulaires sont mesurables et que les mesures ne sont pas bruitées, l'équation dynamique du robot peut s'exprimer sous forme compacte :

(V-3)

où et les estimations respectives de M et H.

alors, dans le cas idéal où le modèle est supposé parfait, le système est régi par l'équation :

(V-4)

peut être considéré comme un nouveau vecteur de commande. On se ramène donc à un problème de commande de n systèmes linéaires, invariants, découplés et du second ordre (doubles intégrateurs).

On désigne respectivement par l'accélération, la vitesse et la position désirées dans l'espace articulaire, si le mouvement est complètement spécifié, alors w(t) est donné par la relation :

(V-5)

où et sont des matrices constantes, diagonales et positives de dimension (n x n).

(V-6)

avec :

facteur d'amortissement

: Pulsation propre

Pour un modèle parfait, l'évolution du vecteur des erreurs articulaires

(V-7)

est régie par l'équation :

(V-8)

Les erreurs articulaires sont découplées et chacune se comporte comme un système du second ordre dont on peut fixer la rapidité de réponse (choix de) et l'amortissement (choix de, étant donné), En général, on choisit un amortissement égal à 1 pour avoir une réponse sans dépassement [CRE 97]

Cette dernière équation a pour solution un signal e (t) qui tend exponentiellement vers zéro. Le système en boucle fermée, avec cette loi de commande, dans le cas où le modèle du robot est connu avec exactitude, est asymptotiquement stable. Le schéma bloc de cette loi de commande est représenté sur la figure (V.2).

+

+

+

+

+

-

+

-

Robot

K_p

K_v

+

Figure V.2. Commande dynamique pour un mouvement complètement spécifié

Le signal de commande aux actionneurs comporte trois parties :

· la première compense les couples et forces de Coriolis, centrifuges, de gravité et de frottements (H)

· la deuxième est une correction de position et de vitesse à gains variables représentée respectivement par.

· La troisième constitue une anticipation des forces d'accélération désirées

Le modèle dynamique est calculé soit par le formalisme de Lagrange soit par le formalisme de Newton Euler, dans ce dernier cas le est calculé explicitement, on n'a pas besoin de calculer séparément le M et le H, sauf lors de la simulation du comportement du robot (le calcul du MDD).

· Application sur le robot choisi

Afin de montrer l'apport de cette technique de commande, une simulation numérique a été effectuée sur le robot choisi. On a considéré une trajectoire de référence complètement spécifiée assurant une continuité en position, vitesse et accélération.

L'effet extérieur sur l'organe terminal est tenu en compte f_e, les efforts extérieurs sur les autres corps du robot sont supposés nuls, les frottements sont négligeables sur toutes les articulations.

f_e =[20,20,20,12,30,25]^T

Le modèle dynamique du robot est calculé par l'un des deux formalismes décrits précédemment.

Pour la simulation du robot on a utilisé le modèle dynamique direct, (IV-36)  en suite on a intégré; le pour trouver et cette dernière pour trouver.

Les valeurs des paramètres des contrôleurs ont été réglées selon les formulations présentées précédemment. Les lois de commande ont été testées en simulation dans l'environnement Matlab/Simulink®.

· Réglage du PID

D'après les équations vues dans le paragraphe V.2, les paramètres nécessaires pour régler la commande PID d'une articulation, sont la fréquence et la valeur de.

Après le calcul nécessaire, les valeurs de trouvées sont données par :

Les valeurs calculées et ajustées des gains, lors de la simulation, sont :

· Réglage de la commande dynamique

De la même façon, les valeurs à choisir pour régler la commande dynamique sont la pulsation et le facteur d'amortissement, selon l'équation (V.6) et après ajustement en simulation, les valeurs de gains sont fixées à:

Nous avons utilisé deux tests séparés, l'un utilise la commande PID et l'autre utilise la commande dynamique.

