Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

1.7 Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles

1.7.1 Comportement asymptotique

L'étude du comportement a` long terme d'une chaàýne de Markov cherche a` répondre a` des questions aussi diverses que :

. La distribution ð⁽ⁿ⁾ converge-t-elle, lorsque n ? 8?

. Si la distribution ð⁽ⁿ⁾ converge lorsque n ? 8, quelle est la limite ð et cette limite est-elle indépendante de la distribution initiale ð⁽⁰⁾ ?

. Si l'état i est persistant, quelle est la proportion du temps passédans cet état et quel est le nombre moyen de transitions entre deux visites successives de cet état?

. Si l'état i est transitoire, quel est le nombre moyen de visites de cet état?

1.7.2 Distribution limite

On dit qu'une chaàýne de Markov converge vers ð ou possede une distribution limite ð

si

lim n?8

ð(n) = ð.

indépendamment de la distribution initiale ð⁽⁰⁾ et si ð est une distribution de probabilité. La convergence d'une chaàýne de Markov est donc une propriétéqui ne dépend que de la matrice de transition P.

Théorème 1.4 (Théorème d'existence des distributions limites [37]) :

Si la matrice de transition P est telle qu'une au moins de ses puissances n'a que des termes

strictement positifs, alors

ð(n) = ð.

quelle que soit la distribution initiale ð⁽⁰⁾,et

Pn = P^*,

lorsque n --* 00. ð est un vecteur de probabilitéstrictement positif, et p^* une matrice dont toute les lignes sont identiques au vecteur limite ð. En plus

ðP^* = ð.

1.7.3 Distribution invariante

Une distribution de probabilitédiscrete ð = (ð1, ð2, ...) est appelée invariante ou stationnaire par rapport a` une matrice stochastique P si

ð = ðP.

En particulier, si la loi de X0, notée í0, est une probabilitéinvariante, alors la loi de X1
est í1 = í0P = í0, et en itérant, on obtient que X_n a même loi que X0. La loi de X_n est

donc constante, on dit aussi stationnaire, au cours du temps, d'o`u le nom de ^probabilitéstationnaire [10].

Propriété1.3 :Si lim n?8

ð(n) existe, alors la limite est une distribution invariante.

Théorème 1.5 (Théorème d'existence des distributions stationnaires [37]) : Une chaàýne de Markov possède toujours au moins une distribution invariante, ce qui n'est plus nécessairement vrai si l'espace des états est infini.

Théorème 1.6 :Une chaàýne de Markov possède autant de distributions invariantes linéairement indépendantes que la multiplicitéde la valeur propre 1 de sa matrice de transition.

Théorème 1.7 [37] : Une chaàýne de Markov finie admet une unique distribution stationnaire si et selement si elle comprend une seule classe récurrente.

Théorème 1.8 [16] : La distribution ð⁽ⁿ⁾ des états d'une chaàýne de Markov converge vers une distribution (invariante) ð^* indépendante de la distribution initiale ð⁽⁰⁾, si et seulement si la suite des puissances de la matrice de transition P de la chaàýne converge vers une matrice (stochastique) P * dont toutes les lignes sont égales entre elles. De plus, si tel est le cas, chaque ligne de P * est égale a` distribution limite ð^*.

Théorème 1.9 [37] : Si ð est la distribution limite d'une chaàýne de Markov, alors ð est l'unique distribution stationnaire de cette chaàýne.