Conception et modélisation d'un capteur acoustique

3.2.1.3 Schémas électriques équivalents

Il est souvent pratique d'utiliser un schéma électrique équivalent pour modéliser le comportement d'un transducteur [19]. Il est plus facile alors d'analyser les interactions entre le transducteur, les lames d'adaptation d'impédance et le milieu de propagation, dès lors que l'on se ramène à un schéma électrique équivalent familier. Divers schémas équivalents sont connus tels que le modèle de Mason, le modèle KLM et le modèle de Leach.

3.2.1.3.1 Schéma électrique équivalent de Mason

Mason, dans les années 40, a démontré que pour une analyse unidimensionnelle, la plupart des difficultés rencontrées dans l'obtention d'une solution analytique de l'équation (3.1) peuvent être surmontées en utilisant une analogie avec des circuits électriques [6,18]. Il a présenté le circuit analogique qui sépare un matériau piézoélectrique dans un port électrique relié par un transformateur électromécanique avec deux portes acoustiques (cf. figure 3.6). La piézoélectricité est prise en compte par le transformateur de rapport ???? = h33??0.

F2

v1 ZM1 ZM1 v2

B F

ZM2

F1

1:NM

C0

C0

I3

E

V3

Fig. 3.6 -- Modèle de Mason d'un transducteur ultrasonore piézoélectrique [86]. Les lettres B, F désignent Back et Front respectivement (c'est-à-dire la face arrière et la face avant du transducteur) et la lettre E désignent Electrical port (c'est-à-dire le port électrique du transducteur)

Les impédances ZM1 et ZM2 sont données par les relations suivantes [81]:

ZM1 = ./Z0A tan	??3??3	)	(3.11)
	2

ZM2 = --./Z0A casec(a3a3) (3.12)

3.2.1.3.2 Schéma électrique équivalent KLM

Un des inconvénients du modèle de Mason repose sur l'introduction du terme de la capacité négative qui n'a pas de sens physique. Dans l'effort d'enlever cette capacité du circuit et alimenter directement le centre de la structure mécanique par un transformateur, Krimholtz, Leedom et Matthaei ont publié en 1970 un modèle alternatif. Ce modèle se déduisant de l'équation (3.1) est couramment appelé modèle KLM (cf. figure 3.7). Il s'agit d'une ligne de transmission, qui traduit la propagation, au centre de laquelle est injecté un courant à la sortie d'un transformateur électromécanique dont le coefficient de transformation varie en fonction de la fréquence [87,88].

Chapitre 3. Modélisation unidimensionnelle et Simulation d'un transducteur ultrasonore piézoélectrique 51

v1

F1 F2

E

XK C0 I3

V3

B

1:NK

F

v2

Fig. 3.7 - Modèle KLM d'un transducteur ultrasonore piézoélectrique [5]

Le rapport de transformation « ??K » et la réactance « XK » sont donnés par les relations suivantes [85]:

NK =	Z0??0 cosec 2h33	??3??3	)	(3.13)
		2

hi3 _r

XK = sink_.a3a3) (3.14)

Z0ik⁰²

3.2.1.3.3 Schéma électrique équivalent de Leach

La figure 3.8 montre le circuit équivalent de Leach d'un transducteur ultrasonore piézoélectrique. Ce circuit consiste en deux parties, une partie électrique (i.e. la capacité entre les deux électrodes « C0 ») et une partie mécanique (i.e. la ligne de transmission). Le couplage entre les deux parties est réalisé par deux sources contrôlées [79].

· La source de tension contrôlée dans partie mécanique a la tension « h33.I3/s », où s est l'opérateur de Laplace. Elle est commune entre les deux ports de la ligne de transmission. Puisque la charge sur les électrodes de transducteur est liée au courant par: Q=I3/s, la tension de la source devient h33.Q .Donc la source de tension est contrôlée par la charge sur les électrodes.

· La source de tension contrôlée dans partie électrique a la tension «h33. (v1 -- v2)/s ». Puisque le déplacement de particules est lié à la vitesse de particules par: c=v/s, la tension de la source devient _h33.(c1-c2). Donc la source de tension est contrôlée par la différence entre les déplacements de particules sur les deux faces du transducteur.

-I-

h33.(v1-v2)/s

-

v1 v2

B

F

v1-v2

h33.I3/s

-I-

-

C0

I3

F1

F2

E

V3

Fig. 3.8 - Modèle de Leach d'un transducteur ultrasonore piézoélectrique [97]

Parmi d'autres chercheurs qui ont proposé des modèles décrivant le comportement des transducteurs ultrasonores piézoélectriques citons au moins les travaux de Redwood, Brown et Carlson, Gonnard, Hsueh, Morris et Hutchens, Dion, Püttmer, Emeterio, Hirsekon.