La figure (V.4)  montre le comportement du robot, pour les deux tests, en poursuite de la trajectoire présentée par la figure (V.3.a).

Les résultats de simulation montrent un meilleur comportement de la commande dynamique par rapport à la commande PID, L'erreur de position est de l'ordre de 10^-5(rad) pour la commande dynamique, et elle est de l'ordre de 10^-3(rad) pour la commande PID.

De même, l'erreur de vitesse est voisine de 10^-5(rad/s) pour la commande dynamique, et elle est de l'ordre de 10^-3(rad) pour la commande PID.

On voit bien, « figure (V.3.c, d) », que les couples / force donnés par l'application des deux lois de commande, sont les mêmes, ce qui nous amène à dire que pour les deux cas de commande le système converge, mais avec une grande précision pour la commande dynamique par rapport à la commande PID.

Figure V.3. (a) positions articulaires (b) vitesses articulaires

(c) la commande PID

(d) la commande dynamique

Figure V.4.  L'erreur de position et de vitesse

(a)et (b) la commande PID

(c) et (d) la commande dynamique.

En suite on a répété le même travail, pour une trajectoire caractérisée par des grandes vitesses articulaires figure (V.5)

On voit bien que le système lorsqu'il est contrôlé par la commande dynamique reste toujours stable, contrairement au cas de la commande PID, qui est malgré qu'au début du mouvement (t=[0, 2.5s]) le système est un peut stable (figure (V.6.a, b)), mais il a divergé complètement à l'extérieur de cet intervalle.

La divergence du système dans ce dernier cas, est justifié, par le fait que la matrice d'inertie M(q) n'est pas diagonale et dépend fortement de la configuration q. De plus, aux grandes vitesses, les forces centrifuges et de Coriolis « vecteur C(q) » peuvent être importantes.

Pour ces raisons, l'utilisation d'asservissements linéaires classiques conduit à des performances de rapidité et de précision inconstantes et difficiles à estimer étant donné le caractère fortement non linéaire du processus commandé. Cet inconvénient est notablement réduit par le schéma de la commande dynamique du mécanisme (figure (V.6.c,d)).

Figure V.5. (a) positions articulaires (b) vitesses articulaires

(c) la commande PID

(d) la commande dynamique

Figure V.6.  L'erreur de position et de vitesse

(a)et (b) la commande PID

(c) et (d) la commande dynamique.

V.3.2.Commande dans l'espace opérationnel 

Le problème de l'asservissement dans l'espace cartésien pour un bras manipulateur, consiste à produire des consignes capables de réaliser le mouvement opérationnel [AGU 07], une des deux solutions suivantes peut être choisie pour réaliser la commande par découplage non linéaire :

V.3.2.1. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace articulaire

Dans ce cas, on transforme le mouvement défini dans l'espace opérationnel en un mouvement dans l'espace articulaire, puis on met en oeuvre la commande dans l'espace articulaire du §V.3.1. Le signal d'erreur est exprimé alors dans l'espace articulaire [VIV 04].

On utilise le MGI pour trouver les variables articulaires désirées, puis avec une procédure numérique on dérive ces dernières pour obtenir la vitesse et l'accélération (Figure V.7).

Figure V.7. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace articulaire

· Application sur le robot choisi 

Les valeurs de sont les mêmes de la section précédente.

On considère que le robot se déplace selon la trajectoire donnée dans le chapitre III (la poursuite d'une tache de soudure). Cette trajectoire est caractérisée par les coordonnées opérationnelles de translation et de rotation présentées par les figures (V.8.(a, b)) respectivement.

La figure (V.8.c, d) montre les coordonnées (positions et vitesses) articulaires correspondantes à la trajectoire désirée.

La figure (V.9.a, b) représente l'évolution des erreurs au niveau des coordonnées articulaires lors du suivi de la trajectoire désirée. On remarque la bonne convergence de la loi de commande établie. Cette erreur est très faible, elle est de l'ordre de 10^-4rad pour l'erreur de position et de 10^-2 rad/s pour l'erreur de vitesse.

