La programmation linéaire comme outil de gestion optimale de la production dans une entreprise industrielle. Cas de la Régideso/ Kindu de 2000 à 2012

III.2.5.4. RECHERCHE DE SOLUTION D'UN PROGRAMME LINEAIRE

Un programme linéaire peut - être résolu en utilisant l'une de quatre méthodes ci - dessous :

- La méthode graphique ;

- L'algorithme de dénombrement ;

- La méthode algébrique ;

- La méthode d'algorithme du simplexe.

III.2.5.4.1. La Méthode de graphique

Dans cette méthode, seules les variables d'activité ou variables réelles (appelées encore variables principales) sont utilisées. On se borne simplement à :

- Représenter graphiquement les droites limites ;

- Délimiter le domaine d'acceptabilité enfin ;

- Remplacer successivement les coordonnées de chaque sommet du polygone dans la fonction économique afin d'obtenir la combinaison optimale cherchée (minimum ou maximum).

En général, pour chercher le minimum, on optera le point le plus voisin de l'origine et pour le maximum, on choisira le point le plus éloigné.

III.2.5.4.2. L'Algorithme de Dénombrement

Cette méthode consiste à dénombrer toutes les solutions de base, à déterminer celles qui sont réalisables ou admissibles et à calculer la valeur de la fonction économique en chacune de ces bases.

La solution de base fournissant la plus petite ou la plus grande valeur à la fonction économique selon qu'il s'agisse d'un problème à minimum ou à maximiser sera la solution optimale de programme.

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III.2.5.4.3. La Méthode Algébrique

Au moment où la forme canonique est plus pratique dans le cas de résolution graphique d'un programme linéaire, la forme standard est la mieux appropriée dans la méthode algébrique et l'algorithme du simplexe.

Rappelons qu'on passe à la forme standard en introduisant des variables d'écarts et/ou des variables artificielles. Les variables d'écarts Interviennent dans certaines inégalités tournées dans le sens « inférieur ou égal à ». les variables artificielles n'interviennent qua dans les contraintes égalités et inégalités tournées dans le sens « supérieur ou égal ».

III.2.5.3.1. Principe Généraux de la Méthode (Problème à Maximum)

Cette méthode consiste à :

- Dresser la forme canonique du problème posé ;

- Passer de la forme canonique à la forme standard ;

- Trouver une première solution de base admissible en utilisant d'abord les variables réelles comme variables hors base (variables nulles). A ce stade, la fonction économique est nulle ;

- Faire subir un test d'optimalité à cette solution de base pour déterminer s'il s'agit ou non de la solution optimale. S'il s'agit de la solution optimale, le problème est terminé. Sinon, il passer à l'étape suivante ;

- Passer à la première itération afin de trouver une solution de base meilleure, c'est - à - dire, améliorer la fonction économique ; pour parvenir, on sélectionne une variable entrante et une variable sortante. Est variable entrante, toute celle qui, dans la fonction économique, présente le coefficient positif le plus élevé. Et la variable sortante est celle qui correspond au plus petit rapport positif des rapports des seconds membres des contraintes aux coefficients de la variable entrante (l'infini et les membres négatifs étant exclus) ;

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- On arrête les différentes itérations dès que la fonction économique en contient que des coefficients négatifs ou nuls.

Par ailleurs, il sied de signaler que le processus est le même pour minimiser une fonction linéaire. Mais la différence se constate dans le sens où le problème à minimiser consiste à faire rentrer dans la base la variable, hors base dont le coefficient est le plus négatif dans la fonction économique. Le minimum sera atteint lorsque tous les coefficients de cette fonction seront positifs.

III.2.5.4.4. Algorithme du Simplexe

Le nom de cet algorithme est dû au fait que l'une des premières applications en a été faite à un problème dans lequel l'ensemble des programmes était représenté par un simplexe. Cette méthode repose sur le théorème fondamental suivant :

- Si un programme linéaire admet une solution possible finie alors il admet au moins une solution de base ;

- Si ce programme linéaire admet une solution optimale, il admet au moins une solution optimale (ce qui signifie qu'une solution de base au moins est solution optimale).

