Modélisation et couverture des comptes courants postaux

5.2.3 Dynamique de l'encours client moyen par cellule

Nous nous référons ici au résultat de la partie précédente dans lequel l'inflation s'était révélée être l'indicateur essentiel du niveau de l'agrégat des encours à l'échelle de la banque. D'une manière analogue, il est légitime de supposer que l'encours client moyen par cellule (i, j) suit la même évolution. Il s'agit à nouveau, conformément à l'intuition, d'affirmer que la richesse réelle moyenne détenue sur le compte courant par les clients d'un certain âge j et d'une strate précise (reflétant leur surface financière ou le nombre de produits qu'ils détiennent...) est a priori une grandeur très stable dans le temps. Finalement, on s'attend à ce que la variable _(i,j),t capte la dynamique inflationniste et s'exprime en première approximation comme une fonction de celle-ci. Nous supposerons donc que l'encours moyen par cellule_Ä(i,j),t, à chaque date t~1, est une fonction déterministe du niveau de l'inflation ilt

27

sur la période [0, t] : ceci est réalisé en reliant l'évolution de _0(i,j),t sur la période [t - 1, t] à l'inflation mensuelle correspondante 7rt par l'opération simple suivante :

Ot = (1 + it)Ot-1

pour 1 < t < h, où h E N^* (en mois) est l'horizon d'étude. En revanche, 7rt (et IL) pourront être aléatoires.

5.2.4 Le modèle probabiliste et ses hypothèses

Nous détaillons dans cette section toutes les hypothèses mathématiques du modèle introduit ci-dessus. Rappelons que les strates, en nombre s, sont désignées par l'indice i E E= {1, 2, ..., s} et que les âges sont, quant à eux, indicés par j E E= {a, ..., w} où a et w désignent les âges limites retenus.

Cette segmentation définit |E| |E| cellules de clientèle, chacune d'entre elles étant indicée par un couple (i, j)EExE. Le temps est décompté mensuellement et indicé par tEN, l'instant 0 correspondant à aujourd'hui.

On considère sur l'espace probabilisé (52, W, P) trois familles dénombrables de variables aléatoires :

- {⁰(i,j),t} indicée par ((i, j), t) E E x E x N. La variable _0(i,j),t, à valeurs dans R,

représente l'encours client moyen de la cellule (i, j) à la date t;

- {7r(i,j),t,l} indicée par ((i, j),t,l)EE x E x N^* x N^*. L'idée est de numéroter à chaque date les clients présents dans chaque cellule; on note alors _7r(i,j),t,l la variable aléatoire, à valeurs dans EU{o}, qui associe au client numéro l de la cellule (i, j) à la date t - 1 l'endroit où il sera à la date suivante t (un indice k de E s'il reste dans la banque et intègre la cellule (k, j + 1) et o s'il quitte l'établissement) ;

- {t(i,j),t} indicée par ((i, j),t) E E x E x N^*. La variable _t(i,j),t, à valeurs dans N, représente le nombre d'arrivées depuis l'extérieur dans la cellule (i, j) entre t - 1 et t. Il s'agit donc du nombre de nouveaux clients arrivés en t dans cette cellule.

On note _(Ht)tEN la filtration canonique associée à ces trois familles de variables aléatoires et (Mt)tEN celle associée aux deux dernières⁸, qui concernent les mouvements de clients. Par définition, H0 =M0 = {0,52} et pour tout t E N^*,

1 _n o ~

Ht = ó Ä(i,j),u (i,j)EÓxÎ , {é(i,j),u } (i,j)EÓxÎ , {ð(i,j),u,l } ((i,j),l)EÓxÎxN*, 0 < u < t

~Mt = ó({é(i,j),u}(i,j)EÓxÎ , _{{ð(i,j),u,l}((i,j),l)EÓxÎxN*,} 0 < u < t

_{n o}

Remarquons ici que les variables _Ä(i,j),0 sont H0-mesurables (elles sont connues aujour-

d'hui et assimilées à des constantes).

Ces familles constituent les «briques» élémentaires à partir desquelles est construit tout le modèle. Le but est de définir (par récurrence) deux nouvelle familles de variables aléatoires {v(i,j),t} ^et _{0(i,j),t} indicées par ((i, j), t)EE x E x N modélisant respectivement le nombre de clients dans la cellule (i, j) à la date t et l'encours des dépôts à vue des clients de cette cellule à la même date. Remarquons qu'elles seront liées par

Vt EN, ⁰(i,j),t = v(i,j),t Ä(i,j),t

⁸Nous verrons l'utilité de ce découpage dans les hypothèses sous-jacentes au modèle

Vt E N, Dt =

(

D1,t D2,t . . . Ds,t

) E ^R|Ó||Î| avec Di,t =

Ä(i,á),t ^0(i,á+1),t . . . ^0(i,ù),t

I

E R^|Î|, i E E

Vt E N^*, tt =

(

t1,t t2,t . . . ts,t

? ? ?E N|Ó||Î| avec ti,t = ?

t(i,á),t t(i,á+1),t . . . t(i,ù),t

? ? ? ?