Figure V.8.  Les coordonnées de la trajectoire désirée dans l'espace opérationnel (a, b) et dans l'espace articulaire(c, d)

Figure V.9.  L'erreur de position et l'erreur de vitesse dans l'espace articulaire

Lors de la simulation, on a utilisé différentes trajectoires, et on a trouvé qu'il a des cas où le système diverge et l'erreur pour quelques articulations devient très grande. Cette divergence est due par le fait que le MGI a plusieurs solutions (8 solutions dans notre cas).

On prend, comme exemple, la trajectoire donnée par la figure (V.10.a).

Figure V.10.  L'erreur due au problème de la non unicité du MGI

Les résultats de simulation sont montrés dans la figure (V.10). On voit, bien que, les couples atteint des valeurs très grandes quand les positions articulaires changent d'aspect.

Pour remédier à ce problème on doit poser des contraintes ayant une relation avec la géométrie du robot, afin de minimiser le nombre de solutions. Ces contraintes diffèrent d'un robot à l'autre.

La deuxième solution est de penser à une loi de commande qui ne passe pas par le MGI.

V.3.2.2. Commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace opérationnel

Le mouvement dans l'espace de tâche peut être réalisé en modifiant notre choix de la commande de la boucle externe dans l'équation (V-4), tout en laissant la commande de la boucle intérieure inchangée (le calcul de ).

Soit la position du terminal en utilisant n'importe quelle représentation minimale. Puisque X est une fonction des variables communes nous avons :

(V-9)

où est la jacobienne analytique.

Etant donné l'équation du double intégrateur (V-4) dans l'espace articulaire, si est choisi comme:

(V-10)

le résultat est une équation du double intégrateur dans l'espace opérationnel :

(V-11)

Comme pour la commande dans l'espace articulaire, on peut proposer plusieurs schémas. On détaille ici le cas d'une correction PD lorsque le mouvement est complètement spécifié. On pose alors :

(V-12)

Avec cette loi, dans l'hypothèse d'une modélisation parfaite et d'erreurs initiales nulles, le comportement du robot est décrit par l'équation:

(V-13) avec : (V-14) Le schéma bloc correspondant est représenté par la figure (V.8), la valeur de est calculée par la relation :

(V-15)

w(t)=

-

+

+

+

+

+

+

-

+

-

Robot

MGD

K_p

K_v

MCD

+

Figure V.11.  La commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace opérationnel.

· Application sur le robot choisi

La représentation de l'orientation de l'effecteur est faite toujours (durant notre travail) par les angles de RTL, pour cela on peut décomposer le vecteur d'erreur en deux sous vecteurs ; définit les écarts en position, et pour indiquer les écarts en orientation, de tel sorte que :

(V-16)

On considère que le robot se déplace selon la trajectoire donnée dans le chapitre II (la poursuite d'une tache de soudure).

Les valeurs du sont :

Les coordonnées opérationnelles calculées et les erreurs de position et, sont représentés dans la figure (V.12).

On remarque la bonne convergence de la loi de commande établie ; la valeur de l'erreur est très faible, elle est de l'ordre de 10^-4m pour l'erreur de translation, et de l'ordre de 10^-3 rad pour l'erreur d'orientation.

De même, la figure (V.13) représentent les vitesses opérationnelles et les erreurs correspondantes, ces dernières sont très faibles, elles sont de l'ordre de 10^-5 m/s pour les vitesses de translation et de l'ordre de 10^-5 (rad/s) pour les vitesses de rotation.

Figure V.12.  L'erreur d'orientation et de translation dans l'espace opérationnel.

Figure V.13.  L'erreur de vitesse dans l'espace opérationnel.

V.3.3. Commande au voisinage des positions singulières

Pour cette loi de commande, nous utilisons l'inverse de la matrice jacobienne. Le plus grave inconvénient de ce type de commande est dû au fait que cette matrice peut devenir singulière.

