Modélisation et couverture des comptes courants postaux

11.2 Récapitulatif du modèle général

Dans cette section, nous établissons un résumé de l'ensemble du cadre mathématique construit. L'ensemble des variables d'intérêt sont définies sur un espace probabilisé (S2, W, P) muni d'une tribu W. La probabilité historique est désignée par P. Voici l'ensemble de la démarche suivie :

- nous avons défini les variables aléatoires, avec t en mois,

_{n o}

Ä(i,j),t

((i,j),t)EExExN, {t(i,j),t}((i,j),t)EExsxN* ^et _{{7r(i,j),t,l}((i,j),t,l)EEx,=,xN*xN*,} ainsi que les écritures matricielles condensées _{Ot}tEN et _{tt}tEN* associées aux deux pre-

mières. La variable _0(i,j),t, à valeurs dans R, représente l'encours client moyen de la cellule (i, j) à la date t. La variable aléatoire _7r(i,j),t,l est, quant à elle, à valeurs dans EU{o} et associe au client numéro l de la cellule (i, j) à la date t - 1, l'endroit où il sera à la date suivante t (un indice k de E s'il reste dans la banque et intègre la cellule (k, j + 1) et o s'il quitte l'établissement). La variable _t(i,j),t, à valeurs dans N, représente le nombre d'arrivées extérieures (ie de nouveaux clients) dans la cellule (i, j) entre t - 1 et t.

Enfin, nous avons noté _(Ht)tEN la filtration canonique associée à ces trois familles de variables aléatoires et _(Mt)tEN celle associée aux deux dernières, qui concernent les mouvements de clients (on a donc Mt CHt) ;

- sous l'hypothèse d'AOA, nous avons défini une probabilité risque-neutre Q équivalente à P, puis un mouvement brownien standard (Wt,) _t,ER+ unidimensionnel sous Q. À

²⁴Euro Interbank Offered Rate

²⁵Rappelons que t est décompté en mois

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partir de ce dernier, nous diffusons les taux spot selon le modèle de Hull et White qui s'écrit drt' =(bt' - art') dt^' + QdWt' avec t^' ER+ en années, ce qui permet de retrouver l'ensemble de la courbe des taux et ses déformations au cours du temps. Nous avons noté Ft' =ó( Wt', 0<u<t^') la filtration engendrée par ce brownien ;

- nous avons également défini, avec t en mois, un mouvement brownien standard unidimensionnel _(Wt)tER+ sous P, puis, à partir de celui-ci, l'inflation mensuelle ðt par l'équation différentielle stochastique dðt = a(b - rt) dt+ódWt pour t E R+. Nous avons noté Gt =ó(Wt, 0<u<t) la filtration engendrée par ce brownien.

Remarquons ainsi que les tribus ó(Ht, t E N), ó(Ft', t^' E R+) et ó(Gt, t E R+) sont toutes incluses dans W.

En ce qui concerne les lois de ces variables, nous avons posé les hypothèses suivantes :

_n o ~

(1) les variables aléatoires Ä(i,j),t _{((i,j),t)EÓxÎxN,} ~é(i,j),t ((i,j),t)EÓxÎxN* et ~ð(i,j),t,l }((i,j),t,l)EÓxÎxN*xN* sont toutes mutuellement indépendantes;

(2) d((i, j), t, l) E E x x N^* x N^*, P (ð(i,j),t,l =k)=ë(i,j)

k si k est dans E et

P (ð(i,j),t,l

=o)=^o(i,j) avec donc

Xs k=1

ë(i,j) k + o(i,j) = 1;

(3) les tribus ó(Mt, t E N) et ó(Ft', t^' E R+) sont indépendantes : les mouvements des clients sont donc indépendants des mouvements de taux sur les marchés

(4) les tribus ó(Mt, t E N) et ó(Gt, t E R+) sont indépendantes : les mouvements des clients sont donc indépendants de l'évolution de l'inflation