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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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4.4 L'augmentation uniforme

Dans ce cas, on choisit la matrice stochastiques A de telle sorte que tous ses 'el'ements sont 'egaux a` 1/N. Ainsi, la matrice P sera obtenue sous la forme :

Calcul de la borne de stabilitéforte pour le cas de troncature de la capacité

d'attente de la file M/M/1

 
 
 
 
 
 

Page 58

a

? a

0

P= 0

??????????

á N

a 0 a 0

á
N

0 a 0 a

0

á
N

0 0 a 0 ...

0

á
N

0 0 a ...

a

á
N

0

... .

0
a + á

N

.. a

á
N

?
??????????

Explicitement P s''ecrire :

? ?

?

Pij =

ePij, si 0 = i = N - 1; 0 = j = N;

N ,

á si i = N; 0 = j = N;

a+ 1 N , sii=N; j=N-1.

4.4.1 Calcul de la borne de stabilitéforte : Augmentation uniforme

õ-Stabilitéforte de la chaàýne de Markov X

De même, en suivant la même d'emarches, que celle du cas pr'ec'edent (augmentation de la premi`ere colonne), et pour le même choix de la fonction test õ, et de la fonction h et de la mesure ó, on constate que la v'erification des conditions a), b) et d) est la même. Donc, a` ce niveau on mentionnera que les 'etapes diff'erentes du cas pr'ec'edent. Ainsi :

· Montrons l'existence d'une certaine constante ñ < 1 telle que :

Tõ(k) = ñõ(k), pour k = 0?

Par d'efinition,

Tõ(k) = XN õ(j)Tkj.

j=0

Pour k = 0 :

(Tv)(0) = XN v(j)T0j = XN âj × 0 = 0.

j=0 j=0

Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 59

Pour 1 = k = N - 1 :

(Tv)(k) =

XN
j=0

v(j)Pkj = á v(k - 1) + á v(k + 1)

= á âk-1 + á âk+1
âk{á + áâ}

= ñ1(â) v(k),

Posons alors,

á

ñ1(â) = â+ áâ. (4.15)

Pour k = N :

(Tv)(N) =

XN
j=0

âjPNj

= v(0)PN,0 + v(1)PN,1 + v(2)PN,2 + v(3)PN,3 + ... + v(N - 1)PN,N-1 + v(N)PN,0, = â0 áN+ âN + âN + ... +âN-1(á + á N ) +âN,

âN á [1 1 1 á

N âN + âN-1 +...+â +1 + â,

âNá

=

N

" â,;,'+11

â

= ñ2(â)v(N), De même, posons :

1 - (1)N+1

ñ2(â) = N 1 - 1+ âN+1.

á

á â

1 á

ñ2(â) = 1 âá

[N(â - 1) (1 - âN+1 ) + âN+1. (4.16)

Dans ce cas, nous constatons que : 0 < ñ2(â) < ñ1(â).

Donc, il existe une constante ñ(â) = ñ1(â) = max{ñ1(â),ñ2(â)} v'erifiant

(Tv)(k) = ñ1(â) × v(k).

Calcul de la borne de stabilit'e forte pour le cas de troncature de la capacit'e d'attente de la file M/M/1 Page 60

Nous avons dejàdemontreque si, pâ < 1 et pour tout â > 1, On a

ñ(â) = á â + áâ < 1. (4.17)

In'egalit'es de stabilit'e forte

Estimation de la d'eviation de noyau de transition Lemme 4.2 Si p < 1 et 0â < 1 et 1 < â < â0, alors

11/3- = A(â) = NâN-1(â (1 - a +

-- 1) \ fiN 1). (4.18)

Preuve

Par definition, on a :

II

Pe - P1v = sup

0=k=N

1

v(k) Lv(j)| 13kj -

j=0

Pour 0 = k < N - 1 :

A0(â) = sup

0=k=N-1

Pour k = N :

1

XN
j=0

v(j)|

-Pkj - Pkj| = 0.

v(k)

1

A1(â) = v(N)

XN
j=0

1 -

v (j)|-13NjPNj|= âN (0)|PN0 - PN0| + v(N) + |ePN1 - PN1|

+ v(N) + ... + |

ePNN-1 - PNN-1| + v(N) + |

ePNN - PNN|}

1{ á á á

= âNN N ... + N

1 - (1â)N+1

1 - 1

â

=

+

á

âN+1

~ ~

á 1 - 1

= .

N-1(â - 1) âN+1

On a : Ä1(â) > Ä0(â), donc;

k Pe - P kv = max{Ä0(â), Ä1(â)}

( )

á

k Pe - P Mv ? Ä1(â) = 1 ? 1 = Ä(â). (4.19)

N-1(â - 1) âN+1

.

Détermination de l'erreur due a` la troncature

L'estimation de la déviation des distributions stationnaires est donnée par le théoreme suivant

Théorème 4.4 Supposons que les hypotheses de Lemme 4.2 soient vérifiées. Alors, pour tout < 1, et sous la condition:

1 - ñ(â)

Ä(â) < c(â) ,

nous avons l'estimation de la borne de la stabilitédonnée par:

||eð - ð||v = c0(â)c(â)Ä(â)

1 - ñ(â) ? Ä(â)c(â) = Be2.

o`u Ä(â) est défini en (4.19) et ñ(â) en (4.15) et

â(1 - %)(1 + â%)

c0(â) = (â - 1)(1 - %N+1)(1 - â%), (4.20)

c(â) = 1 + â(1 - %)(1 + â%)

(â - 1)(1 - QN+1)(1 - âQ). (4.21)

Preuve

Dans ce cas, la seule différence de la nouvelle borne due a` la même perturbation réside dans la constante qui estime la déviation entre les deux matrices de probabilités de transition.

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"I don't believe we shall ever have a good money again before we take the thing out of the hand of governments. We can't take it violently, out of the hands of governments, all we can do is by some sly roundabout way introduce something that they can't stop ..."   Friedrich Hayek (1899-1992) en 1984