Au niveau d'une configuration singulière, l'inverse de la matrice jacobienne n'existe plus. Ce qui produit des vitesses articulaires infinies. L'utilisation de l'inverse généralisée résout ce problème.

Pour le calcul de la matrice inverse généralisée au voisinage des singularités, Nakamura propose une méthode robuste [NAK 91]. Cette matrice est définie par :

(V-17)

où est utilisé comme paramètre d'amortissement de l'inverse de la matrice jacobienne. En choisissant, nous assurons l'existence de l'inverse de la matrice jacobienne. Ceci permet de traverser les positions singulières. Une valeur de donne des résultats satisfaisants [AGU 07].

· Application sur le robot choisi 

Pour valider la solution de Nakamura, sur notre travail, on a donné une trajectoire qui passe par des positions singulières du robot (Figure V.14)

et

Figure V.14.  La trajectoire désirée

La figure (V.15) montre la position de l'effecteur et les erreurs qui la correspondante, lors du passage par les positions singulières choisis sans tenir en compte l'inverse généralisée de la matrice jacobienne.

Au niveau de position opérationnelle; la valeur maximale de l'erreur de translation est 6*10^-3(m), et l'erreur de rotation est de l'ordre de 10^-2 (rad). Ces erreurs sont multiples de 100 à 1000 fois des erreurs trouvées dans le cas d'une trajectoire ne contient pas des positions singulières. Mais on peut dire que le système converge.

Tandis qu'au niveau des coordonnées articulaires mesurées, les valeurs des vitesses sont très grandes, de l'ordre de 5000 rad/s. De même les positions articulaires dépassent ses limites naturelles (2*pi rad), figure (V.16).

Figure V.15.  La position de l'effecteur et les erreurs de position dans l'espace opérationnelle.

Figure V.16.  « à gauche » l'erreur de vitesse opérationnelle

« à droite » les positions et les vitesses articulaires calculées.

On a fait le calcul de la matrice inverse généralisée, avec, les résultats de simulation obtenus dans ce cas sont montrés par les figures (V.17), (V.18).

On voit clairement que la commande au voisinage des positions singulières, est très bien traitée par cette solution.

Figure V.17.  Le cas d'utilisation de l'inverse généralisée.

La position de l'effecteur et les erreurs de position dans l'espace opérationnelle

Figure V.18. Le cas d'utilisation de l'inverse généralisée.

« à gauche » l'erreur de vitesse opérationnelle

« à droite »les positions et les vitesses articulaires calculées.

V.4. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté la synthèse de la commande dynamique d'un bras manipulateur rigide dans les espaces articulaire et opérationnel.

C'est dans l'étape de validation des différents schémas de commande que nous avons constaté l'importance des modèles géométrique, cinématique et dynamique pour le calcule des consignes de commande.

Nous obtenons un haut niveau de performance de la boucle d'asservissement dans l'espace opérationnel, même en présence de configurations singulières. L'utilisation de l'inverse généralisée a permis de traverser les configurations singulières sans problèmes.

Finalement, après toutes ces simulations, nous obtenons un schéma de commande qui satisfait les contraintes du robot choisi ; le repère référence est celui de l'atelier, une vitesse grande , un effort extérieur statique et la connaissance parfaite des paramètres inertiels et géométriques.

Conclusion générale

La commande des robots manipulateurs est l'une des préoccupations majeures des recherches en robotique. En effet, un robot manipulateur est caractérisé par un comportement purement non linéaire, de plus, la majorité des tâches qui lui sont confiées sont délicates et exigent une très grande précision sous des trajectoires rapides, excluant ainsi toute utilisation des méthodes classiques de synthèse des régulateurs standard.

Dans le but d'améliorer les performances des manipulateurs, nous avons présenté dans ce travail une loi de commande très connue en robotique et nécessitant la connaissance précise du modèle dynamique du robot, à savoir la commande dynamique.