III.2.5.4.4.1. PRINCIPES D'ALGORITHME DU SIMPLEXE

Les principes de l'algorithme du simplexe sont identiques à ceux de la méthode algébrique, à savoir :

- Formuler le problème sous forme canonique ;

- Passer de la forme canonique à la forme standard en introduisant des variables d'écarts et/ou des variables artificielles selon les cas ;

- Trouver une première solution de base qui soit admissible en utilisant d'abord les variables réelles comme des variables hors base, les autres variables non nulle (variables de base) constituant alors solution dans cette première opération ;

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- Faire le test d'optimalité, c'est - à - dire, s'assurer si cette première solution de base constitue la solution optimale de programme. Dans la négativité, on trouve une autre solution de base en échangeant le rôle d'une variable de base (que l'on tire dans la base) et d'une variable hors base (que l'on introduit dans la base) de manière à améliorer la valeur prise par la fonction économique.

III.2.5.4.4.2. CRITERE D'ENTREE

Est variable entrante toute celle dont le coefficient Dj est le plus grand positif (pour un problème à

maximiser) ou le plus négatif (pour un problème à minimiser).

III.2.5.4.4.3. CRITERE DE SORTIE

Est variable sortante celle qui correspond au petit rapport positif des seconds membres aux coefficients de la variable entrante (l'infini et les membres négatifs étant exclus).

L'optimum est atteint lorsqu'on ne peut plus améliorer la fonction économique, c'est - à - dire lorsque la fonction économique qui ne contient plus que des coefficients Dj négatifs ou nuls (pour un problème à maximiser) ou des coefficients Dj positifs (pour un problème à minimiser).

III.2.5.4.4.4. TECHNIQUES DE RESOLUTION

1). Classons dans un tableau à m lignes et (n+m+1) colonnes les coefficients du système d'équations linéaires ;

2). Repérons chaque colonne à l'aide de la variable qui lui correspond, la dernière colonne à droite étant celle relative au terme constant V0i = bi ;

3). Ajoutons deux colonnes à gauche, l'une repérée « i » comprendra les indices relatifs aux variables situées dans la base ; les indices des variables hors base seront repérées par l'indice « j » dans l'autre colonne, repérée Ci, seront inscrits les profits marginaux des variables dans la base à cette étape ;

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4). Sur une ligne située en dessous du tableau, portons les coefficients Cn de la fonction économique, puis une seconde ligne les variables Xi = bi de la solution. On a alors la valeur de Z à cette étape ;

5). Calculer ensuite les profits marginaux Dj permettant de déterminer la variable X_e à faire entrer dans la base et les rapports Voi/aie ; aie étant les coefficients situés sur la ligne « i » et dans la colonne « Xe » ces valeurs permettent de choisir la variable Xs sortante de la base ;

Toutefois, il est important de rappeler que dans toute stratégie commerciale, le pivot demeure toujours le (s) produit (s) qui est (sont) fabriqué (s) à partir d'une ou plusieurs matières premières traitées de façon à lui conférer des caractéristiques de qualité correspondant à une norme fixée préalablement. D'où, toute disposition utile doit être prise en vue d'obtenir la qualité et la quantité du produit voulu.

Sans doute, il convient de dire que pour produire de l'eau potable, il nous importe de comprendre les mécanismes que la REGIDESO/Kindu utilise afin d'atteindre cet objectif. Ainsi, pour obtenir l'eau potable, la REGIDESO/Kindu combine quatre types des matières premières (eau brute du fleuve Congo, le sulfate d'aluminium, le chlore et le chaud) moyennant quatre étapes indispensables notamment :

- Le captage d'eau brute du fleuve Congo ;

- La décantation ;

- La filtration et enfin ;

- Les neutralisations.

1. CAPTAGE

C'est une opération qui consiste à aspirer l'eau brute du fleuve Congo.

Elle

se réalise grâce à deux motopompes, immergée dans deux puisards de six mètres de

profondeur chacun, placés au bord du fleuve et ayant chacune un débit de 200 m3/h.

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Une cabine de commande avec deux maitres assurent le fonctionnement de ces deux motopompes travaillant alternativement.

2. LA DECANTATION OU LA SEPARATION

Une conduite qui amène l'eau dans le décanteur où elle est soumise à la décantation et reçoit les premiers produits chimiques qui est le sulfate d'aluminium et reçoit également une partie de lait de chaux. L'eau coagulée entre deux décanteurs en passant par les chaines dont chacun a une capacité ou un volume de 150 m³. L'eau décantée gravite à la bâche tampon de 24m³ qui est une récupération d'eau de surface.

3.

