Chapitre 2
Rappels de probabilité
2.1 cr--Algêbre
Une tribu ou o--algebre sur un ensemble , est un ensemble non
vide de partie de ~, stable par passage au complémentaire et par union
dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable).
Définition 1 a--algêbre ou tribu
Soit un ensemble non vide. une collection A de sous ensemble de
est appelé a--algébre si elle satisfait les
propriétés suivantes :
i1)A =6 ø
i2)ø 2 A
i3)VA 2 A = A 2 A
i4)siVm 2 N, A C A alors U A C A
La o---algebre engendrée par les ouverts de , notée
BR, est appelée tribu des boréliens de R.
Définition 2 Mesurabilité par rapport a une
a--algêbre
Soit X une variable aléatoire de et A une a--algêbre
d'événements de 1. Alors X est
A--mesurable si
{X 2 B} 2 A,VB 2 BR
2.2 Espérance conditionnelle par rapport a une
cr--algèbre
Théorème 3 Théorême de
Radon-Nikodym
Soit (~, A) un espace mesurable, une mesure a--finie et u une
mesure tq u << (u
dominée par ) i.e : si A 2 A (A) = 0 = u(A) = 0
Alors il existe f une fonction mesurable essentiellement unique
tq
J
u(A) = fd
A
On note f = d
d
essentiellement unique veut dire si il existe h mesurable telle
qu'elle vérifie aussi le théorême alors
{w,h(w) =6 f(w)} = 0
Théorème 4 Soit (~, A, IP) un espace
probabilisé et X une variable aléatoire sur (~, A, IP). Si E(X)
existe et C A une sous a--algébre. Alors il existe une variable
aléatoire essentiellement unique qu'on note E(X/ ) définie sur
(~, ) telle que VA 2
J J
XdIP = E(X/ )dTP
A A
Remarque 5 E(X/ ) est --mesurable.
2.3 Théorème central limite
Théorème 6 Théorême central limite
Soit S = X1 + X2 + ... + X la somme de ii variables
aléatoires indépendantes ayant la même densité
d'espérance et de variance a2
Soit S , = Sn~Pm
pn~ : alors, pour tout a < b :
uim
fl-400
J b
1 e--x2
TP(a < S n < b) = ,,2 2 dx
a
En d'autres termes, on a
uim
fl-400
Fs n(t) = 0,1(t)
(on parle alors de "convergence en loi")
Ce théorème indique que si S est la somme de ii
variables aléatoires mutuellements indépendantes et identiquement
distribuées, alors la distribution de S peut être correctement
approximée par la densité normale (et ce quelque soit la
distribution initiale!), l'approximation est d'autant plus précise que
ii est grand.
Ce théorème et ses généralisations
offrent une explication a l'omniprésence de la loi normale dans la
nature, de nombreux phénomènes sont dus a l'addition d'un grand
nombre de petites pérturbations aléatoires.
(voir [3])
2.4 Filtration
Definition 7 Le concept de filtration
Une filtration d'un ensemble c est une suite {Fn}n>0 de
a--algêbre de plus en plus fine F0 c F1 c ... c Fn...
avec F0 = {ø, c}
La filtration Fn représente l'information
accumulée jusqu'au temps ii
(voir [3])
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