L'objectif de ce travail est la modélisation et la commande dynamique d'un robot manipulateur industriel à 6ddl, dont une de ses liaisons est prismatique.

Le mémoire présenté comporte cinq parties :

La première partie de ce travail est dédiée à la modélisation géométrique direct des robots à structure ouverte simple, où on a choisi de représenter les coordonnées opérationnelles de position par les coordonnées cartésiennes et celles de la rotation par les angles de Roulis Tangage Lacet. L'utilisation des paramètres de Denavit Hartenberg et le bon choix des repères, nous a permet de calculer le modèle géométrique direct du robot et son espace de travail en dehors de ses positions singulières.

La deuxième partie est relative au problème géométrique inverse, des solutions analytiques du modèle géométrique inverse ont été trouvées par l'utilisation de la méthode de Paul accompagnée par la méthode de découplage cinématique.

La troisième partie est consacrée à l'étude cinématique du robot, on a fait le calcul de ses matrices jacobienne, géométrique et analytique, ainsi que la détermination de son modèle cinématique inverse du premier et de deuxième ordre, ensuite on a appliqué ces principes sur le robot choisi.

Nous avons détaillé dans le chapitre quatre les deux formalismes de calcul du modèle dynamique d'un robot manipulateur, à travers l'application des deux formalismes on a calculé le modèle dynamique direct et inverse, bien sure ils nous ont données les mêmes résultats.

La dernière partie de ce travail est dédiée à la commande des bras manipulateurs. On a commencé par l'application de la commande dans l'espace articulaire puis dans l'espace opérationnel, dont la correction pour ce dernier est faite soit dans l'espace articulaire ou bien dans l'espace opérationnel lui même en utilisant, dans ce cas, les angles de Roulis Tangage Lacet, comme signal de retour pour l'orientation, les positions singulières sont traitées par l'introduction de l'inverse généralisée de la matrice jacobienne.

À partir des schémas de commande nous pouvons formuler trois remarques ; Tout d'abord la commande dans l'espace articulaire est très facile à mettre en ouvre mais ,puisqu'on ne peut pas imaginer la trajectoire suivi par l'outil, cette méthode reste valable que lorsqu'on veut faire commander un axe après axe. Ensuite la commande dans l'espace opérationnel avec correction dans l'espace articulaire, malgré, qu'elle a résolue le problème de la précédente et qu'elle nous a donnée des bons résultats, elle a aussi le problème de la non unicité des solutions de MGI. Finalement, la commande dans l'espace opérationnel avec correction dans cet espace donne une bonne précision, elle est robuste au passage des configurations singulières pendant le suivi d'un chemin réalisé en respectant les contraintes cinématiques, ce qui permet la réalisation des tâches « en aveugle ».

Des résultats de simulation sous Maple et Matlab/Simulink sont présentés pour valider les différentes approches.

A cause de suppositions tenues au cours de notre travail, on peut dire que ce travail ne réalise pas une recherche exhaustive pour satisfaire toutes les contraintes, mais essaie de proposer un schéma de commande qui permet la réalisation de différentes tâches en respectant des contraintes cinématiques lorsque l'information provient de capteurs proprioceptifs, dans le cas particulier de ce travail seules la position et la vitesse ont été utilisées.

Les perspectives ouvertes par ce travail peuvent concerner :

· Développer des techniques d'identification des paramètres inertiels et les paramètres de frottements du robot.

· Simplifier au maximum, les éléments de tous les modèles entrant dans la boucle de commande afin de réduire le temps d'exécution de la commande et de l'implanter sur calculateur.

· La loi de commande développée ici, peut être utilisée pour la commande de deux robots coopératifs, en supposant que ces deux derniers sont de même type. Les seuls paramètres qui seront changés, pour notre loi, sont les paramètres de la représentation des deux robots par rapport au repère atelier. Mais dans la pratique, il faut aussi étudier la loi de distribution des forces entre les deux robots.

