Modélisation et simulation du bruit de fond dans le transistor MOS (Metaphoriser Semiconductor ) à canal long

É-2-3-2 Théorie de Hooge:

É-2-3-2 Equation de Hooge pour les résistances :

Si on applique au borne d'une résistance R une tension constante V , un courant I( t)

se développe et fluctue avec la fluctuation de la résistance :

V = I( t ). R ( t ) = const

? I ? R

= -

(² .30)

I R

La densité spectrale découle de l'équation (² .30) et s'écrit:

2

S _I f = R

( ) ( )

S f

I2 R

(I .31)

Si R et ? R sont indépendant du courant, ( ) ²

S_I f I et aussi indépendant du courant, ainsi la formule mise en évidence par Hooge est de la forme [7]:

I2 R f N

² .

S _I f R

( ) ( )

S f á_H

= =

(I .32)

N est le nombre de porteurs de l'échantillon et á_H est le paramètre de Hooge qui est très utile

une fois sa valeur est connue.

Pour une résistance a semi-conducteur, de longueur L et de section s.

R = L² / q. ì_eff. N (I .33)

Avec ìeff : mobilité des porteurs

Puisque R fluctue alors ìeff et N fluctuent indépendamment D'ou:

?ì

eff

ìeff

?R ?N

= -

R N

(I .34)

La densité spectrale s'écrit alors :

S _N( f)

S ( f) S

R² ì ² N

eff

2

(I .35)

· Si la fluctuation de mobilité est prédominante on aura: S R( f) S ìeff ( f ) SI( f) R^2 ì ^2 eff I2 Dans ce cas le bruit généré est appelé bruit en 1 / f dû à la fluctuation de la mobilité.

(I .36)

· Si la fluctuation des porteurs est prédominante on aura:

S _R

( f ) = S_N ( f ) = S_I ( f) (I .37)

R²

N² I²

Dans ce cas le bruit est appelé bruit en 1 / f dû à la fluctuation des porteurs.

Pratiquement et dans de nombreux cas, le bruit en 1 / f décrit par l'équation (I .36) qui prédomine.

Dans ce cas, si on considère que N ne fluctue pas et en faisant intervenir les mobilités individuelles des porteurs on aura:

n

N.ìeff =

ì i ì eff=

1

n

.N E ì_i (I .38) 1

1

S ì

n 1 1( ) f = 2 . S f ( ) S ( f ) = . eff ì ì i i N N 1

(I .40)

De l'équation (I .38), on peut dire si ì_i fluctue, alors ìeff fluctue aussi que

?ìeif = N En (I .39) ₁

de même pour la densité spectrale :

CHAPITRE I Aspects physiques du bruit page :12

Ou encore:

S _eff ( f )1 ( )

_ìS f

ì i

=

(I .41)

.

2 2

N ì i

ì eff

S ì	i		( ) f		ì
i			2

est indépendant de N mais a une dépendance en 1 / f tel que[7]:

2

N

.

I

f

S _I( f ) á_H

(I .42)

L'équation (I .31) devient alors:

S f

( ) ( )

S f

ì á

I eff H

= =

(I .43)

2 _ì2

ef

I

f

.

N

f

D'après l'équation d'Einstein q .D = k.T _.ìeff , si la mobilité fluctue, par conséquent le coefficient de diffusion fluctue ?D = ?ì _eff , ainsi on aura:

S ( ) ( ) ( )

S f S f

ì

I f á

eff D H

= = =

(I .44)

I 2 2

ìD f N

² .

eff

L'équation (I .44) montre l'aspect fondamental du bruit en 1 / f .

L'équation de Hooge définie par l'équation (I .44) est applicable uniquement pour les composants uniformes. Pour les composants gouvernés par un processus de diffusion tels que les transistors, bipolaire, FET et diode, une correction est nécessaire.

1-2-3-2-2 Equation de HOOGE pour les composants non uniforme :

Considérons un semi-conducteur non uniforme de longueur L . Pour une section ÄX de X l'équation (I .44) devient:

( ) ( )

I X

² . á

. =

S X f

^H(I .45)

f . N( X ) .Ä( X)

Avec N( X) la densité de porteur au point X par unité de longueur, I( X) est très souvent indépendant de X , mais pour les diodes à base large, I( X) dépend de X ce qui entraîne

l'utilisation d'une nouvelle méthode d'approche.

En conséquence, la densité de corrélation de la distribution de Langevin s'écrit alors:

á _H . I( X ) .I ( X ') .? ( X - X')

S _H ( X . X ' ..f ) = (I .46)

f . N( X ')

Avec ? ( X - X' ) est la fonction de Dirac. La densité de courant est donnée par :

I

( )

f = S ( X X f ) dXd X

. ' .

L 2 H

L L

S _I

0 0

'

(² .47)

En conclusion, on peut dire que dans le cas où la fluctuation de la mobilité est prédominante
le bruit en 1 / f est décrit par théorie de Hooge et dans le cas où la fluctuation du nombre de

porteur est prédominante le bruit en 1 / f est décrit par la théorie de McWhorter.

Pour des dispositifs ayant un faible rapport surface-volume le bruit en 1 / f est lié à l'effet de volume, par contre pour un rapport important le bruit en 1 / f est lié à l'effet de surface [7].

1-2-3-2-3 Généralisation de l'équation de Hooge:

Le paramètre de Hooge peut être évalué de l'équation (² .44) ou (² .47) Dans le cas de l'équation (² .44) on peut écrire :

N f S I f . . . ( ) ( ) N S . 1 I á H = = I2 I2

(² .48)

Avec : S_I ( 1) est S_I ( f) à la fréquence unité

Le á_H est indépendant de la fréquence pour laquelle S_I ( f) , est mesuré.

Dans le cas où S_I ( f) varie comme 1 / f ^â avec â ? 1 telle que :

S _I f = S _I 1 / f (² .49)

( ) ( ) â

L'équation (².48) devient :

( 1)

=

á_H

2

N . f 1 -â .SI

I

(² .50)

á_H Dans ce cas dépend de la fréquence. Pour remédier a ce problème Van Der ziel et D.Van Rheene ont proposés une équation généralisée [8]:

²

( ) â

á . I

S f H

= (² .51)

^I N f

.

á_H Devient alors:

N f S _I f

â

. ( ) ( )

N S

. 1

I

á H = = (² .52)

² I ²

I

Dans ce cas á_H est indépendant de la fréquence.

D'autre part, Kleinpenning [9], a trouvé une dépendance du paramètre de Hooge avec le champ électrique dans le silicium selon la relation empirique suivante :

CHAPITRE É Aspects physiques du bruit page :14

0

R

L ^2 q ì + ì p . P) ( N . n .

(² .55)

á ( )

H

á = (² .53)

1 +

^H E

E c

á_H ( 0) est le paramètre de Hooge à faible champ et E_c est le champ critique lié à la vitesse

thermique des porteurs.

Pour le transistor MOSFET au Si la valeur de á_H est :

áH_n(0)=2.9 10^-6

áHp(0) varie de 3 10^-7 à 9 10^-7