E N^|Î|, i E E

Vt E N^*, vt =

?v1,t ? ?gv2,t ? . . . vs,t

? ? ?E N|Ó|(|Î|-1) avec vi,t = ?

v(i,á+1),t v(i,á+2),t ^ . . . v(i,ù),t ^

I

E ^N|Î|-1, i E E

Vt E N, vt =

? ? ? ?

v1,t v2,t . . . vs,t

? ? ?E N|Ó||Î| avec vi,t = ?

v(i,á),t v(i,á+1),t . . . v(i,ù),t

? ? ? ?

E N^|Î|, i E E

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~et que les variables ~í(i,j),0~ (i,j)?Ó×Î et ~Ä(i,j),0 (i,j)?Ó×Î sont considérées comme des constantes. Elles sont donc H0-mesurables (il s'agit respectivement des nombres de clients par cellule et des encours par cellule dans le portefeuille actuel). On construit alors pour tout ((i, j),t)EE x x N*

B(i,j),t =

í(i,j),t-1 X l=1

^1{ð(i,j),t,l = o4

également à valeurs dans N qui s'identifie au nombre de sorties (c'est-à-dire de clients perdus) de la cellule (i, j) entre t - 1 et t.

De même, soit pour (k, (i, j), t)EE x (E x (⁷.71 - {c4)) x N*

^ í(k,j-1),(i,j),t=

í(k,j-1),t-1 X l=1

^1{ð(k,j-1),t,l = i4

le nombre de clients de la banque présents en t - 1 dans la cellule (k, j - 1) et ayant migré dans la cellule (i, j) entre t - 1 et t. Dans ces conditions

v(i,j),t ^ = _Xs ^ í(k,j-1),(i,j),t

k=1

n'est autre que le nombre de clients de la banque déjà présents en t - 1 et ayant bougé dans la cellule (i, j) entre t - 1 et t.

Finalement, la nouvelle distribution de clients dans le portefeuille s'actualise selon

Vt E N, v(i,j),t+1 = í(i,j),t+1 + é(i,j),t+1

En particulier, il n'y a pas de problème de référence circulaire dans ces définitions, bien que chacune d'entre elles appelle une ou plusieurs des autres. Les définitions ci-dessus sont donc valides.

Pour finir, on définit, à partir de cet ensemble de variables, les variables aléatoires vectorielles suivantes sur (S2, W, P)

Avec ces notations, on a

Vt E N, vt+1 = vt+1 ] + 1t+1

L'encours de la strate i à la date t vaut ⁰(i,:),t =(vi,t|Äi,t) et l'encours global des dépôts à vue de la banque à cette même date s'exprime selon

_Xs i=1

At =

0(i,:),t = (vt|At)

On suppose que :

(1) les variables aléatoires {⁰(i
·

,3),t}((i,j),t)EÓxÎxN, {é(i,j),t}((i,j),t)EÓxÎxN* et

{ð(i,j),t,l}((i,j),t,l)EÓxÎxN*xN* sont toutes mutuellement indépendantes;

(2) V((i, j), t, l) E E x E x N^* x N^*, P (ð(i,j),t,l =k)=ë(i,j) _ksi k EE et
P (ð(i,j),t,l =o)=o^(i,j). On a donc

Xs k=1

ë(i,j) k + o(i,j) = 1 .

La présentation est ici axiomatique mais correspond à des hypothèses «naturelles».

L'hypothèse (1) garantit que les clients de la banque évoluent dans les cellules de manière indépendante les uns des autres et que le processus associé est markovien. L'hypothèse (2) assure que ce processus interne de transition des clients est même homogène dans le temps. Ainsi, on écrit simplement ici qu'à une date quelconque, un client dans la cellule (i, j) a une probabilité ë(i,j)

k d'être dans la cellule (k, j + 1) et une probabilité ^o(i,j) d'avoir quitté
l'établissement à la date suivante.

En particulier, compte-tenu des hypothèses précédentes, il est facile de voir que l'on peut explicitement décrire les lois conditionnelles suivies par certaines des variables que nous venons de définir. Ainsi, conditionnellement à l'information disponible à la date t E N, c'est-à-dire conditionnellement à la sous-tribu Ht, les hypothèses (1) et (2) assurent que :

- pour tout ((i, j), t)EE x E x N, è(i,j),t+1 suit une loi binomiale _{Bin(í(i,j),t} , o(i,j)) ;

- pour tout (k, (i, j),t)EE x (E x (E - {á})) x N, í(k,j-1),(i,j),t+1 ^ suit une loi binomiale

~ ~

Bin _í(k,j-1),t , ë(k,j-1) ;

i

Par conséquent, connaissant la décomposition

s k=1

^

í(i,j),t+1 ^ =

í(k,j-1),(i,j),t+1

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on a, conditionnellement à Ht,

s

í(i,j),t+1 ^ ~ Bin(í(k,j-1),t , ë_i (k,j-1))
k=1

où toutes les binomiales sont mutuellement indépendantes.