· Les déformations des corps constituant les mécanismes ont été toutefois négligées ici et des modèles plus compliqués seraient nécessaires pour la modélisation. Les lois de commande de robots « souples » seraient également plus compliquées car elles devraient contrôler les déformations qui constituent autant de degrés de liberté supplémentaires. Pour l'instant, de tels manipulateurs ne sont pas utilisés dans l'industrie, mais comme bras téléopérés dans les navettes spatiales par exemple.

Références bibliographiques

[AGU 07] I.H. Aguilar. « Commande des bras manipulateurs et retour visuel pour des applications à la robotique de service ». Thèse de doctorat, Université Toulouse III, 2007.

[AIS 06] A. Aissaoui,  « Conception et commande neuronal d'une patte d'un robot marcheur », mémoire de magister, Université de Oum EL Bouaghi, Algérie, mars 2006

[BEJ 85] Bejczy A.K, Tarn T.J, Yun X, Hans S « Non linear feedback control of Puma 560 robot arm by computer », Proc 24 ^th IEEE conf on Decision and control, Fort Lauderdale , déc 1985, p 1680-1688.

[BEN 06] A. Benmisra « Programmation des robots industriel et application sur le robot manipulateur Algérie machines outil 1 », mémoire de magister, Université de Saad Dahleb de Blida, Algérie, 2006

[BIL 05] B. Goodwine « Inverse Kinematics », "Robotics and Automation Handbook", CRC Press LLC publication 2005

[BOI 88] J. Boissonat, B. Faverjon « Technique de la robotique, Architecture et commande », Hermes sciences, paris, 1988

[BOR 90] J.J. Borrelly, D. Simon «Proposition d'architecture de contrôleur ouvert pou le robotique », rapport de recherche, INRIA université de Rennes1, France, octobre 1990

[CHE 03] C.CHEN, «A Lagrangian Formulation in Terms of Quasi-Coordinates for the Inverse Dynamics of the General 6-6 Stewart Platform Manipulator», JSME International Journal Series C, Vol. 46, No. 3 (2003), pp.1084-1090

[CHE 08] S. Chemami, C. Mahfoudi, K. Djouani «Comparaison entre les deux formalismes dynamiques (Newton Euler et Lagrange) pour la commande d'un robot manipulateur à 6ddl »,2^ème Conférence Internationale sur les Sciences de la Mécanique, Université d'Oum EL Bouaghi, Algérie 16, 17 et 18 Novembre 2008.

[CRA 89] John J .Craig, « Introduction to Robotics and control», Second Edition, Addison Wesley, Publication, 1989

[DOM 01] E. Dombre, «Analyse ET Modélisation des Robots Manipulateurs », Hermes Science, Publications, 2001.

[ESP 08] B. Espiau «Commander les robots » publier le 26/05/08 sur le site interstices @ http://interstices.info/commande-robot.

[FEA 07] R. Featherstone «Robot dynamics » publier le 9 /10/ 2007 sur le site Scholarpedia, @ www.scholarpedia.org/article/Robot_dynamics

[FIS 04] P. Fisette, H. Buyse, J.C. Samin «Introduction à la robotique» France, 10 novembre 2004

[FLÜ 98] L. Flückiger « Interface pour le pilotage et l'analyse des robots basée sur un générateur de cinématique »Thèse de doctorat, Ecole polytechnique Fédérale de Lausanne 1998.

[GRE 05] G. S. Chirikjian «Rigid-Body Kinematics»,"Robotics and Automation Handbook", CRC Press LLC publication 2005

[KHA 78] W. Khalil « Contribution à la commande automatique des manipulateurs avec l'aide d'un modèle mathématique des mécanismes», Thèse d'état. USTL. Montpellier, oct. 1978.

[KHA 99] W. Khalil, E. Dombre, « Modélisation, Identification et Commande des Robots », 2^ième édition, Hermes Science Publication, 1999.

