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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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Calcul de la borne de stabilitéforte pour le

cas de troncature de la capacitéd'attente de

la file M/M/1

Ces dernière ann'ees, la m'ethode de stabilit'e forte a 'et'e appliqu'ee pour divers problèmes et sur plusieurs modèles stochastiques qui peuvent être r'egis par des chaàýnes de Markov homogènes.

Dans ce chapitre, on s'int'eressera au cas d'application de la m'ethode de stabilit'e tout en consid'erant le problème de la troncature de l'espace des 'etats de la chaàýne de Markov d'ecrivant la file M/M/1. Notre objectif est de faire une 'etude comparative entre deux techniques de troncature (augmentation de la première colonne et augmentation uniforme) pour le cas de calcul de la borne de stabilit'e forte.

4.1 Préliminaires et notations

L'outil principal utilis'e dans notre travail est la norme v not'ee .kõ, o`u v est un vecteur dont les 'el'ements v(s) > 1 pour tout s ? S (S est l'espace des 'etats de la chaàýne de Markov) et pour tout w ? RS on a par d'efinition:

kwkõ = sup

i?S

w(i)

v(i) .

Soit ,t une mesure de probabilit'e dans S, alors la norme v de ,t est d'efinie comme suit:

Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 48

X

kukõ =

i?S

v(i)ui.

La norme v est 'elargie aux noyaux de transition dans S. Dans ce cas, soit A ? RS×S alors :

MAIõ = sup

i,kwk=1

PS
j=1

|A(i,j)w(j)|

 
 

v(i) .

Supposons que -7 et 7 possedent une norme v finie, alors

|e7f - 7f| = ke7 - 7kõkfkõ inf

i?S

v(i).

4.1.1 Borne de la stabilit'e forte

Le critere de stabilit'e forte est donn'ee dans le th'eoreme suivant.

Th'eor`eme 4.1 (Aissani et Kartashov 1983 [3]) :

Soit X une chaine de Markov de noyau de transition P et de mesure invariante 7, cette chaine est dite v - fortement stable par rapport a` la norme 11 · kv, si elle existe une mesure invariante ó et une fonction mesurable non n'egative h sur N, satisfaisant les conditions suivantes :

a) 7h > 0, ó1I = 1, óh > 0, et

b) T = P - h ? ó est non n'egatif,

c) ||T||v < 1,

d) 1P1v < 8.

O`u ? repr'esente le produit de la convolution entre la mesure ó et la fonction h et 1I est un vecteur dont tout les 'el'ements sont 'egaux a` 1.

Ce r'esultat nous permet de d'elimiter le domaine des valeurs de perturbation de la norme v (]1, â0]) pour lequel la chaine de Markov en question est v-fortement stable.

La borne de la m'ethode de stabilit'e est donn'ee dans le th'eoreme suivant.

Th'eor`eme 4.2 ([31]) :

Soit P un noyau de transition v - fortement stable si :

|| Pe -P|| 1 - 11T11õ

õ < ||I

? Ð||õ, (4.1)

alors la borne de la stabilit'e forte peut s''ecrire sous la forme suivante :

||e7 ?? Ð||v || 7||õ = Dr||õ ||I

Pe- P||õ

(4.2)

P- P||õ.

1 - kT kõ - ||I ? Ð||õ ||

En g'en'eral, la constante ||I ? Ð||õ est estim'ee par 1 + 171õ.

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"En amour, en art, en politique, il faut nous arranger pour que notre légèreté pèse lourd dans la balance."   Sacha Guitry