En outre, sous l'ensemble de ces hypothèses, il est aisé de voir que la famille de variables aléatoires _(vt)tEN constitue une chaîne de Markov (inhomogène) à espace d'états discret

E ^=N|Ó||Î| et de valeur initiale v0. Ainsi, sous le modèle construit, si l'état de la banque vt est connu à la date t, la trajectoire strictement antérieure à cette date n'a pas d'importance pour le calcul probabiliste relatif à la dynamique future de cet état.

Nous allons à présent démontrer cette propriété. Il nous faut montrer l'identité suivante, notée (X)

Vt E N*, V(Su)0<u<t E E^t+1,P(vt = St | V0 < u < t - 1, v_u = S_u) = P(vt = St | vt-1 = St-1) Soit tEN^* et _(Su)0<u<t EEt+1.

Notons _{Bä,t_1} l'événement {V 0 < u < t - 1, v_u =S_u} et _Aä,t la quantité P(vt =St | Bä,t_1).

Aä,t = P(V(i,j)EE x , í(i,j),t=ä(i,j),t | Bä,t_1)

= P(ViEE, í(i,á),t =ä(i,á),t et Vj > á + 1, í(i,j),t =ä(i,j),t | Bä,t_1)

= P (ViEE, é(i,á),t =ä(i,á),t et Vj > á + 1, é(i,j),t +

Es k=1

í(k,j_1),(i,j),t^^ =ä(i,j),t | Bä,t_1

s

? = P n {é(i,á),t=ä(i,á),t} n _n n té(i,j),t +Eí(k,j_1),(i,j),t^{^}=ä(i,j),t | Bä,t_1

iEÓ iEÓj>á+1 k=1

s í(k,j-1),t-1

? n {é(i á),t=ä(i,á),t} n _n n té(i,j),t=ä(i,j),t - _E E ¹{ð(k,j-1),t,l = i} | Bä,t_1

iEÓ iEÓj>á+1 k=1 l=1

? ?n n n = P {é(i,á),t=ä(i,á),t} n iEÓ iEÓj>á+1

{

é(i,j),t =ä(i,j),t -

Es k=1

ä(k,j-1),t-1 E l=1

^1{ð(k,j-1),t,l = i}

} | Bä,t_1

Or l'hypothèse (1) formulée dans la partie de construction du modèle théorique assure }que toutes les variables _{{é(a,b),t}(a,b)EÓxÎ} et {ð(a,b),t,l ((a,b),l)EÓxÎxN* sont indépendantes de la tribu _{Ht_1} et donc en particulier de Bä,t_1 EHt_1.

Par conséquent

s ä(k,j-1),t-1

?

_{?n n E}

Aä,t = P {é(i,á),t =ä(i,á),t } n _{n E}

1t(i,j),t=ä(i,j),t - 1

iEÓ iEÓj>á+1 k=1 l=1

L'hypothèse (i) garantit également que les variables aléatoires _{{é(a,b),t}(a,b)EÓxÎ} et {ð(a,b),t,l}((a,b),l)EÓxÎxN* sont toutes mutuellement indépendantes et donc finalement

Aä,t = (H

iEÓ

_ls ä(k,j-1),t-1 P({é(i,á),t=ä(i,á),t}) I P _n n {é(i,j),t=ä(i,j),t - _E E 1

iEÓj>á+1

l=1

k=1

{ð(k,j-1),t,l = i}}

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Dans cette dernière expression, la dépendance en l'événement _{Bä,t_1} n'intervient que par le biais des valeurs des _{ä(k,j_1),t_1} dans les sommes. En conséquence, si _(Su)0<u<t EE^t+1 et

~ ~

àS_u

0<u<t

EE^t+¹ sont tels que _{ät_1=St_1} et ät =St alors _{Aä,t=Aàä,t} (*).

( )

Pour conclure, on écrit que si C est l'ensemble des à6_u EE^t+¹ tels que _{6t_1=St_1} et

0<u<t

bt =

S_t

P({vt=6t} n {vt-1=6t-1})

P(vt=6t | vt-1=6t-1) =

P(vt-1 =6t-1)

( )

P

P(vt=6t | vt-1=6t-1) =

E (^$4)0<<t^EC

v 0 < u < t, v_u=^à6_u P(vt-1=6t-1)

( ) ( )

P E=

(^$4)0<<t^EC

E=

(^$4)0<<t^EC

vt=^à6t | v 0 < u < t - 1, v_u =^à6_u P v 0 < u < t - 1, v_u =^à6_u

P(vt-1=6t-1)

( )

Aàä,tP v 0 < u < t - 1, v_u= à6_u

P(vt-1=6t-1)

EC 0<<t

D'après (*), on a donc

EP(vt=6t | vt-1=6t-1) = Aä,t

($4)

( )

P v 0 < u < t - 1, v_u=à6_u

P(vt-1=6t-1)

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E= Aä,t

(^84)0<<t^EC

( { } ) P nu<t_2 vu=^à6u n {vt-1=6t-1} P(vt-1 =6t-1)

P(vt-1=6t-1)

P(vt=6t | vt-1=6t-1) = Aä,t

P(vt-1=6t-1)

= Aä,t

Il s'agit exactement de l'identité (X).

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