[KUR 05] Thomas R. Kurfess, « Robotics and Automation Handbook», CRC Press LLC, publication 2005

[LUH 80] LUH J.Y.S. Walker M.W. Paul RCP, « Resolved acceleration control of mechanical manipulators », IEEE trans on Automatic control. Vol AC-25(3), juin 1980, p 467-474

[MAH 06] C. Mahfoudi « Contribution à la modélisation des robots à pattes, Application aux Hexapodes», mémoire de doctorat, Ecole National Polytechnique, Algérie, octobre 2006

[NAG 05] M.L. Nagurka «Newton-Euler Dynamics of Robots», "Robotics and Automation Handbook ", CRC Press LLC publication 2005

[NAK 91] Y. Nakamura « Advanced Robotics. Robotics and Optimization ». Addison Wesley Publishing Company, 1991.

[SAM 83] C. Samson «Commande non linéaire robuste des robots manipulateurs », rapport de recherche, INRIA université de Rennes1, France, 1983

[SIL 82] W.M. Silver «On the Equivalence of Lagrangian and Newton-Euler Dynamics for Manipulators», The International Journal of Robotics Research, Vol. 1, No. 2, 60-70 (1982)

[SPO 04] Mark W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar «Robot Dynamics and Control», Second Edition, January 28, 2004

[SPO 05] Mark W. Spong «Robust and Adaptive Motion Control of Manipulators», "Robotics and Automation Handbook", CRC Press LLC publication 2005

[TEC 07] ANDRÉ (G.). « Modélisation et commande des robots manipulateurs», Techniques de l'Ingénieur, traité Informatique Industrielle, Doc S 7730, octobre 2007

[VEN 02] G. Venture, M. Gautier, W. Khalil «Identification des paramètres physiques par modèle inverse appliquée à la dynamique véhicule », 2002

[VIV 04] O.A.VIVAS Albán « Contribution à l'identification et à la commande des robots parallèles » Thèse de doctorat, Montpellier II, le 10 novembre 2004

[XIE 03] M.Xie « Fundamentals of robotics: linking perception to action »

p. cm. -- (Series in machine perception and artificial intelligence; v. 54), World Scientific Publishing 2003.

[éEF 05] M. éefran, F. Bullo « Lagrangian Dynamics », "Robotics and Automation Handbook", CRC Press LLC publication 2005

Résumé : Le travail développé dans ce mémoire concerne la commande des robots manipulateurs par retour d'état estimé. Nous nous sommes intéressés à la classe des robots manipulateurs rigides à chaîne ouverte simple. Nous présentons en premier lieu une étude détaillée sur les modèles utilisés pour le contrôle et la commande du robot, à savoir le modèle géométrique, cinématique et dynamique : directs et inverses. En supposant mesurables les variables de positions et de vitesses articulaires, nous avons proposé un schéma de commande basé sur un observateur à grands gains et une commande non linéaire. La commande utilisée linéarise exactement l'observateur ce qui rend son implantation très facile. Nous avons également traité la commande au voisinage des positions singulières. Les résultats de simulation confirment la validité du schéma de commande proposé.

Mots-clés : Robot rigide, Robot manipulateur, Commande non linéaire, Modélisation, 6ddl

Abstract: The work developed in this memory concern the control of the manipulators robots by return of estimated state. We were interested in the class of the rigid manipulators robots with simple open chain. We initially present a study detailed on the models used for the control of the robot, namely the geometrical, kinematics and dynamic model: direct and reverse. By supposing measurable the joints variables of positions and speeds, we proposed a diagram of control based on an observer with great gains and a nonlinear control. The control used linearise the observer exactly what makes its establishment very easy. We also treated the control in the vicinity of the singular positions. The results of simulation confirm the validity of the diagram of control proposed.

Key words: Rigid robot, Manipulator robot, nonlinear control, Modeling, 6ddl

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