II.2. MODELE DE GESTION A
PERIODE FIXE ET COUTS NON PROPORTIONNELS AU TEMPS : ARBITRAGE ENTRE COUT
DES INVENDUS ET DES RUPTURES DE STOCK
Nous supposons un réapprovisionnement à
intervalles fixes. Le niveau Q du stock en début de période est
choisi comme variable de décision.
Les notations utilisées sont :
Q : le stock en début de
période (valeur à déterminer)
X : la demande de la
période :
f(x) : la probabilité de l'événement
{X = x} (fonction de probabilité de la demande) ;
f(x)dx : P{x < X < x+dx} ;
Cs : le coût de stockage sur le
stock en fin de période;
Cp : le coût de pénurie sur
le manquant en fin de période (occasionné par une rupture de
stock) ;
L'objectif est de maximiser l'espérance
mathématique du résultat (c'est-à-dire de la marge sur
coût variable). Deux cas doivent être distingués pour
calculer cette marge :
Sur les X articles vendus, la marge sur coût variable
est Cp.X
Sur les (Q-X) invendus, la perte est Cs(Q-X)
CpX-Cs(Q-X) = (Cp+Cs)X-CsQ
Q Q
X
X
X<Q Stock fin période Temps manquant
fin période X> Q
On vend Q unités dont la marge est égale
à CP.Q. A partir de là, nous pouvons donner deux méthodes
de résolution.
Considérons le tableau suivant : le coût
unitaire de détention d'un bidon de 5 litre de l'eau pure HOREB est de
200 Fc par jour et le coût de rupture est l'unité et revendu
à 600 Fc.
Cp=400 Fc
Cs =200 Fc
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DEMANDE
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280
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380
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480
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580
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680
|
780
|
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PROBABILITE
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
Première Méthode :
Nous allons définir une matrice carrée R dont la
ligne i correspond à une valeur xi du
stock initial et dont la colonne j correspond à une
valeur xj du stock initial de la demande.
Le terme R(i,j) est la marge obtenue pour une valeur
xi du stock initial et une valeur xj de la
demande.
|
Q X
|
280
|
380
|
480
|
580
|
680
|
780
|
|
280
|
112000
|
112000
|
112000
|
112000
|
112000
|
112000
|
|
380
|
92000
|
152000
|
152000
|
152000
|
152000
|
152000
|
|
480
|
72000
|
132000
|
192000
|
192000
|
192000
|
192000
|
|
580
|
52000
|
112000
|
172000
|
232000
|
232000
|
232000
|
|
680
|
32000
|
92000
|
152000
|
212000
|
272000
|
272000
|
|
780
|
12000
|
72000
|
132000
|
192000
|
252000
|
312000
|
Considérons ceci :
Sur la diagonale et en dessous, nous avons X<= Q qui
veut dire :
R(i,j)= (Cp+Cs)X-CsQ
Pour Notre cas, la solution se réalise comme suite:
600X-200Q
Nous allons calculer les différentes valeurs en
constatant la progression arithmétique en ligne ou en colonne.
Au-dessus de la diagonale, X> Q R(i,j) =400Q.
Ce résultat étant indépendant de X, le
montant sur chaque ligne est constant.
Soit K le vecteur colonne dont le terme de la ligne j
est égal à K(xj). (Probabilité
que la demande prenne la valeur xj).
Le produit R.K=B est un vecteur colonne dont
le terme de la j-ième ligne est l'espérance
mathématique de la marge, correspondant à la valeur xj
du stock initial,
R
K
B
L'espérance mathématique Maximale est donc
172000 et correspond à la valeur xj =
580 pour le stock initial.
Cette méthode de résolution est toujours
possible, que les coûts envisagés soient proportionnel ou non au
temps, lorsque la demande est discrète.
Nous savons aussi bien qu'elle conduit à des calculs
longs dès que le nombre de valeurs possibles de la demande est
élevé. Deuxième
Méthode :
Soit R(Q) l'espérance mathématique du
résultat pour un stock initial Q.
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