3.5.2 Processus d'Itô
Si W suit un processus de Wiener (mouvement brownien) standard
alors la variation 8Wdurant un court intervalle 8t s'écrit :
J
8W = € 8t, on € ~ N (0; 1)
tout processus de Wiener général X (avec tendance)
peut s'écrire :
dX = bdt + adW (3.13)
ainsi, dans un intervalle de temps 8t, la variation 8W de W
s'écrit
../
8X = b8t + a€ 8t, on € .,A/(O, 1) (3.14)
/
Les paramètres b et a d'un processus de Wiener (8X = b8t +
a" 8t) sont constants.
Definition 22 Un processus stochastique encore plus
général, appelé processus d'Ito, auto-rise les
paramétres b et a a être des fonctions de la variable X et du
temps t :
dX = b(X, t)dt + a(X, t)€dW (3.15)
s/
ou : 8X = b(X, t)8t + a(X, t)" 8t (3.16)
(en supposant que la tendance et la variance restent constants
entre t et t + 8t)
Une analyse des actifs dérivés nécessite
donc une bonne compréhension du comportement des fonctions de variables
aléatoires.
Un résutat important dans ce domaine a été
établi par le mathématicien Kiyosi Itô en 1951. Ce
résultat est connu sous le nom de "lemme d'Itô".
3.5.3 Lemme d'Itô
Lemme 23 Lemme d'Itô
Soit (Xi) un processus stochastique de dimension1.
Z t Z t
X = x + b(s, X5)ds + a(s,
X5)dW5
0 0
oIl (Wt)t~0 est un mouvement brownien standart de
dimension 1.
Soit f(t, x) une fonction de classe C1par rapport a t
et C2 par rapport a x alors f vérifie :
Z t Z t Z t
@f @f
f(t, Xt) = f(0, x)+ @t (s; Xs)ds+ @x(s;
Xs)dXs+ 1 a2(s;
Xs)@2f
@x2 (s; Xs)ds (3.17)
2
0 0 0
Le lemme d'Itô est aux variables stochastiques ce que
les series de Taylor sont au cas déterministe, ce lemme offre un moyen
de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations
différentielles stochastiques.
3.5.4 Equations différentielles stochastiques
Les équations différentielles stochastiques sont
des équations différentielles qui contiennent un ou plusieurs
termes qui est un processus stochastique. La solution de ces équations
est un processus stochastique aussi. Normalement les EDS (ou équations
différentielles stochastiques) incorporent du bruit blanc qui ici peut
être vue comme la dérivée d'un mouvement brownien. Les EDS
permettent de modéliser des trajéctoires aléatoires, tels
des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises a des
phénomènes de diffusion.
tique réelle est une équation de la forme :
Z t Z t
X = x + b(s, X5)ds + a(s, X5)dW5
(3.18)
0 0
Ou sous une forme différentielle :
dX = b(t,Xt)dt + a(t,Xt)dWt (3.19)
X0 = x
Soit b et a deux fonctions de R+ x Rn a valeurs
réelles, données :
i1) b(t, Xt) est appelé coefficient de transport ou de
dérive (ou drift);
i2) a(t, Xt) est appelé coefficient de diffusion ou
volatilité.
On se donne également un .7--mouvement brownien
(Wt)t>o sur cet espace. Une solution de
l'EDSprécédente est unprocessus
(Xt)t>o continu,.F--adapté tel que les intégrales f
0 t b(s, X5)ds et f 0 a(s, X5)dW5 aient un
sens et l'égalité
Z t Z t
X = x + b(s, X5)ds + a(s, X5)dW5
(3.20)
0 0
soit satisfaite pout tout t. IP presque slirement. (voir
[1],[10])
Théorème 25 (Théorême d'existence)
Sous les hypotheses suivantes :
(a) il existe K tel que pour tout t 2 [0,T],x 2 R,y 2 R. :
(i) b(t, x) - b(t, y) + a(t, x) - a(t, y)j ~ K x - yj :
(ii) b(t, x)j2 + a(t, x)j2 (1 +
xj2).
(b) la condition initiale X0 est indépendante de
(Wt)t>o et est de carré intégrable,
il existe une unique solution de l'EDS a trajectoires continues
pour t 2 T. De plus cette solution vérifie
Théorème 26 Théoréme de Girsanov
Dans la théorie des probabilités, le
théoréme de Girsanov indique comment un processus
stochastique change si l'on change de mesure. Ce
théoréme est particuliérement important en
mathématiques financiéres dans le sens oh il donne la
maniére de passer de la probabilité historique qui décrit
la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un
taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée a la
probabilité risque neutre qui est un outil trés utile pour
évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.
Soit (Ot)t>oun processus aléatoire
.F--adapté tel que :
Z T
E[exp(1 kO5M2 ds)] < +00
(3.22)
2 0
Le processus W° défini par:
Z t
W t ° = Wt - Osds (3.23)
0
est un mouvement brownien sous la probabilité 1P0 de
densité (par rapport a IP) :
dP~
dIP
Z T Z T
O5dW5 - 1
= exp( k~sk2 dt) (3.24)
2
0 0
| 