La FILTRATION

Dans cette étape, on récupère l'eau de la bâche en passant par les pompes de transfert qui transfèrent les eaux de la bâche tampon pour les envoyer aux filtres. Ces pompes sont au nombre de quatre avec un débit de 40m³

4. LA NEUTRALITE

L'eau filtrée doit être purifiée en injectant la chlore pour désinfecter, pour que cette eau soit potable, puis elle passe par les réservoirs de stockage d'eau traitée. Ces réservoirs ont une capacité de 100 m³ chacun.

A la lumière de ce qui précède, il convient d'affirmer que la REGIDESO/Kindu produit hebdomadairement deux types de bien ; l'eau potable (X1) et le service de raccordement (X2). La production d'eau potable nécessite 24 heures pour le captage, 33 heures pour la décantation, 31 heures pour la filtration et 12 heures pour la neutralisation est le service de raccordement exige 32 heures pour creuser, 22 heures pour déposer les tuyaux, 28 heures pour le raccordement et 20 heures pour l'installation des compteurs. L'entreprise ne peut disposer chaque semaine que de 96 heures pour le captage et le creusage, 120 heures pour la décantation et le dépôt des tuyaux, 123 heures pour la filtration et le raccordement et en fin 168 heures pour la neutralisation et l'installation des compteurs. Si la marge bénéficiaire est de 224250 CDF par 1000m³ d'eau potable produite et de 200.000FC par nouvel abonné, cherchons à trouver une combinaison des produits qui maximise le profit hebdomadaire de la REGIDESO/Kindu.

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PROGRAMME DE PRODUCTION
FORME CANONIQUE		FORME STANDARD
Max P = 224250 X1 + 200.000X2	Max P = 224250 X1 + 200.000X2			+0X3+0X4+0X5+0X6
S/C 24X1 + 32 X2 S 96	24X1	+ 32X2 +	X3	=	96
33X1 + 22X2 S 120	33X1	+ 22X2	+ X4	=	120
31X1 + 28X2 S 132	31X1	+ 28 X2	+ X5	=	132
12X1 + 20 X2 S 168	12X1	+ 20X2	+ X6 = 168
Xj = 0 ; (j = 1,2)	Xj = 0 ; (j = (1,2,		3,4, 5, 6)

SOURCE : Nos ajustements à partir des informations reçues à la section production

Pour trouver une combinaison des produits qui maximise le profit (P), nous allons faire recours à une méthode citées, dans les lignes précédentes. C'est ainsi que, pour le cas présent, nous faisons recours à la méthode d'algorithme de dénombrement. Connaissant le nombre des variables dans la base (m=2) et le nombre total des variations (n= 6), cherchons maintenant à trouver une combinaison de six éléments pris deux à deux entre eux ; on aura :

Tableau °6. Tableau Combinatoire de la Production d'eau potable en milliers de m³ et des Abonnés

N°	Solution de Base	X1	X2	X3	X4	X5	X6	A ou NA	?
1	A	0	0	96	120	132	168	A	0
2	B	0	3	0	54	48	108	A	60000
3	-	0	5,45	-78,4	0	-20,6	59	NA	-
4	-	0	4,71	-54,72	16,38	0	73,8	NA	-
5	-	0	8,4	-172,8	-64,8	-103,2	0	NA	-
6	-	4	0	0	-12	8	120	NA	-
7	C	3,64	0	8,64	0	19,16	124,32	A	816270
8	-	4,26	0	-6,24	-20,58	0	116,88	NA	-
9	-	14	0	-240	-342	-302	0	NA	-

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10	D	3,27	0,54	0	0	15,51	117,96	NA	-
11	-	4,8	-0,6	0	-25,2	0	122,4	NA	-
12	-	-36	30	0	648	408	0	NA	-
13	-	1,88	2,63	-33,28	0	0	92,84	NA	-
14	-	-3,27	10, 34	-156,4	0	-56,15	0	NA	-
15	-	-7,27	12,77	-138,16	78,97	0	0	NA	-

Source : nos ajustements à partir des données de la section production/Régideso-Kindu Après analyse du tableau ci - haut, sur base de 15 solutions possibles ou 15

combinaisons de X1 et X2, nous constatons que la solution D permet à la REGIDESO/Kindu de produire 3270m³ ou 327000 litres d'eau potable et d'ajouter ou de récolter au moins un abonné par semaine afin de maximiser son profit hebdomadaire d'un montant de 841297,5 CDF

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